例談參變量的處理方法

孫 浩

(江蘇省徐州高級中學(xué),221000)

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○學(xué)習(xí)指導(dǎo)○

例談參變量的處理方法

孫 浩

(江蘇省徐州高級中學(xué),221000)

求參變量取值范圍是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中常見的一類問題,也一直是高考考查的重點,同時也是教學(xué)中的一個難點.下面,舉例談?wù)劰P者對解此類題的方法、思想的歸納.

一、參變量的引入

例1 (2016年江蘇高考題)在銳角?ABC中,若sin A=2sin Bsin C,則tan A·tan Btan C的最小值是______.

分析 本題與蘇教版課本必修4第116頁例4結(jié)論有聯(lián)系,可用該結(jié)論解決問題,也可以引入?yún)⒆兞拷鉀Q.

解 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C,兩邊同除cos B·cos C，得

tan B+tan C=2tan Btan C.

方法1 由課本必修4第116頁例4結(jié)論有tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan Btan C.

在銳角?ABC中,tan A>0,tan B>0,tan C>0,則

兩邊平方可求得tan Atan Btan C≥8.

當(dāng)且僅當(dāng)tan A=2tan Btan C時,等號成立,即tan Atan Btan C的最小值是8.

方法2 在銳角?ABC中,由tan B+tan C=2tan Btan C及基本不等式，可證明tan Btan C>1,令tan Btan C=m>1,則

tan B+tan C=2m,

tan Atan Btan C=-tan(B+C)tan Btan C

當(dāng)且僅當(dāng)m=2時取等號,故tan A·tan Btan C的最小值是8.

評注 本題少數(shù)同學(xué)能回歸課本結(jié)論,用方法1解決,多數(shù)學(xué)生都是采用了方法2或方法3,引入?yún)?shù),將三角問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題.可見參數(shù)的引入是處理數(shù)學(xué)問題的常用方法，有助于數(shù)學(xué)問題的表述及本質(zhì)的暴露，方便問題的轉(zhuǎn)化.

又如，我們常見到的直線方程問題:在直角坐標系xOy中,過點P(1,2)的直線與x軸,y軸的正半軸分別交于點A、B,求?ABO的面積最小值,以及此時所對應(yīng)的直線方程.在解答時,可以設(shè)成點斜式,引入斜率參數(shù);可以設(shè)成截距式,引入截距參數(shù);可以利用三角函數(shù)解決,引入角度參數(shù).通過引入?yún)⒆兞?將題目化歸為熟悉的數(shù)學(xué)問題加以解決.

二、參變量的消去

消元法是解題的通法,代入消元,加減消元,都可以起到化多為少,化繁為簡的作用.

例2 已知x,y>0,x+y=1，求證:

分析 可采用消元法構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域的問題.

解 依題意，y=1-x(0

∴(x+1)2+(y+1)2=2x2-2x+5.

令f(x)=2x2-2x+5.

例3 已知2sin 2x=sin θ+cos θ,sin2x=sin θcos θ，求cos 2x的值.

分析 本題中出現(xiàn)兩個變量,根據(jù)問題要求可以確定x為“主元”,通過三角函數(shù)恒等變形消去參數(shù)θ.

解 由2sin 2x=sin θ+cos θ兩邊平方，可得

4sin22x=1+2sin θcos θ=1+2sin2x，

即 4(1-cos22x)=2-cos 2x，

整理得4cos22x-cos 2x-2=0，

又cos 2x=1-2sin2x=1-2sin θcos θ=(sin θ-cos θ)2≥0,所以

例4 (2016年浙江高考題)已知平面向量a，b滿足|a|=1,|b|=2,a·b=1，若e為平面單位向量,則|a·e|+|b·e|的最大值是______.

分析 設(shè)平面單位向量e=(cos θ,sin θ),這里隱含了消元的思想.

設(shè)e=(cos θ,sin θ)，則

|a·e|+|b·e|

三、參變量的轉(zhuǎn)換

例5 (2012年江蘇高考題)已知正數(shù)a,b,c,滿足:

分析 由本題的結(jié)構(gòu)看,容易聯(lián)想到借助于線性規(guī)劃知識來解決.但三個未知數(shù)又讓我們很難入手解決,能不能簡化為我們熟悉的兩個未知數(shù)是解題關(guān)鍵.

評注 本題首先通過比值換元,把三元問題轉(zhuǎn)化為二元問題,借助于導(dǎo)數(shù)、線性規(guī)劃的知識來解決.本題對能力要求高,需要靈活運用導(dǎo)數(shù)、線性規(guī)劃等數(shù)學(xué)知識.

在不等式證明中應(yīng)用換元,能簡化證明過程,尤其對含有若干個變元的齊次輪換式或輪換對稱式,通過換元變換形式,往往能夠事半功倍.

比如:已知a,b,c>0且互不相等,求證:

即只要證不等式

x2+y2+y2>xy+yz+zx.

由基本不等式易證此不等式成立.

四、參變量的分離

例6 (2016年江蘇高考題)

(1)求方程f(x)=2的根;

(2)若對于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求實數(shù)m的最大值.

f(x)=2x+2-x.

(1)方程f(x)=2即2x+2-x=2,即(2x)2-2·2x+1=0,所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.

(2)由條件，知

f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2 =(f(x))2-2.

因為f(2x)≥mf(x)-6對于x∈R恒成立,且f(x)≥2,所以

對于x∈R恒成立.

=4.

當(dāng)f(x)=2,即x=0時取等號,所以m≤4,故實數(shù)m的最大值為4.

評注 在高考考題中常常涉及求參變量取值范圍問題,這類問題常采用參變量分離的方法來解決,先分離出參變量m,然后轉(zhuǎn)化為求最值或值域.

例7 (2016年全國高考題)

已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點,求a的取值范圍.

解 由f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2=0,得

當(dāng)x∈(-∞,1)時,g′(x)>0,g(x)在(-∞,1)內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)x→-∞時,g(x)→0;當(dāng)x→1時,g(x)→+∞,故g(x)在(-∞,1)內(nèi)的值域為(0,+∞).

當(dāng)x∈(1,+∞)時,g′(x)<0,g(x)在(1,+∞)單調(diào)遞減,當(dāng)x→1時,g(x)→+∞;當(dāng)x→+∞時,g(x)→-∞,故g(x)在(1,+∞)內(nèi)的值域為(-∞,+∞).

所以f(x)有兩個零點,即a=g(x)有兩個實根,則a的取值范圍為(0,+∞).

評注 參變量的分離免去了對參數(shù)的討論,相比較分類討論顯得直截了當(dāng).對分離后的函數(shù)g(x)的研究用到了簡單的極限分析,雖是高等數(shù)學(xué)所涉及的內(nèi)容,但能幫助我們快速把握圖象的變化趨勢,對解題很有幫助.

對于參變量的處理方法,需要我們在分析問題和解決問題的過程中去思考、感悟、把握,不斷反思參變量引入、消去、轉(zhuǎn)換、分離的合理性、簡潔性、有效性,體會“設(shè)元、消元、分離”的解題功能.