一道高考題的解法探究

雷 波

(重慶市巴南區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校，401320)

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○解題研究○

一道高考題的解法探究

雷 波

(重慶市巴南區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校，401320)

2016年全國高考數(shù)學(xué)卷Ⅱ第20題是一道關(guān)于橢圓的問題.它除了考查直線和橢圓的基礎(chǔ)知識外,還考查了函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想、特殊與一般的思想.其參考答案也是解析幾何的通性通法,但從極坐標(biāo)和參數(shù)方程的角度還有三種不同解法.現(xiàn)把題目和三種不同解法提供如下,供同行參考.

(1)當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時,求?AMN的面積;

(2)當(dāng)2|AM|=|AN|時,求k的取值范圍.

解法1 (從極坐標(biāo)的角度)

設(shè)橢圓E的頂點(diǎn)A為極點(diǎn),AO為極軸(O為原直角坐標(biāo)系原點(diǎn))建立極坐標(biāo)系,可得橢圓E的極坐標(biāo)方程為

∵ tan θ1=k,

(1)當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時,由橢圓的對稱性知k=1,

(2)當(dāng)2|AM|=|AN|時,有

即 t(k3-2)=6k2-3k.

解法2 (從參數(shù)方程角度)

將橢圓E的方程化為參數(shù)方程

以下解法與解法1相同.

解法3 (從變換的角度)

則橢圓E變換為單位圓

x′2+y′2=1；

根據(jù)線段變換前后的關(guān)系,有

設(shè)圓心O′(0,0)到直線A′M′的距離為d,則由點(diǎn)到直線的距離公式,得

因?yàn)樵趫AO′中有

以下解法與解法1相同.