高考試題中立體幾何的命題分析與思考
——以2016年新課標(biāo)文科數(shù)學(xué)全國(guó)卷為例

鐘文強(qiáng)

(廣東省佛山市南海區(qū)大瀝高級(jí)中學(xué)，528231)

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○高考復(fù)習(xí)研究○

高考試題中立體幾何的命題分析與思考
——以2016年新課標(biāo)文科數(shù)學(xué)全國(guó)卷為例

鐘文強(qiáng)

(廣東省佛山市南海區(qū)大瀝高級(jí)中學(xué)，528231)

2016年全國(guó)卷數(shù)學(xué)試題與2015年相比較,體現(xiàn)了三個(gè)特點(diǎn).第一是試題結(jié)構(gòu)、題型保持相對(duì)穩(wěn)定；第二是文理科的難度差距縮小,文科難度上升,理科難度有下降的趨勢(shì)；第三是文科數(shù)學(xué)的難度上升,很大程度上是考查形式上的創(chuàng)新,這種創(chuàng)新主要體現(xiàn)在立體幾何上．文科數(shù)學(xué)第11題通過截面來考查學(xué)生的空間想象力(補(bǔ)體),立體幾何題第18題的條件設(shè)置新穎、運(yùn)算難度大;立體幾何強(qiáng)化對(duì)正投影的考查,突出考查垂直關(guān)系、證明中點(diǎn)、求體積等問題,這兩題對(duì)學(xué)生而言難度較大．本文就2016年全國(guó)卷文科數(shù)學(xué)卷中的立體幾何問題，從命題與解法兩方面展開分析、思考與探討．

一、命題特點(diǎn)

(1)試卷中立體幾何板塊考查了3道題,兩道選擇,一道解答題,題號(hào)分別是第7題、第11題與第18題,總分共22分,分值與往年持平,難度不斷增加.與往年不同的是,今年不單獨(dú)考查空間幾何體與外接球的問題,三視圖與球結(jié)合在一起考查,試題難度較小.選擇題第11題考查空間點(diǎn)線面關(guān)系、平面與平面相交,異面直線所成角等綜合問題,需要學(xué)生很強(qiáng)的空間想象、推理應(yīng)用能力.第18題考查學(xué)生對(duì)平面幾何知識(shí)的掌握,對(duì)常規(guī)概念的理解,對(duì)圖形的變換應(yīng)用,充分體現(xiàn)了新課標(biāo)“能力立意”的要求，并在立體幾何中達(dá)到創(chuàng)新．

(2)知識(shí)點(diǎn)的考查以課本為主,不脫離課本知識(shí)與考綱要求,概念的考查清晰合理，考查的圖形正規(guī)傳統(tǒng)(正方體與三棱錐),在傳統(tǒng)與常規(guī)中進(jìn)行創(chuàng)新．課本提出掌握空間點(diǎn)線面的一般方法是從構(gòu)成平面的基本元素——點(diǎn)、直線和平面入手,研究它們的性質(zhì)以及相互之間的位置關(guān)系,由整體到局部,由局部到整體,逐步認(rèn)識(shí)空間幾何體的性質(zhì)(課本必修2第39頁),第11題就以常規(guī)的圖形正方體為載體．對(duì)于第18題中的概念正三棱錐,必修2課本沒有直接的定義,但在必修2課本第37頁第4題有正四棱錐的概念:底面是正方形,從頂點(diǎn)向底面作垂線,垂足是底面的中心的四棱錐．由此類比,我們可以明確正三棱錐的概念:底面是正三角形,從頂點(diǎn)向底面作垂線,垂足是底面的中心的三棱錐．又如正投影的概念,在平常的習(xí)題中少見,但課本必修2第11頁也有明確的定義:在平行投影中,投影線正對(duì)著投影面時(shí),叫做正投影,否則叫斜投影．很可惜的是,很多同學(xué)在考試過程中不明白什么叫正三棱錐,正三棱錐有什么性質(zhì),什么是正投影都不知道,如何可能又快又準(zhǔn)地解題呢?

(3)本次考試的三道立體幾何題,在命題設(shè)計(jì)上很好地體現(xiàn)了由各省市命題向全國(guó)卷試題的過渡.從評(píng)卷得分來看,第11題和第18題的平均得分都不是很高,給考生一種怪題的感覺.但只要深入研究分析就可以發(fā)現(xiàn),這兩道題的實(shí)際難度并不是很大,如果與各省市原來的試題比較,可能還會(huì)簡(jiǎn)單些,但為什么學(xué)生覺得難呢？這與我們平常的教學(xué)有關(guān),很多一線老師在研究全國(guó)卷時(shí),重點(diǎn)放在圓錐曲線、函數(shù)與導(dǎo)數(shù),即倒數(shù)第二、第三題上,其實(shí)這兩題的難度基本上是定死的,試題要平穩(wěn)過渡,必然要另找載體.從新課標(biāo)中的空間想象能力來看:能根據(jù)條件畫出正確的圖形,能正確分析圖形中的基本元素及相互關(guān)系,能對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合,對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移、融會(huì)的程度顯示出創(chuàng)新意識(shí)的強(qiáng)度．這就說明了立體幾何知識(shí)是最好的載體,從立體幾何中創(chuàng)新,最符合新課標(biāo)的精神．

二、試題解法研究

立體幾何主要解決空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系,這些位置關(guān)系有相交、平行、異面、特殊的垂直等.從基本方法來看,證明的理論依據(jù)主要還是依靠相關(guān)的定理、公理、定義,解決問題的手段還是要把空間問題化為平面問題,異面轉(zhuǎn)化為共面相交,借助直觀幾何模型來解決．2016年高考文科數(shù)學(xué)中的立體幾何問題的解決也不例外,找準(zhǔn)問題突破口,一切問題就不是問題了．由于第7題比較簡(jiǎn)單,本文重點(diǎn)研究第11題和第18題的常規(guī)解法．

第11題 平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為( )

點(diǎn)評(píng) 此種方法能直觀顯示直線m,n,充分運(yùn)用了面面平行的性質(zhì),異面直線通過平移變成共面直線,轉(zhuǎn)化為解三角形問題,學(xué)生容易理解且解題方法準(zhǔn)確．

第18題 如圖2,正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連結(jié)PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.

(1)證明:G是AB的中點(diǎn);

(2)在圖2中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PDEF的體積.

分析 條件分析:正三棱錐P-ABC?底面ABC為等邊三角形,等邊三角形四心(重心、內(nèi)心、外心、垂心)合一,三個(gè)側(cè)面三角形皆為全等的等腰三角形,即PA=PB=PC.由側(cè)面是直角三角形可知PA,PB,PC三邊兩兩垂直,進(jìn)一步可得該三棱錐實(shí)為正方體的一部分．故可把圖形進(jìn)行翻轉(zhuǎn),得到一個(gè)如圖3所示的三棱錐.

第(1)小題的簡(jiǎn)要解法:由已知可得點(diǎn)D為等邊三角形ABC三邊中線的交點(diǎn),故連CD,并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M,則M為AB中點(diǎn).因?yàn)镻C⊥平面ABP,故CM在平面ABP上的投影為PM,因?yàn)辄c(diǎn)D在CM上,故點(diǎn)D在平面APB上的正投影E在線段PM上(如圖4).從而證明了PE的延長(zhǎng)線與AB的交點(diǎn)G為線段AB中點(diǎn),方法合理簡(jiǎn)單．

第(2)小題同樣容易解決,由PB⊥平面APC,故過E作EF∥PB交AP于F(如圖5),則F為點(diǎn)E在平面PAC上的正投影(具體證明過程略)．下面求四面體PDEF的體積,由三角形重心性質(zhì)知:

.

因?yàn)镻A=6,?ABP為等腰直角三角形,故

PF=EF=2.

點(diǎn)評(píng) 第一小題的解法類似演繹法中的三段論,在充分掌握正確的大前提下,小前題又成立,則結(jié)論成立,當(dāng)然,能運(yùn)用這種思路解題的前提是必須對(duì)相關(guān)的概念,一些重要平面幾何的性質(zhì)要相當(dāng)熟悉,才能又快又準(zhǔn)解答．

三、立體幾何復(fù)習(xí)建議

(1)要復(fù)習(xí)好立體幾何板塊的知識(shí),首先要復(fù)習(xí)好平面幾何板塊的性質(zhì)．平面幾何里面的概念定義直觀,結(jié)論經(jīng)典,圖形簡(jiǎn)單,性質(zhì)重要.平面幾何的性質(zhì)作為一種工具,在向量、解三角形、解析幾何中都有很大的作用,故高中數(shù)學(xué)教材把平面幾何證明選講作為選考的內(nèi)容,在試題中單獨(dú)出現(xiàn).由于功利的原因,很多學(xué)校引導(dǎo)學(xué)生在考選做題時(shí),只選做極坐標(biāo)系與參數(shù)方程,甚至有些學(xué)校完全不復(fù)習(xí)幾何證明選講,導(dǎo)致學(xué)生平面幾何的性質(zhì)掌握得很差,從而運(yùn)用得也差．如2016年高考文科數(shù)學(xué)一卷選擇題第5題,運(yùn)用平面幾何的性質(zhì)很快就能解決．該題如下：

分析 由圓錐曲線性質(zhì)，知

OB=b,OF=c,BF=a.

運(yùn)用平面幾何性質(zhì)，易得

直接選擇答案B．

(2)要重視課本定義及相關(guān)概念的教學(xué)．由于課改的原因,教材的版本經(jīng)過多次修改,刪減了一些常規(guī)概念或增加了一些抽象定義.因?yàn)閺男W(xué)、初中到高中同時(shí)進(jìn)行教材的改版,特別是分模塊教學(xué),讓知識(shí)人為地割裂開來,使部分常用概念消失或隱藏在課本習(xí)題或補(bǔ)充說明中,或者在文科教材中不出現(xiàn),只出現(xiàn)在理科教材中．這要求在復(fù)習(xí)教學(xué)中,要重視教材的應(yīng)用,特別是教材中的每一個(gè)知識(shí)概念都必須要讓學(xué)生清楚.如前面講到的正三棱錐的概念,該概念是從課本正四棱錐的概念延伸出來的,而正四棱錐概念出現(xiàn)在教材必修2第一章的總復(fù)習(xí)題B組最后一題中.由于習(xí)題分A,B組,可能很多老師與同學(xué)都沒有認(rèn)真關(guān)注到該概念.數(shù)學(xué)概念的定義是很嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?如正三棱錐的概念,即使有的老師在教學(xué)過程中提到,但沒有鄭重強(qiáng)調(diào),導(dǎo)致學(xué)生不明不白．

(3)在立體幾何的復(fù)習(xí)中,除了要重視公理、定理、判定的復(fù)習(xí)外,更要注重模型的教學(xué).立體幾何涉及的是空間幾何體,因?yàn)檠芯康姆奖?這些幾何體必定是規(guī)則的或者是可以分割成規(guī)則的圖形來研究.因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中,應(yīng)充分利用幾何模型的直觀性來輔助解題．最常用的幾何模型就是長(zhǎng)方體與正方體,其次是底面為三角形、矩形或直角梯形的棱錐．空間幾何體大部分是簡(jiǎn)單的,但由于視角的關(guān)系,對(duì)空間的點(diǎn)線面的位置關(guān)系把握不好,想象不到圖形的本質(zhì)與特點(diǎn),這個(gè)時(shí)候利用模型的直觀性來解題就方便很多了.第18題立體幾何題在變換的過程中,其實(shí)就是運(yùn)用了幾何模型,把圖形看作是正方體同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面分割得到的特殊三棱錐翻轉(zhuǎn)得到的．