淺議基礎(chǔ)薄弱生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)
——以一道高考題解法與引申為例

林廷勝

(福建省三明市大田縣第五中學(xué)，366100)

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淺議基礎(chǔ)薄弱生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)
——以一道高考題解法與引申為例

林廷勝

(福建省三明市大田縣第五中學(xué)，366100)

高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱生,顧名思義這類學(xué)生由于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱,以致在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中會有種種學(xué)習(xí)的障礙．這就要求我們老師在教學(xué)過程中,應(yīng)充分了解學(xué)生的學(xué)情,認(rèn)真?zhèn)湔n,準(zhǔn)確預(yù)見學(xué)生學(xué)習(xí)過程的學(xué)習(xí)障礙,及時進(jìn)行補(bǔ)缺補(bǔ)漏,掃清學(xué)生學(xué)習(xí)道路的障礙．重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的同時,我們也要重視其數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，其中，數(shù)學(xué)的解題是數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)的重要途徑.解題教學(xué)并非僅限于得到題目的答案,更重要的是通過解題培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力.本文對2016年高考理科數(shù)學(xué)北京卷第19題的解法作了探討及引申，以企拋磚引玉．

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)P是橢圓C上一點,直線PA與y軸交于點M, 直線PB與x軸交于點N,求證:|AN||BM|為定值.

以下僅對第(2)問的解法進(jìn)行探討并對問題作進(jìn)一步引申.

一、一題多解

一題多解有利于增強(qiáng)學(xué)生的分析問題、探索問題與解決問題的能力,有利于拓展學(xué)生思維的廣度與培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性．

本題中要證明|AN||BM|為定值，可以先從點P取特殊位置開始(如點P在下頂點或左頂點).了解了定值是4，接下來只要證明點P在一般位置時定值都為4即可.

分析1 討論直線BP斜率不存在與存在.斜率存在可設(shè)直線BP方程為y=kx+1,|AN|與點P坐標(biāo)由k的代數(shù)式表示,得到直線AP方程,|BM|由k的代數(shù)式表示,最后得到|AN||BM|=4.

解法1 當(dāng)直線BP斜率不存在時,點N即為原點O(0,0),點M為橢圓的下頂點|AN|=|BM|=2,|AN||BM|=4．

直線AP的方程為

分析2 可設(shè)直線AP方程為y=k(x-2),|BM|與點P坐標(biāo)由k的代數(shù)式表示,得到直線BP方程,|AN|由k的代數(shù)式表示,最后得到|AN||BM|=4.

解法2 直線AP的斜率存在,設(shè)直線AP的方程為y=k(x-2),令x=0,則y=-2k,即M(0,-2k),|BM|=|2k+1|.

直線BP的方程為

分析3 討論直線AP斜率為0與不為0.斜率不為0時，可設(shè)直線BP方程為x=ty+2.

|BM|與點P坐標(biāo)由t的代數(shù)式表示,得到直線BP方程,|AN|由t的代數(shù)式表示,最后得到|AN||BM|=4.

解法3 當(dāng)直線AP斜率為0時,點N即左頂點(-2,0),點M為橢圓的為原點O(0,0),|AN|=4,|BM|=1,則|AN||BM|=4．

分析4 設(shè)P(x1,y1),則直線AP、BP方程由x1、y1表示,進(jìn)而M、N坐標(biāo)x1、y1表示,|AN|與|BM|由x1、y1表示,最后得到|AN||BM|=4.

解法4 設(shè)P(x1,y1),則直線AP方程為

|AN||BM|

分析5 利用橢圓的參數(shù)方程可設(shè)P(2cos α,sin α),則直線AP、BP方程由2cos α、sin α表示,進(jìn)而M、N坐標(biāo)2cos α、sin α表示,|AN|與|BM|由2cos α、sin α表示,最后得到|AN||BM|=4.

二、結(jié)論引申

引申是指根據(jù)題目的條件、結(jié)論,挖掘題目條件與結(jié)論內(nèi)在的聯(lián)系與規(guī)律,進(jìn)而推廣到具有一般性的結(jié)論．引申有利于培養(yǎng)學(xué)生探索精神,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力,有利于挖掘?qū)W生思維的深度與加強(qiáng)學(xué)生思維的深刻性.

證明 設(shè)P(x1,y1),則直線AP方程為

因為P(x1,y1)在橢圓上,則

|AN||BM|

=2ab(定值).

通過對高考題的解法探討與引申有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,拓展學(xué)生思維的廣度與培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性,有利于挖掘?qū)W生思維的深度與加強(qiáng)學(xué)生思維的深刻性,充分體現(xiàn)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求.在教學(xué)過程中注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地提出問題、分析問題和解決問題的能力,發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識,提高學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力、數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)交流能力．

(本文系福建省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度立項課題(FJJK-550:農(nóng)村高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱生的課堂教學(xué)方法研究)研究成果)