對“區(qū)間”概念的認識與思考

鄧冬華

(四川省成都市第二十中學，610036)

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對“區(qū)間”概念的認識與思考

鄧冬華

(四川省成都市第二十中學，610036)

“區(qū)間”概念是高中數(shù)學的基礎概念,但在筆者第二輪執(zhí)教高一的過程中對此產(chǎn)生了諸多疑惑.通過對學生常見錯誤及慣用寫法的深入探究,豁然開朗,現(xiàn)整理成文,敬請指正.

一、背景:單調(diào)區(qū)間能否用“∪”連接

到底是命題“單調(diào)區(qū)間不能用‘∪’連接”本身是錯誤的,還是我們對“單調(diào)區(qū)間不能用‘∪’連接”的理解有誤呢?導致這一問題的根本原因是什么?要解決這些問題,應先回到基本的定義.

二、研讀:再讀“區(qū)間”定義

人教A版高中數(shù)學必修1中對“區(qū)間”給出了如下的定義:

設a,b是兩個實數(shù),而且a

(1)滿足不等式a≤x≤b的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間,表示為[a,b];

(2)滿足不等式a

(3)滿足不等式a≤x

這里的實數(shù)a與實數(shù)b都叫做相應區(qū)間的端點.實數(shù)集R,x≥a,x>a,x≤a,x

三、收獲:對區(qū)間概念的認識

1.區(qū)間端點的實數(shù)表示

在區(qū)間的定義中,規(guī)定a,b∈R,所以區(qū)間表示且僅能表示實數(shù)集.故不能出現(xiàn)(30°,60°)、(-90°+2kπ,90°+2kπ)(k∈Z)等不規(guī)范的區(qū)間.在現(xiàn)實的教學中,像(-90°+2kπ,90°+2kπ)(k∈Z)這樣的區(qū)間在學生中經(jīng)常出現(xiàn),而筆者以前給學生的解釋是不能將角度制與弧度制混用,現(xiàn)在看來這種解釋未能觸及問題的本質(zhì).

2.區(qū)間與集合的關(guān)系

由區(qū)間的定義可知,集合{x|a

(1)在a

(2)集合{x|a

③ 集合{x|a

上面定理談到區(qū)間必是一個連通集,即區(qū)間是連續(xù)的數(shù)集,這對我們認識區(qū)間概念有直接的幫助.

3.對“單調(diào)區(qū)間不能用‘∪’連接”的理解

首先回顧單調(diào)區(qū)間的定義:函數(shù)f(x)在定義域的某個區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),則區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，由此可見,單調(diào)區(qū)間必是區(qū)間.

因此,函數(shù)“單調(diào)區(qū)間能否用‘∪’連接”不能一概而論.若函數(shù)的單調(diào)區(qū)間連續(xù),最后結(jié)果應當用“∪”連接,并化簡;若單調(diào)區(qū)間不連續(xù),則不能用“∪”連接.

4.定義域與參數(shù)取值范圍結(jié)果的呈現(xiàn)

先看下面的問題:函數(shù)f(x)=lg sin x的定義域是______.由sin x>0可得2kπ

那么,多個獨立區(qū)間的“∪”能作為定義域嗎?比如,函數(shù)f(x)的定義域可以是(-∞,4)∪(4,+∞)嗎?更一般地,多個區(qū)間的“∪”可以作為最終的結(jié)果呈現(xiàn)嗎?比如,實數(shù)a的取值范圍可以是(1,3)∪(4,10)嗎?不幸的是,這種常見寫法的正確性是有爭議的.認為這種寫法錯誤的理由是:(1,3)∪(4,10)是兩個集合在進行集合的并集運算,不是最簡結(jié)果,應寫成集合{x|1

函數(shù)r=f(p)的圖象如圖1所示.

(1)函數(shù)r=f(p)的定義域是什么?

(2)函數(shù)r=f(p)的值域是什么?

(3)r取何值時,只有唯一的p值與之對應?

注意,《必修1教師教學用書》給出的參考答案是“(1){p|-5≤p≤0或2≤p<6};(3)r在{r|0≤r<2或r>5}上取值時”,而不是“(1)[-5,0]∪[2,6);(3)[-5,2)∪(5,+∞)”.

事實上,造成這種爭議的根源在于數(shù)學對象的“過程——對象”二重性.若把(1,3)∪(4,10)看作是數(shù)集(1,3)與數(shù)集(4,10)進行并集運算的過程,則a∈(-∞,4)∪(4,+∞)的確不規(guī)范;若把(1,3)∪(4,10)看作

是數(shù)集(1,3)與數(shù)集(4,10)進行并集運算的結(jié)果,則a∈(-∞,4)∪(4,+∞)沒有任何問題.鑒于此,多個區(qū)間的“∪”可以作為定義域和參數(shù)取值范圍的最終結(jié)果呈現(xiàn).

四、思考:由研讀區(qū)間概念想到的

1.理解數(shù)學是有效教學的前提

章建躍博士指出,“理解教材是當好數(shù)學教師的前提,而理解教材的第一要義是理解數(shù)學”.對中學數(shù)學教師而言,理解數(shù)學是有效教學的前提.這需要教師能夠站在學科課程的高度,以學科知識的發(fā)生發(fā)展視角來審視教材,審視數(shù)學概念;能夠站在高觀點下看待初等數(shù)學,把握數(shù)學概念的本質(zhì),真正實現(xiàn)由教教材向用教材教轉(zhuǎn)變.

2.善于反思,大膽質(zhì)疑

3.充分挖掘概念的內(nèi)涵

在概念教學中,“一個定義,幾點注意”的教學方式曾受到很多人的抨擊.這種教學方式固然有其不合理的地方,但還是需要批判性地繼承與發(fā)展.作為一直貫穿整個高中數(shù)學的“區(qū)間”概念,試想在教學時,教師若能引導學生注意“a,b”的實數(shù)性,引導學生思考(-2,2)∪(5,8)是不是區(qū)間、是不是集合…學生是否就可以避免本文中提到的一些問題呢?這其實是對區(qū)間概念內(nèi)涵“實數(shù)性”、“連通性”、“區(qū)間與集合的關(guān)系”的挖掘.