一道高考數(shù)學(xué)試題的高等數(shù)學(xué)背景探究

關(guān)麗娜

(深圳大學(xué)書序與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，518060)

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一道高考數(shù)學(xué)試題的高等數(shù)學(xué)背景探究

關(guān)麗娜

(深圳大學(xué)書序與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，518060)

一、問題重現(xiàn)

2016年上海高考理科數(shù)學(xué)試卷第10題:

設(shè)a>0,b>0，若方程關(guān)于x,y的方程組

無解,則a+b的取值范圍為______.

此問題的難點(diǎn)是已知條件“關(guān)于x,y的方程組無解”到底是什么意思?若能夠把這個(gè)條件翻譯出來,再把它轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言,從而得出關(guān)于a,b一個(gè)關(guān)系式,那么問題就不難解決了.然而，已知條件是一個(gè)關(guān)于二元一次方程組的解的存在性問題,它是線性代數(shù)中討論的重點(diǎn).那隨意給出一個(gè)方程組,如何判斷它有沒有解呢?

二、對應(yīng)的高等數(shù)學(xué)背景知識

關(guān)于x,y的方程組

①

稱為二元一次線性方程組.

而方程組

②

稱為方程組①的齊次線性方程組.

定義運(yùn)算

此運(yùn)算分別稱為1階、2階行列式.

根據(jù)高等代數(shù)的知識,方程組

有唯一解、無數(shù)解、無解的充要條件分別是

三、問題的解答

四、類比探究

上面的二元一次方程組有唯一解、無數(shù)解、無解的條件可以推廣到n元一次方程組的情形中.這里面涉及到的內(nèi)容非常豐富,希望有興趣的學(xué)生或者讀者自己去探索,這里我們指出一元一次方程的情形.

考查一元一次方程ax+b=0,那么它什么時(shí)候有唯一解、無數(shù)解、無解呢?我們類比二元一次方程組解的情形,將其進(jìn)行探究.

首先將方程進(jìn)行化簡，可得ax=-b,則類比二元一次方程組的情形,當(dāng)|a|≠0時(shí),即a≠0時(shí),方程ax+b=0有唯一解;當(dāng)|a|=0且|-b|=0時(shí),即a=b=0時(shí),方程ax+b=0有無數(shù)解;當(dāng)|a|=0且|-b|≠0時(shí),方程ax+b=0無解,其中|a|表示一階行列式.于是,由類比探究可得如下一個(gè)結(jié)論.

方程ax+b=0有唯一解、無數(shù)解、無解的充要條件分別是:

(i)a≠0;

(ii)a=b=0;

(iii)a=0,b≠0.

值得一提的是我們也可以依據(jù)上述結(jié)論去求解開頭提到的高考題.過程如下:

(1-ab)x+b-1=0.

由已知條件，可得方程

(1-ab)x+b-1=0

無解.由上可得1-ab=0，且b-1≠0,即ab=1且b≠1.以下解法同上.

五、反思

每年高考都涌現(xiàn)出許多創(chuàng)新的試題,這些試題凝聚了命題者的智慧.對高考題進(jìn)行課本題源的研究、競賽背景探究、高等背景探究,無疑對提高教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)都有很大幫助.