高中數(shù)學(xué)中向量問題的分類解析

傅君明

(江蘇省溧陽市光華中學(xué)(燕山部)，213300)

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高中數(shù)學(xué)中向量問題的分類解析

傅君明

(江蘇省溧陽市光華中學(xué)(燕山部)，213300)

在數(shù)學(xué)中我們把具有大小和方向的量稱作向量．向量體現(xiàn)了幾何與代數(shù)雙重特性,使其具備了“數(shù)”與“形”的雙重身份．正是基于向量的這一特點(diǎn),使得向量成為解決幾何、代數(shù)、物理問題的重要工具．向量重要的應(yīng)用價(jià)值和復(fù)雜的基礎(chǔ)邏輯使得它成為了高中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn),特別是向量的應(yīng)用更是重點(diǎn)中的難點(diǎn)．本文通過對(duì)向量應(yīng)用類型的劃分,幫助同學(xué)理順向量的應(yīng)用的實(shí)質(zhì)，并結(jié)合例題剖析,優(yōu)化解題思路,提升教學(xué)效率,提高教學(xué)質(zhì)量．

一、與向量基本內(nèi)容相關(guān)的運(yùn)算

向量與其它數(shù)學(xué)概念最大的不同在于向量是既有大小,又有方向的量，所以在向量相關(guān)的計(jì)算中需要考慮影響結(jié)果的因素也相對(duì)較多．與向量基本概念和性質(zhì)相關(guān)的題型相對(duì)基礎(chǔ),解題的前提是要求同學(xué)掌握系統(tǒng)的知識(shí)框架,對(duì)概念有清晰的理解,對(duì)運(yùn)算規(guī)律及其幾何意義要準(zhǔn)確掌握,并充分把握好向量所體現(xiàn)的幾何與代數(shù)的雙重特性．

解析 對(duì)于本題而言,只要掌握向量的基礎(chǔ)性內(nèi)容即可.

(1)單位向量,即長(zhǎng)度等于1的向量,所以|e1|=|e2|=1.

(3)結(jié)合已知條件和向量數(shù)乘運(yùn)算:

a·b=(e1-2e2)·(ke1+e2)

解析 對(duì)于本題而言,涉及的基礎(chǔ)性內(nèi)容有:

(1)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則.λa=(λx1,λy1)和a+b=(x1+x2,y1+y2).

(2)共線向量的定義及坐標(biāo)關(guān)系．

在上述概念的基礎(chǔ)上結(jié)合已知進(jìn)行求解:

可見,對(duì)于考查向量相關(guān)基礎(chǔ)理論的問題,首要是剖析題目涉及的知識(shí)點(diǎn),同時(shí)結(jié)合已知條件進(jìn)行解題分析．這類題型主要出現(xiàn)在填空和選擇的部分,題目相對(duì)簡(jiǎn)單,但需要同學(xué)準(zhǔn)確把握與向量相關(guān)的基礎(chǔ)型內(nèi)容．所以在教學(xué)中,老師要注重基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué),幫助同學(xué)形成向量的概念、向量運(yùn)算、實(shí)數(shù)與向量乘積、向量共線、平面向量等關(guān)鍵理論的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提升同學(xué)理解問題、解決問題的能力．

二、與平面解析幾何相關(guān)的運(yùn)算

平面向量與平面幾何有著密切的聯(lián)系,例如，通過向量夾角的判斷可以推斷幾何圖形的垂直關(guān)系,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可以推斷圖形的位置關(guān)系,借助向量的數(shù)量積可以計(jì)算圖形中角度的大小等．在高中數(shù)學(xué)中,向量的坐標(biāo)運(yùn)算是將幾何問題代數(shù)化的重要工具,所以在教學(xué)中老師要注重學(xué)生“數(shù)與形”轉(zhuǎn)化能力的培養(yǎng),提升學(xué)生的邏輯思維能力．

因?yàn)閍和b不共線,且表示方法唯一,借助方程思想,有

對(duì)于本題而言,解題的關(guān)鍵是建立起已知向量與未知向量的聯(lián)系.在這個(gè)過程中要注意向量的方向性,所以結(jié)合向量的加法運(yùn)算,將p準(zhǔn)確地表示出來． 可見,在平面幾何中利用向量和向量的運(yùn)算規(guī)律可以表示出未知線段的數(shù)量關(guān)系．如將上題各個(gè)點(diǎn)賦予具體的坐標(biāo),則可以根據(jù)向量坐標(biāo)的計(jì)算得出各個(gè)點(diǎn)在坐標(biāo)中的位置關(guān)系．所以說向量運(yùn)算過程對(duì)于研究平面幾何相關(guān)的點(diǎn)、線關(guān)系有重要的意義．

三、與立體幾何相關(guān)的運(yùn)算

立體幾何中,由于點(diǎn)、線、面、角在空間中的立體排布,使我們對(duì)圖形的分析產(chǎn)生了不小的阻礙．而借助向量的相關(guān)性質(zhì)和原理,特別是坐標(biāo)間的相對(duì)關(guān)系,可以有效地判定兩條異面直線所成的角,線與面所成的角,面與面所成的角等一系列問題．利用向量的知識(shí)來解立體幾何的實(shí)質(zhì)是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決．只要在解題中把握好這一原則,同時(shí)注意向量的方向特性,向量就可以成為解決立體幾何問題的有力工具．

所以直線AC1與平面ABB1A1所成角大小為30°．

通過教學(xué)調(diào)研我們發(fā)現(xiàn),與向量相關(guān)的立體幾何的求解多與角的大小相關(guān)．所以在教學(xué)中,首要的是引導(dǎo)學(xué)生在腦海中形成立體中相關(guān)元素的位置轉(zhuǎn)化思維.常用的方法是利用輔助線、中點(diǎn)關(guān)系將空間位置轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫骊P(guān)系.其次是根據(jù)夾角公式中涉及的向量關(guān)系,計(jì)算出向量的空間坐標(biāo),在這個(gè)過程中要充分地借助向量的加法關(guān)系、比例關(guān)系等等.最后,通過公式的準(zhǔn)確運(yùn)用和縝密的計(jì)算,得出所求角度的大小．通過以上三個(gè)環(huán)節(jié),定能將立體幾何相關(guān)的問題化險(xiǎn)為夷,提升解題能力．

四、與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用

通過上面的分析我們發(fā)現(xiàn),向量運(yùn)算中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)邏輯和計(jì)算法則,所以完全可以為解決數(shù)學(xué)問題提供創(chuàng)新的思路．隨著教學(xué)改革的深入,數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力逐漸成為考查的重點(diǎn),這就需要老師在教學(xué)中變通教學(xué)方法,突出教學(xué)內(nèi)容的相關(guān)與統(tǒng)一,為知識(shí)的全面應(yīng)用打好基礎(chǔ)．通過教學(xué)探究我們發(fā)現(xiàn),平面向量的數(shù)量積與坐標(biāo)間的數(shù)學(xué)關(guān)系,可以成為解決三角函數(shù)問題的有效方法．

|a||b|

根據(jù)|a·b|≤|a||b|,有

本題將三角函數(shù)的運(yùn)算與向量的數(shù)量積相結(jié)合,創(chuàng)新了解題思路,大大簡(jiǎn)化了解題步驟,從而提升了解題效率．

當(dāng)然,除上述例題外,向量在解方程、條件的最值計(jì)算中同樣有著重要的應(yīng)用．在應(yīng)對(duì)這類問題時(shí),老師需要幫助同學(xué)切實(shí)掌握向量相關(guān)的基礎(chǔ)理論,剖析運(yùn)算法則中的特點(diǎn),啟迪數(shù)學(xué)問題間的聯(lián)系能力,幫助同學(xué)掌握數(shù)學(xué)解題中的轉(zhuǎn)化能力．對(duì)于同學(xué)而言,要在解題中發(fā)散思維,根據(jù)題目變形和形式特點(diǎn),聯(lián)系相關(guān)內(nèi)容,創(chuàng)新解題方法,注重知識(shí)的運(yùn)用．

在向量教學(xué)的初期,受制于復(fù)雜題型的干擾,大多數(shù)同學(xué)對(duì)向量相關(guān)的題目深感困惑．本文通過向量的應(yīng)用進(jìn)行系統(tǒng)的分類,幫助同學(xué)整理一類學(xué)習(xí)素材,為學(xué)習(xí)向量提供了科學(xué)的借鑒．可見無論是向量基礎(chǔ)理論的應(yīng)用,還是與平面幾何或是立體幾何的“數(shù)形結(jié)合”,或是與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合呈現(xiàn),都需要以扎實(shí)的理論知識(shí)為基礎(chǔ),縝密的數(shù)學(xué)邏輯為思路,科學(xué)的解題策略為方法,只有這樣，解決向量應(yīng)用問題才能得心應(yīng)手．