• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    基于傅里葉級數(shù)的小推力航天器快速軌跡設計

    2016-12-17 08:23:40曾奎耿云海陳炳龍
    自動化學報 2016年11期
    關鍵詞:級數(shù)傅里葉航天器

    曾奎 耿云海 陳炳龍

    基于傅里葉級數(shù)的小推力航天器快速軌跡設計

    曾奎1耿云海1陳炳龍2

    為了滿足小推力航天器交會軌跡的快速性設計需求,基于形狀逼近理論,設計了一種三維軌跡模型.將軌跡設計問題轉換為求解傅里葉級數(shù)的系數(shù)問題,避免了軌跡運動方程非線性強、難以求解的難題,極大地提高了計算效率.考慮到推力加速度的限制,建立了加速度約束方程,并結合軌跡的運動方程,給出了傅里葉級數(shù)的求解過程.同時根據(jù)邊界條件和最大推力加速度值,定性地分析了傅里葉系數(shù)的存在條件.仿真驗證了該方法的正確性和可行性,并從計算效率上與高斯偽譜法進行了對比,結果表明本文的方法計算耗時僅為高斯偽譜法的0.67%.

    快速性,小推力,軌跡設計,推力限制,傅里葉級數(shù),航天器

    航天器任務設計的初步階段,需要快速地設計出一條合理的初始軌跡并評估燃料的消耗量,然而由于小推力軌跡模型的非線性較強,直接以解析解的形式求出運動軌跡非常困難,而且實際工程中推力具有最大限制,極大地增加了任務挑戰(zhàn)性[1].傳統(tǒng)的方法中一般將小推力軌跡設計問題轉化為最優(yōu)控制問題來求解,求解方法主要分為兩類[2?4]:直接法和間接法.但是這兩類方法對初始猜測值比較敏感,而且對于不同的初始值需要對全過程重新進行數(shù)值積分,不能滿足任務初步階段的快速性需求.因此,尋找新的快速性軌跡設計方法非常重要.

    為了解決任務設計初步階段的快速性需求, 1999年Petropoulos等[5]提出了一種形狀逼近法,為小推力軌跡設計問題打開了一扇新的大門.形狀逼近法是一種基于逆向設計的思想,它首先假設運動軌跡呈某一特定的曲線,然后用形狀曲線擬合的方法設計出滿足要求的轉移軌跡.由于該方法簡單、快速,迅速引起了學者的廣泛關注.Petropoulos等[6]用正弦指數(shù)函數(shù)模型設計了小推力攔截軌跡.Izzo[7]研究了基于正弦指數(shù)函數(shù)模型的多圈Lambert問題.然而,對于交會問題正弦指數(shù)函數(shù)模型不能滿足終端速度約束條件.隨后,Wall等[8?9]提出了一種6階逆多項式的方法,該方法雖然能滿足邊界條件約束,但是對于交會問題,只能通過增大轉移時間或增加軌跡的圈數(shù)來減小最大推力加速度值.為了解決推力約束的問題,Taheri等[10?11]引入了傅里葉函數(shù),設計了一種近似軌跡模型,但是該模型適合于轉移圈數(shù)給定的情況,而且文中沒有給出系數(shù)的存在條件,對于快速性軌跡設計需求存在一定的局限性.

    針對空間小推力軌道交會問題,本文在前人的基礎上引入傅里葉級數(shù)模型,設計了一種基于傅里葉級數(shù)的空間小推力軌跡設計方法.通過軌跡模型,將小推力軌跡設計問題轉化成了求解傅里葉系數(shù)的問題.根據(jù)加速度約束方程和軌跡運動約束方程,結合序列二次規(guī)劃算法給出了系數(shù)的求解過程,并定性分析了傅里葉系數(shù)解的存在條件.最后仿真驗證了該方法的正確性和可行性.本文所設計的方法可為工程設計初步階段提供一定的技術參考,或為更進一步的精確計算提供初值依據(jù).

    1 基于傅里葉級數(shù)的軌跡模型

    1.1 問題的提出

    在軌道交會過程中,航天器在空間的轉移軌跡是一條滿足約束條件的空間曲線.通常情況下,對于任意給定的一條空間曲線都可以近似用一個傅里葉級數(shù)的形式來表示,所以航天器的軌跡設計問題可以轉化為傅里葉級數(shù)的設計問題,而傅里葉級數(shù)取決于多項式的系數(shù),因此,只要確定了多項式的系數(shù),就可以確定航天器在空間的運動軌跡.

    為了便于分析和計算,本文以初始軌道平面為參考面,建立柱坐標系,將航天器的軌跡表示為極角θ、半徑r和軌道面法向位置z的函數(shù),圖中x軸和y軸位于初始軌道面內,與z軸構成右手坐標系,如圖1所示.

    圖1 柱坐標系Fig.1 Cylindrical coordinate system

    根據(jù)牛頓引力定律,航天器的運動方程在柱坐標系下可以表示為[9,12]

    式中,z表示oz軸方向的位置,Tain表示航天器在oxy平面內的推力加速度大小,Taz表示oz軸方向的推力加速度大小,α為oxy平面內的推力方向角,μ為地心引力常數(shù),s表示地心距,其中

    在柱坐標系下,只要確定了航天器每個時刻的狀態(tài)(r,θ,z),航天器的空間運動軌跡便可以唯一確定.下面采用傅里葉級數(shù)的設計思想,分別對oxy平面內的運動和z向的運動進行建模分析.

    1.2 模型的建立

    1.2.1 oxy平面內的運動

    在平面內航天器的位置是軌道半徑r和極角θ的函數(shù),r和θ可以表示成兩種函數(shù)形式[6,8],一種是以θ為自變量,用θ來表示函數(shù)r;另一種是將r和θ都表示成關于時間t的函數(shù).這里選取第二種形式,航天器在oxy平面內的運動軌跡模型如下:

    式中,T表示從離軌點到入軌點之間的飛行時間, a0,an,bn和c0,cn,dn為待定系數(shù),nr,nθ∈N且nr≥2,nθ≥2.

    假設平面內推力方向角等于飛行路徑角,即

    式中,γ表示飛行路徑角,當推力方向與速度方向相同時b等于1,相反時b等于0.

    對式(1)中的第二項進行整理可得

    將上式代入式(1)中的第一項,整理可得

    將式(3)代入式(5)可得

    根據(jù)切向速度與徑向速度之間的關系,可知推力方向角的表達式為

    將式(7)代入式(6),可得oxy平面內軌跡約束方程為

    1.2.2 平面外的運動

    平面外的運動即oz軸方向的運動,考慮到轉移軌跡具有一定的周期性,為了盡量減少優(yōu)化參數(shù),同時提高軌跡模型的逼近能力,這里選取極角θ作為自變量,將平面外的運動表示成關于余弦函數(shù)和高階多項式的復合函數(shù)的形式

    式中,az,bz,cz,dz為多項式的系數(shù),q為大于等于3的正整數(shù).由于平面外的運動邊界條件已知,即初始和末端時刻航天器z向運動的位置和速度參數(shù)是確定的,所以可以直接求出式(9)中的多項式系數(shù).

    將式(9)代入式(1)中的第三項得z軸方向推力加速度值為

    由式(4)和式(10)可得總的推力加速度大小為

    由于實際工程中,發(fā)動機的推力是有限制的,所以在軌跡設計中還需要考慮如下約束方程

    式中,Ta,max表示軌道機動過程中允許的最大推力加速度值.

    2 傅里葉級數(shù)系數(shù)的求解

    由于傅里葉級數(shù)各項系數(shù)的好壞直接影響著軌跡模型的逼近能力,因此求解滿足邊界條件和約束方程的最優(yōu)系數(shù)是本文設計方法的關鍵.

    將式(2)和(9)代入式(8)和(12),可以得到一組僅與未知系數(shù)和時間變量相關的非線性代數(shù)方程

    式中,j=0,···,m,k=0,···,n.式(13)和(14)即為各個時刻航天器的運動軌跡需要滿足的所有約束函數(shù).求解未知系數(shù)至少需要2(nr+nθ+1)個方程.為了得出約束方程,需要先對軌道轉移時間進行離散化,然后針對每一個離散點建立滿足約束函數(shù)的方程.

    通常情況下,nr和nθ取10以內的值即可達到較高的精度.對于帶推力約束的軌跡設計問題,nr和nθ的取值大于等于3才能保證推力在約束范圍以內,為了保證邊界點處的位置和速度精度,未知系數(shù)分兩部分求取.

    2.1 由邊界條件直接確定的系數(shù)

    令初始時刻t0=0,將初始時刻t0和末端時刻tf的狀態(tài)參數(shù)分別代入式(13),可得式(2)中函數(shù)r的可確定系數(shù)為

    式中,λ1≥3,λ1為奇數(shù),λ2≥4,λ2為偶數(shù).r0和 rf分別為初始和末端時刻軌道半徑,和分別為初始和末端時刻徑向速度.

    同理,將初始時刻t0和末端時刻tf的狀態(tài)參數(shù)分別代入式(13),可得式(2)中函數(shù)θ的可確定系數(shù)為

    式中,τ1≥3,τ1為奇數(shù),τ2≥4,τ2為偶數(shù).θ0和 θf分別為初始和末端時刻的極角,0和分別為初始和末端時刻極角的變化率.

    同理,將t0和tf時刻的狀態(tài)參數(shù)分別代入式(2)和式(9),整理得

    z0和zf分別為初始時刻oz軸方向的位置,和分別為末端時刻oz軸方向的速度值.

    圖2 極角的定義Fig.2 Definitions of angles

    2.2 待優(yōu)化系數(shù)的求解

    2.2.1 優(yōu)化算法和求解步驟

    為了使計算過程盡量簡單,本文選用序列二次規(guī)劃(Sequential quadratic programming,SQP)[10]的方法對待求系數(shù)進行優(yōu)化求解.在計算的過程中為了避免有多個極值點和陷入局部極小值的情況,采用了Lagrange乘子法,對Lagrange函數(shù)取二次逼近,將帶有非線性約束的優(yōu)化問題轉換為二次規(guī)劃問題,通過求解指標函數(shù)的最小值來獲得待求系數(shù)的最優(yōu)值.本文以燃料消耗作為優(yōu)化指標函數(shù)

    對于給定的軌道轉移時間T和極角θf、傅里葉級數(shù)nr和nθ,以及離散點DP的個數(shù),待優(yōu)化多項式系數(shù)的計算步驟如下:

    2)結合離散點DP的個數(shù),將軌道交會時間區(qū)間0~tf,離散成(DP?1)個區(qū)間,利用步驟1)中給出參考軌跡模型,計算出每個節(jié)點i處的狀態(tài)參數(shù)將這些狀態(tài)參數(shù)代入式(13)中,通過等式約束方程初步估算出多項式系數(shù)的猜測值;

    3)在猜測值的基礎上,根據(jù)每個節(jié)點處的約束方程,采用序列二次規(guī)劃的方法,優(yōu)化求解出滿足所有約束方程(13)和(14)的一組最優(yōu)解,所得的最優(yōu)解即為所求的待優(yōu)化多項式系數(shù).

    2.2.2 待優(yōu)化系數(shù)的初值猜測

    在用SQP方法求解待優(yōu)化系數(shù)時,首先要給出一組初始猜測值.為了避免自主猜測的盲目性,本文采用初始值自主給定的方式,首先假設存在一條滿足等式(13)約束的參考軌跡,然后根據(jù)參考軌跡上的離散點,擬合出初始猜測值.文獻[8,10]給出了逆多項式法和指數(shù)正弦函數(shù)兩種參考軌跡模型,但是文獻中的模型都是以極角θ作為自變量,而本文的模型是以時間為自變量,為了能夠簡單、快速地得出初始參考軌跡,這里選用了立方多項式的方法.

    r和θ的參考軌跡模型如下

    式中,a,b,c,d和e,f,g,h均為常值,其值可由初始和末端邊界狀態(tài)參數(shù)直接得出.

    2.3 待優(yōu)化系數(shù)的存在條件

    待優(yōu)化系數(shù)的存在性,決定著是否存在滿足設計要求的軌跡曲線,在有推力約束軌跡的設計任務中,軌跡設計的難點是尋找滿足推力加速限制的曲線.對于本文的方法,影響軌跡曲線性能的因素,除了軌跡模型的逼近能力外,主要的影響因素就是轉移軌跡的圈數(shù)Nrev.本節(jié)將定性給出Nrev的確定方法.

    對于給定的軌道交會任務,交會時間是確定的,軌道交會時間T滿足以下約束

    式中Pt0和Ptf分別表示初始和目標軌道的周期(這里假設Pt0<Ptf).

    為了保證算法的收斂、避免軌跡發(fā)生奇異現(xiàn)象,由式(20)可得轉移軌跡的圈數(shù)Nrev取值范圍為

    此外,為了保證在推力約束范圍以內存在滿足邊界條件的最優(yōu)解,除了θf≥以外,還應滿足以下條件

    式中v0和vf表示離軌點和入軌點的速度大小,a0和af表示初始軌道和目標軌道的半長軸.

    對于不同的軌道交會任務,根據(jù)給定的設計參數(shù)Nrev可能存在多個可行值,由于Nrev的值越大,所需離散點的個數(shù)就越多,直接會導致計算量增大,為了滿足快速性設計需求,在計算過程中選取Nrev的最小值作為最優(yōu)值.

    3 數(shù)值分析

    為了論證本文所設計的方法的可行性和有效性,選取如下算例進行仿真驗證.仿真電腦為Windows 7系統(tǒng),內存(RAM)4GB,仿真平臺為Matlab2014a.

    假設航天器初始軌道參數(shù)和目標軌道參數(shù)如表1所示,表中的a、e、i、ω、?和f分別為軌道半長軸、偏心率、軌道傾角、近地點幅角、升交點赤經(jīng)和真近點角.輸入?yún)?shù)nr=4,nθ=5, q取9,離散點數(shù)DP 取22,整個軌道轉移時間為17449s,初始質量為4000kg,發(fā)動機的比沖為 3000m/s.根據(jù)式(21)和(23)計算可得1.9306<Nrev<2.8830,由于Nrev為正整數(shù),所以Nrev取2.為了便于計算,仿真中將參數(shù)進行無量綱化,選取參考長度為DU,1DU=6378.1km,參考時間為發(fā)動機的推力限制設為Ta,max=0.014DU/TU2.

    表1 輸入狀態(tài)參數(shù)Table 1 Input boundary parameters

    由前文可知,本文方法中設計參數(shù)有q、離散點個數(shù)DP、nr和nθ,為了分析各設計參數(shù)對計算效率和精度的影響,這里結合仿真算例,在給定的設計參數(shù)基礎上,分別以某一設計參數(shù)作為變量進行仿真.從仿真結果來看,初始和末端的速度、位置計算精度均在10?16量級,由于篇幅有限,表2~4給出了部分仿真結果,其中?v表示燃料消耗,Tmax表示最大推力加速度值,?t表示仿真時間.

    表2 q取不同值時的仿真結果Table 2 Results with different q

    表3 DP取不同值時的仿真結果Table 3 Results with different DP

    表4 nr,nθ取不同值時的仿真結果Table 4 Results with different nrand nθ

    從表2~4中的數(shù)據(jù)分析可知,單獨改變q和DP的值對最大推力加速度值Tmax的影響不是很明顯.當q較小或過大時,軌跡模型的逼近能力較差,計算耗時長,而且精度下降.q直接影響的是軌跡模型的逼近能力,根據(jù)多項式的特性可知,q取7附近的值時,式(9)的逼近能力最強,所以q一般取7附近的值.對于轉移軌跡,當每圈離散點的個數(shù)在10以上時,可以達到較高的計算精度,對于本文的算例當每圈離散點的個數(shù)超過60時,計算精度基本保持不變,但是由于計算量增加,計算效率明顯下降.nr和nθ的取值對Tmax影響比較明顯,隨著nr、nθ的增大,Tmax和?v逐漸下降,并趨于穩(wěn)定,當nr、nθ增大到一定值時,計算精度趨于飽和,由于模型中多項式的系數(shù)增加,計算時間快速上升.同時,由表2和表4對比分析可知,在軌跡設計過程中選定q,將nr和nθ作為優(yōu)化變量,更容易快速得出精確的計算結果.

    令柱坐標系下初始軌道面內的x軸、y軸與地心慣性坐標系在赤道面內的兩個坐標軸重合,算例的仿真結果如圖3~5所示.考慮到逆多項式設計法(Inverse polynomial,IP method)是形狀逼近法中最經(jīng)典的方法,為了直觀地分析本文方法(Proposed method)的合理性,仿真中同時給出了逆多項式設計法的仿真結果.

    圖3為軌道交會過程中航天器的軌跡變化,從圖中可以看出采用本文的設計方法,在離軌第一圈時間內,軌跡變化較平緩,基本沿著初始軌道附近運動,隨著時間的推進,z方向的運動逐漸變快,隨后平滑地切入到目標軌道交會點,進入目標軌道.仿真得到的離軌點狀態(tài)值為(1.1254, 1.2034E–18,2.0311E–18,–3.0251E–19,0.8376, 4.3610E–18),入軌點的狀態(tài)值為(1.4842,3.1415,–0.0518,–1.5261E–18,0.5501, 1.3892E–19),與初始給定的狀態(tài)值誤差均小于10?17量級,表明所得軌跡曲線能很好地滿足邊界約束條件.

    為了更直觀地分析軌跡變化情況,圖4給出了軌道交會過程中航天器地心距的變化曲線,從曲線的變化趨勢可以看出在軌跡末端實線和虛線完全重合,兩種方式都能保證航天器精確地到達交會點,但是相比于逆多項式設計法,本文方法在離軌和入軌區(qū)間段軌跡變化更為平緩.

    圖4 地心距的變化Fig.4 Geocentric distance profiles

    圖5給出了推力加速的變化曲線,由于本文方法在算法中考慮了推力加速度的限制,推力加速度的最大值保持在給定的范圍以內.而逆多項式方法假定運動軌跡為某一特定的曲線,限制了模型的逼近能力,最大推力加速度值超出了允許的范圍.

    圖5 推力加速度變化曲線Fig.5 Thrust acceleration profiles

    考慮到高斯偽譜法是最優(yōu)控制方法中精度非常高的一種算法,最后采用高斯偽譜法對算例進行了仿真.由表5中的數(shù)據(jù)可知本文的方法燃料消耗非常接近高斯偽譜法,說明本文方法燃料預估精度較高,而且明顯高于逆多項式方法.同時本文方法計算得出的Tmax值小于0.014,進一步表明本文的方法具有滿足推力加速度約束的能力.從仿真時間來看,由于逆多項式是以解析解的形式給出的結果,計算時間最短,但是相比于逆多項式算法僅多了0.2789s;相比于高斯偽譜法,本文方法避免了反復迭代尋找初始協(xié)態(tài)變量的過程,計算時間減少了61.488s,僅為高斯偽譜法的0.67%,極大提高了計算效率.

    表5 三種方法計算結果比較Table 5 Comparison of the results using three methods

    4 結論

    本文針對小推力航天器空間交會軌跡設計問題,提出了一種基于傅里葉級數(shù)的快速軌跡設計方法,并通過仿真驗證了該方法的正確性和可行性.本文的方法主要有以下3個優(yōu)點:1)模型簡單、計算快速:通過形狀曲線擬合運動軌跡,克服了非線性運動方程難以求解的困難,直接將軌跡設計問題簡化成了求解傅里葉級數(shù)系數(shù)的問題,提高了計算效率;2)求解精度較高:避免了建模時假設運動軌跡成某一特定形狀曲線的限制,增強了形狀曲線的逼近能力,改善了求解精度;3)可用性好:設計過程中考慮了發(fā)動機的推力限制,所得結果不僅能滿足邊界條件,而且還能滿足推力加速度約束條件.本文方法可為小推力航天器任務設計初步階段的交會軌跡設計和燃料預估提供一定的參考,或為更進一步的精確計算提供可靠的初始值.

    本文方法旨在為任務設計初步階段小推力軌跡設計問題提供一種新思路,對于如何定量地選擇設計參數(shù)(q、nr、nθ和DP)、考慮攝動干擾和常值小推力等軌跡設計問題,將在后續(xù)的工作中做進一步的深入研究.

    1 Laipert F E,Longuski J M.Low-thrust trajectories for human missions to Ceres.Acta Astronautica,2014,95: 124?132

    2 Graham K F,Rao A V.Minimum-time trajectory optimization of multiple revolution low-thrust earth-orbit transfers. Journal of Spacecraft and Rockets,2015,52(3):711?727

    3 Sun C,Yuan J P,Fang Q.Continuous low thrust trajectory optimization for preliminary design.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers.Part G:Journal of Aerospace Engineering,2016,230(5):921?933

    4 Topputo F,Zhang C.Survey of direct transcription for lowthrust space trajectory optimization with applications.Abstract and Applied Analysis,2014,2014:851720,DOI: 10.1155/2014/851720

    5 Petropoulos A E,Longuski J M,Vinh N X.Shape-based analytic representations of low-thrust trajectories for gravityassist applications.In:Proceedings of the 2000 Advances in Astronautical Sciences.Girdwood,USA:AAS,2000. 563?581

    6 Petropoulos A E,Longuski J M.Shape-based algorithm for the automated design of low-thrust,gravity assist trajectories.Journal of Spacecraft and Rockets,2004,41(5): 787?796

    7 Izzo D.Lambert's problem for exponential sinusoids.Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2006,29(5): 1242?1245

    8 Wall B J,Conway B A.Shape-based approach to low-thrust rendezvous trajectory design.Journal of Guidance,Control, and Dynamics,2009,32(1):95?101

    9 Wall B J.Shape-based approximation method for lowthrust trajectory optimization.In:Proceedings of the 2008 AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit.Honolulu,Hawaii:AIAA,2008.

    10 Taheri E,Abdelkhalik O.Shape based approximation of constrained low-thrust space trajectories using Fourier series.Journal of Spacecraft and Rockets,2012,49(3): 535?546

    11 Taheri E,Abdelkhalik O.Initial three-dimensional lowthrust trajectory design.Advances in Space Research,2016, 57(3):889?903

    12 Gondelach D J,Noomen R.Hodographic-shaping method for low-thrust interplanetary trajectory design.Journal of Spacecraft and Rockets,2015,52(3):728?738

    曾 奎 哈爾濱工業(yè)大學衛(wèi)星技術研究所博士研究生.主要研究方向為小推力航天器軌跡設計.

    E-mail:zenghit@126.com

    (ZENG Kui Ph.D.candidate at the Research Center of Satellite Technology,Harbin Institute of Technology. His research interest covers low-thrust spacecraft trajectory design.)

    耿云海 哈爾濱工業(yè)大學航天學院教授.主要研究方向為飛行器動力學與控制.本文通信作者.

    E-mail:gengyh@hit.edu.cn

    (GENG Yun-HaiProfessor at the Astronautics School,Harbin Institute of Technology. His research interest covers astrodynamics and control.Corresponding author of this paper.)

    陳炳龍 博士,上海微小衛(wèi)星工程中心工程師.主要研究方向為航天器動力學與控制.

    E-mail:chenbinglonghit@163.com

    (CHEN Bing-Long Ph.D.,engineer at Shanghai Engineering Center for Micro-Satellite.His research interest covers spacecraft dynamic and control.)

    Rapid Design of Low-thrust Rendezvous Trajectory with Fourier Series

    ZENG Kui1GENG Yun-Hai1CHEN Bing-Long2

    Trajectory design with low-thrust propulsion needs a method for quickly approximating the spacecraft′s trajectory during the preliminary stage phase.To address this requirement,a 3D rendezvous trajectory design model is proposed based on the shape-based theory,by which the trajectory design problem is simplified into solving the coefficients of Fourier series.In the process of solving coefficients,thrust constraint is considered,and the existence conditions of the coefficients are qualitatively analyzed.Finally,the correctness and feasibility of this approach are verified through a numerical example.Results show that the proposed method can not only satisfy the boundary conditions and thrust constraint,but also has a good computational efficiency.Its computation time is only 0.67%of that of the Gauss pseudospectral method.

    Quickly approximating,low-thrust,trajectory design,thrust constraint,Fourier serious,spacecraft

    曾奎,耿云海,陳炳龍.基于傅里葉級數(shù)的小推力航天器快速軌跡設計.自動化學報,2016,42(11):1641?1647

    Zeng Kui,Geng Yun-Hai,Chen Bing-Long.Rapid design of low-thrust rendezvous trajectory with Fourier series.Acta Automatica Sinica,2016,42(11):1641?1647

    2015-12-21 錄用日期2016-04-28

    Manuscript received December 21,2015;accepted April 28, 2016

    國家自然科學基金(61473096)資助

    Supported by National Natural Science Foundation of China (61473096)

    本文責任編委崔平遠

    Recommended by Associate Editor CUI Ping-Yuan

    1.哈爾濱工業(yè)大學衛(wèi)星技術研究所 哈爾濱150001 2.上海微小衛(wèi)星工程中心上海201210

    1.Research Centre of Satellite Technology,Harbin Institute of Technology,Harbin 150001 2.Shanghai Engineering Center for Micro-Satellite,Shanghai 201210

    DOI 10.16383/j.aas.2016.c150859

    猜你喜歡
    級數(shù)傅里葉航天器
    2022 年第二季度航天器發(fā)射統(tǒng)計
    國際太空(2022年7期)2022-08-16 09:52:50
    2019 年第二季度航天器發(fā)射統(tǒng)計
    國際太空(2019年9期)2019-10-23 01:55:34
    雙線性傅里葉乘子算子的量化加權估計
    2018 年第三季度航天器發(fā)射統(tǒng)計
    國際太空(2018年12期)2019-01-28 12:53:20
    Dirichlet級數(shù)及其Dirichlet-Hadamard乘積的增長性
    基于小波降噪的稀疏傅里葉變換時延估計
    測控技術(2018年7期)2018-12-09 08:58:26
    2018年第二季度航天器發(fā)射統(tǒng)計
    國際太空(2018年9期)2018-10-18 08:51:32
    幾個常數(shù)項級數(shù)的和
    基于傅里葉變換的快速TAMVDR算法
    p級數(shù)求和的兩種方法
    高清毛片免费观看视频网站| 最近最新免费中文字幕在线| 99久久综合精品五月天人人| 亚洲欧美日韩东京热| 国产免费一级a男人的天堂| 久久久成人免费电影| 亚洲av第一区精品v没综合| 欧美日韩福利视频一区二区| 亚洲av中文字字幕乱码综合| 久久久久久九九精品二区国产| 在线免费观看的www视频| 免费搜索国产男女视频| 91麻豆av在线| 国产毛片a区久久久久| 成人国产一区最新在线观看| 90打野战视频偷拍视频| 色视频www国产| 免费观看精品视频网站| 国产爱豆传媒在线观看| 中文字幕熟女人妻在线| 欧美中文日本在线观看视频| 成人高潮视频无遮挡免费网站| 日本五十路高清| 丰满乱子伦码专区| bbb黄色大片| 免费人成在线观看视频色| 国产99白浆流出| 男女做爰动态图高潮gif福利片| 欧美日韩乱码在线| 成熟少妇高潮喷水视频| 少妇高潮的动态图| 日本 av在线| 99国产精品一区二区蜜桃av| 尤物成人国产欧美一区二区三区| 欧美最新免费一区二区三区 | av欧美777| 日本a在线网址| 桃色一区二区三区在线观看| 午夜日韩欧美国产| 美女大奶头视频| 在线观看美女被高潮喷水网站 | 成人亚洲精品av一区二区| 一个人看视频在线观看www免费 | 淫妇啪啪啪对白视频| 女同久久另类99精品国产91| 久久精品影院6| tocl精华| 少妇的逼水好多| 久久久久久人人人人人| 国产av不卡久久| 最近在线观看免费完整版| 九色国产91popny在线| 女同久久另类99精品国产91| 19禁男女啪啪无遮挡网站| 国产淫片久久久久久久久 | 久久久久免费精品人妻一区二区| 亚洲精品成人久久久久久| 亚洲av第一区精品v没综合| 精品不卡国产一区二区三区| 亚洲乱码一区二区免费版| 午夜福利免费观看在线| 久久久久性生活片| 欧美日韩国产亚洲二区| 3wmmmm亚洲av在线观看| 亚洲av熟女| 亚洲成a人片在线一区二区| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 悠悠久久av| 亚洲av成人av| 欧美色视频一区免费| 九色国产91popny在线| 熟女电影av网| 国产精品av视频在线免费观看| 国产精品一区二区三区四区久久| 精品国产超薄肉色丝袜足j| 99久久精品热视频| 高清日韩中文字幕在线| 舔av片在线| 久久天躁狠狠躁夜夜2o2o| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| 国产成人av教育| 国产 一区 欧美 日韩| 亚洲精品一卡2卡三卡4卡5卡| 最好的美女福利视频网| 午夜福利免费观看在线| 国产不卡一卡二| 亚洲,欧美精品.| 久久香蕉国产精品| 国产精品一区二区三区四区久久| 99热只有精品国产| 日本黄大片高清| 久久精品人妻少妇| 久久人人精品亚洲av| 国产一区在线观看成人免费| 成人国产一区最新在线观看| 久久精品国产清高在天天线| 国产成人系列免费观看| 成年版毛片免费区| 国内精品一区二区在线观看| 天堂av国产一区二区熟女人妻| 国产综合懂色| 亚洲人成网站在线播| 99精品久久久久人妻精品| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频| 一级黄片播放器| www国产在线视频色| 午夜日韩欧美国产| 精品国内亚洲2022精品成人| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 精品久久久久久久久久久久久| 久久久色成人| 亚洲成a人片在线一区二区| 狂野欧美激情性xxxx| 国产 一区 欧美 日韩| 亚洲午夜理论影院| 亚洲av五月六月丁香网| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看 | 69av精品久久久久久| 欧美丝袜亚洲另类 | 香蕉av资源在线| 免费大片18禁| 国产精品久久久久久精品电影| 露出奶头的视频| 久99久视频精品免费| 国产精品99久久99久久久不卡| 成人欧美大片| 亚洲精品乱码久久久v下载方式 | 亚洲欧美日韩高清在线视频| 欧美日韩国产亚洲二区| 亚洲欧美日韩高清在线视频| 欧美不卡视频在线免费观看| 无遮挡黄片免费观看| 国产欧美日韩精品亚洲av| 99国产精品一区二区蜜桃av| 在线观看免费午夜福利视频| 久久伊人香网站| 成人欧美大片| 精品一区二区三区视频在线观看免费| 中文字幕人成人乱码亚洲影| 丰满乱子伦码专区| 日韩高清综合在线| 国产97色在线日韩免费| 欧美一级a爱片免费观看看| 两人在一起打扑克的视频| 天天添夜夜摸| 久久精品影院6| 亚洲狠狠婷婷综合久久图片| 十八禁人妻一区二区| 首页视频小说图片口味搜索| 天堂av国产一区二区熟女人妻| 一级黄色大片毛片| 亚洲精品日韩av片在线观看 | 性色avwww在线观看| 国产97色在线日韩免费| 小蜜桃在线观看免费完整版高清| 欧美日韩精品网址| 精品久久久久久,| 久久久久久久午夜电影| 男人的好看免费观看在线视频| svipshipincom国产片| 91九色精品人成在线观看| 不卡一级毛片| 国产真人三级小视频在线观看| 长腿黑丝高跟| 亚洲av第一区精品v没综合| 一级黄片播放器| 观看免费一级毛片| 少妇的逼水好多| 一本综合久久免费| 久久精品国产综合久久久| 久久久久国产精品人妻aⅴ院| 色综合婷婷激情| 国产精品国产高清国产av| 麻豆成人av在线观看| 男人舔奶头视频| 久久精品影院6| 国产成人影院久久av| 老司机福利观看| 波多野结衣巨乳人妻| 不卡一级毛片| 他把我摸到了高潮在线观看| 色吧在线观看| 亚洲av成人不卡在线观看播放网| 观看免费一级毛片| 成人欧美大片| 国产又黄又爽又无遮挡在线| 成人欧美大片| 日本黄大片高清| 丰满的人妻完整版| 51午夜福利影视在线观看| 精品欧美国产一区二区三| 国产av一区在线观看免费| 岛国在线观看网站| 免费看a级黄色片| 女生性感内裤真人,穿戴方法视频| www.www免费av| 色综合欧美亚洲国产小说| 亚洲国产欧美网| 国产爱豆传媒在线观看| 亚洲精品色激情综合| 变态另类丝袜制服| 午夜福利欧美成人| 国产乱人视频| 欧美av亚洲av综合av国产av| av国产免费在线观看| 亚洲精品色激情综合| 一个人观看的视频www高清免费观看| x7x7x7水蜜桃| 丁香六月欧美| 精品一区二区三区人妻视频| 国产成人福利小说| 在线播放国产精品三级| 村上凉子中文字幕在线| 18美女黄网站色大片免费观看| 亚洲久久久久久中文字幕| 国内精品一区二区在线观看| 亚洲乱码一区二区免费版| 亚洲av日韩精品久久久久久密| 亚洲最大成人手机在线| 99久久成人亚洲精品观看| 国产欧美日韩精品一区二区| 精品国产亚洲在线| 高清日韩中文字幕在线| 欧美在线一区亚洲| 亚洲久久久久久中文字幕| 一进一出抽搐gif免费好疼| 日本a在线网址| 黑人欧美特级aaaaaa片| 婷婷六月久久综合丁香| 亚洲一区高清亚洲精品| 久久精品国产亚洲av涩爱 | 亚洲无线在线观看| 精品人妻一区二区三区麻豆 | 午夜免费激情av| 91九色精品人成在线观看| 久久久久久久久久黄片| 精品99又大又爽又粗少妇毛片 | 一本综合久久免费| 国产不卡一卡二| 毛片女人毛片| 国产亚洲精品综合一区在线观看| 国产午夜精品久久久久久一区二区三区 | 亚洲精品色激情综合| 亚洲av免费高清在线观看| 黄片大片在线免费观看| 色综合站精品国产| 老鸭窝网址在线观看| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 久久久久久久久中文| 欧美日韩黄片免| 国产伦精品一区二区三区视频9 | 久久久久久大精品| 午夜老司机福利剧场| xxxwww97欧美| 小蜜桃在线观看免费完整版高清| 国产精品影院久久| 亚洲性夜色夜夜综合| 欧美丝袜亚洲另类 | 深爱激情五月婷婷| 亚洲欧美日韩高清专用| 国产97色在线日韩免费| 校园春色视频在线观看| 一个人看视频在线观看www免费 | 亚洲av熟女| 国产亚洲欧美98| h日本视频在线播放| 在线免费观看的www视频| 美女cb高潮喷水在线观看| 国产又黄又爽又无遮挡在线| 老汉色∧v一级毛片| 精品久久久久久久毛片微露脸| e午夜精品久久久久久久| 特级一级黄色大片| 在线视频色国产色| 两个人视频免费观看高清| 国产精品永久免费网站| 中文亚洲av片在线观看爽| 老汉色av国产亚洲站长工具| 三级毛片av免费| 色老头精品视频在线观看| 在线观看一区二区三区| 一边摸一边抽搐一进一小说| 久久久久久久亚洲中文字幕 | 日本黄色视频三级网站网址| 波多野结衣高清作品| 亚洲人成电影免费在线| 亚洲成av人片在线播放无| 男女下面进入的视频免费午夜| 亚洲人成伊人成综合网2020| 亚洲专区中文字幕在线| 麻豆成人午夜福利视频| 亚洲一区二区三区色噜噜| 嫩草影院入口| 成人国产综合亚洲| 搡老妇女老女人老熟妇| 好看av亚洲va欧美ⅴa在| 天堂√8在线中文| 亚洲第一电影网av| 国内揄拍国产精品人妻在线| 亚洲人成网站在线播| 国产三级在线视频| 夜夜夜夜夜久久久久| 精品人妻偷拍中文字幕| 亚洲成人久久爱视频| 欧美三级亚洲精品| 午夜福利视频1000在线观看| 亚洲 欧美 日韩 在线 免费| 日韩高清综合在线| 九九在线视频观看精品| www.www免费av| 成年版毛片免费区| 天天躁日日操中文字幕| 成人国产综合亚洲| 色播亚洲综合网| 国产探花极品一区二区| 天天添夜夜摸| 中文资源天堂在线| 久久久精品欧美日韩精品| 亚洲在线观看片| 丰满的人妻完整版| 一本精品99久久精品77| 久久精品国产清高在天天线| 国产aⅴ精品一区二区三区波| 3wmmmm亚洲av在线观看| 蜜桃亚洲精品一区二区三区| 啦啦啦免费观看视频1| 国产视频内射| 国产三级在线视频| 久久久国产成人精品二区| 婷婷精品国产亚洲av在线| 国产美女午夜福利| 亚洲精品在线美女| 国产欧美日韩一区二区精品| 国产高清视频在线播放一区| 亚洲人与动物交配视频| 国产精品久久久久久亚洲av鲁大| 午夜激情欧美在线| 波多野结衣高清无吗| 99在线视频只有这里精品首页| 国产精品亚洲一级av第二区| 男插女下体视频免费在线播放| 波野结衣二区三区在线 | 欧美乱码精品一区二区三区| 亚洲狠狠婷婷综合久久图片| 香蕉久久夜色| 超碰av人人做人人爽久久 | 国产欧美日韩精品亚洲av| 九色国产91popny在线| 国产蜜桃级精品一区二区三区| 校园春色视频在线观看| 欧美在线黄色| 亚洲avbb在线观看| 精品国产三级普通话版| 尤物成人国产欧美一区二区三区| 午夜免费观看网址| 亚洲在线自拍视频| 长腿黑丝高跟| a级一级毛片免费在线观看| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 午夜精品一区二区三区免费看| 日韩欧美三级三区| 国产探花在线观看一区二区| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区| 日韩欧美在线乱码| 亚洲性夜色夜夜综合| 午夜日韩欧美国产| 欧美性感艳星| 韩国av一区二区三区四区| 最近视频中文字幕2019在线8| 国产激情偷乱视频一区二区| 国产精品自产拍在线观看55亚洲| 欧美乱码精品一区二区三区| 亚洲av第一区精品v没综合| 国产探花极品一区二区| 免费搜索国产男女视频| 欧美区成人在线视频| 免费看十八禁软件| 不卡一级毛片| 日韩欧美在线乱码| 18禁在线播放成人免费| 久久久久免费精品人妻一区二区| 免费观看人在逋| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看 | 欧美不卡视频在线免费观看| 最近最新免费中文字幕在线| 中文亚洲av片在线观看爽| 高清毛片免费观看视频网站| 日本黄大片高清| 午夜精品在线福利| 日本免费一区二区三区高清不卡| 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 男人和女人高潮做爰伦理| 日本黄大片高清| 亚洲欧美日韩高清专用| 日韩人妻高清精品专区| 1024手机看黄色片| 又粗又爽又猛毛片免费看| 精品无人区乱码1区二区| 欧美又色又爽又黄视频| 国产v大片淫在线免费观看| 五月伊人婷婷丁香| 国产高清videossex| 久久久久久久久大av| 最新美女视频免费是黄的| 中文字幕人妻丝袜一区二区| 波多野结衣巨乳人妻| 天天添夜夜摸| 国产毛片a区久久久久| 69av精品久久久久久| www日本在线高清视频| 99国产精品一区二区蜜桃av| 久久香蕉精品热| 午夜福利视频1000在线观看| 在线观看av片永久免费下载| 99久久精品国产亚洲精品| 村上凉子中文字幕在线| 99热这里只有精品一区| 在线免费观看的www视频| 中文字幕久久专区| 亚洲av日韩精品久久久久久密| 在线观看舔阴道视频| 日韩欧美免费精品| 老司机在亚洲福利影院| 亚洲成av人片免费观看| 中文字幕av成人在线电影| 国产视频内射| 国产主播在线观看一区二区| 国产成人a区在线观看| 亚洲内射少妇av| 在线国产一区二区在线| 99国产综合亚洲精品| 日本熟妇午夜| 最后的刺客免费高清国语| 老汉色∧v一级毛片| 中文字幕精品亚洲无线码一区| 久久国产乱子伦精品免费另类| 亚洲av电影不卡..在线观看| 亚洲av美国av| 少妇的逼水好多| 一个人免费在线观看电影| 精品福利观看| 1024手机看黄色片| 男女午夜视频在线观看| 国产精品久久电影中文字幕| 亚洲av免费在线观看| 美女被艹到高潮喷水动态| 噜噜噜噜噜久久久久久91| 搞女人的毛片| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 午夜福利在线观看免费完整高清在 | 中文亚洲av片在线观看爽| 日韩欧美精品免费久久 | 长腿黑丝高跟| 好看av亚洲va欧美ⅴa在| 91久久精品国产一区二区成人 | 日韩av在线大香蕉| 999久久久精品免费观看国产| 亚洲国产色片| 无遮挡黄片免费观看| 国产精品 欧美亚洲| 天堂动漫精品| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看 | 国产免费一级a男人的天堂| 中文字幕精品亚洲无线码一区| 美女免费视频网站| 尤物成人国产欧美一区二区三区| 久久香蕉国产精品| 熟妇人妻久久中文字幕3abv| 欧美成人一区二区免费高清观看| 动漫黄色视频在线观看| 97超级碰碰碰精品色视频在线观看| 91av网一区二区| 国产高清videossex| 亚洲精品粉嫩美女一区| 国产精品乱码一区二三区的特点| 国产成人影院久久av| 在线观看av片永久免费下载| 人妻久久中文字幕网| 亚洲av免费在线观看| 国产亚洲精品综合一区在线观看| 99久久无色码亚洲精品果冻| 色哟哟哟哟哟哟| 亚洲欧美激情综合另类| av欧美777| 淫妇啪啪啪对白视频| 90打野战视频偷拍视频| 亚洲av五月六月丁香网| tocl精华| 欧美av亚洲av综合av国产av| 两个人看的免费小视频| 一个人免费在线观看的高清视频| 国语自产精品视频在线第100页| 免费人成视频x8x8入口观看| 网址你懂的国产日韩在线| 啪啪无遮挡十八禁网站| 国语自产精品视频在线第100页| 老鸭窝网址在线观看| 小说图片视频综合网站| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 婷婷亚洲欧美| 欧美激情在线99| 免费看光身美女| 亚洲av日韩精品久久久久久密| 高潮久久久久久久久久久不卡| 丰满人妻一区二区三区视频av | 亚洲中文字幕日韩| 嫩草影院入口| 欧美日韩国产亚洲二区| 舔av片在线| 欧美最黄视频在线播放免费| 波多野结衣高清作品| 亚洲av成人精品一区久久| 午夜免费观看网址| 精品久久久久久久久久久久久| 日韩 欧美 亚洲 中文字幕| 色综合欧美亚洲国产小说| 国产精品香港三级国产av潘金莲| 啦啦啦韩国在线观看视频| 一个人免费在线观看电影| 亚洲国产高清在线一区二区三| 99久久精品国产亚洲精品| 一进一出好大好爽视频| 欧美大码av| 18禁国产床啪视频网站| 日日干狠狠操夜夜爽| 久久国产精品人妻蜜桃| 欧美午夜高清在线| 成人亚洲精品av一区二区| 国产午夜精品久久久久久一区二区三区 | 老司机深夜福利视频在线观看| 亚洲18禁久久av| svipshipincom国产片| 国产真人三级小视频在线观看| 欧美日韩一级在线毛片| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 中亚洲国语对白在线视频| 欧美日韩综合久久久久久 | 91在线观看av| 国产一区二区三区在线臀色熟女| 真人做人爱边吃奶动态| 一个人免费在线观看的高清视频| 中文资源天堂在线| 欧美日韩乱码在线| 日韩国内少妇激情av| 有码 亚洲区| 精品不卡国产一区二区三区| 亚洲18禁久久av| 日韩欧美国产在线观看| 搡女人真爽免费视频火全软件 | 亚洲无线在线观看| 中文字幕人妻熟人妻熟丝袜美 | 精品人妻一区二区三区麻豆 | 哪里可以看免费的av片| 成人欧美大片| 国产一区二区亚洲精品在线观看| 色综合婷婷激情| 综合色av麻豆| 亚洲av中文字字幕乱码综合| 亚洲av免费在线观看| 中文在线观看免费www的网站| 3wmmmm亚洲av在线观看| 色视频www国产| 97碰自拍视频| 好男人在线观看高清免费视频| 精品一区二区三区人妻视频| 好男人在线观看高清免费视频| 国产精品综合久久久久久久免费| 成年女人毛片免费观看观看9| 国产高清视频在线观看网站| 又黄又爽又免费观看的视频| 一进一出抽搐动态| 亚洲乱码一区二区免费版| 欧美一级毛片孕妇| 亚洲精品成人久久久久久| 成年女人毛片免费观看观看9| 国产精品久久久久久亚洲av鲁大| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 国产精品综合久久久久久久免费| 日韩亚洲欧美综合| 日本黄大片高清| 麻豆成人午夜福利视频| 1000部很黄的大片| 国产成人aa在线观看| 亚洲精品在线观看二区| 蜜桃久久精品国产亚洲av| or卡值多少钱| 日本黄色视频三级网站网址| 色综合欧美亚洲国产小说| 久久精品综合一区二区三区| 婷婷精品国产亚洲av| bbb黄色大片| 日韩成人在线观看一区二区三区| 亚洲av不卡在线观看| 精华霜和精华液先用哪个| 美女高潮的动态| 亚洲欧美日韩无卡精品| 欧美丝袜亚洲另类 | 午夜精品在线福利| 人妻夜夜爽99麻豆av| 国产中年淑女户外野战色| 村上凉子中文字幕在线| 欧美极品一区二区三区四区| 国产精品久久久人人做人人爽| 淫妇啪啪啪对白视频| 淫秽高清视频在线观看| 在线十欧美十亚洲十日本专区| 在线观看午夜福利视频| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 成人鲁丝片一二三区免费| 亚洲内射少妇av| 又紧又爽又黄一区二区| 中出人妻视频一区二区| 亚洲av日韩精品久久久久久密| 一个人看的www免费观看视频|