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    解決立體幾何的三種方法

    2016-12-16 08:11:20朱小扣
    數(shù)理化解題研究 2016年28期
    關(guān)鍵詞:原圖三棱錐理科

    朱小扣●

    安徽省無為縣牛埠中學(xué)(238351)

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    解決立體幾何的三種方法

    朱小扣●

    安徽省無為縣牛埠中學(xué)(238351)

    立體幾何是高考的重要考點之一,筆者現(xiàn)對其解答方法做如下探討:

    一、顛倒法

    解 根據(jù)題設(shè)條件,可以將圖1顛倒成圖2.首先求出點P坐標(biāo)滿足的方程,據(jù)此再判斷是否存在的兩定點,使得點P到兩點距離的和為定值.

    按題意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)

    直線OF的方程為:

    2ax+(2k-1)y=0

    直線GE的方程為:

    -a(2k-1)x+y-2a=0

    從①,②消去參數(shù)k,得點P(x,y)坐標(biāo)滿足方程2a2x2+y2-2ay=0后面過程略.

    筆者參加過2003年安徽高考,發(fā)現(xiàn)原圖是圖1,而后的各種參考資料都直接把圖2放在題目的后面,這就會讓學(xué)生認(rèn)為這題很簡單,其實,學(xué)生要用圖1做的話難度會加大,又如例二.

    例2 (2013年安徽卷理科19題)

    如圖3,圓錐頂點為P.底面圓心為O,其母線與底面所成的角為22.5°.AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦,軸OP與平面PCD所成的角為60°,

    (Ⅰ)證明:平面PAB與平面PCD的交線平行于底面;

    (Ⅱ)求cos∠COD.

    解析 可以將圖3顛倒成圖4,這個問題就很簡單.我考試后也找學(xué)生了解過,做不出來主要是倒的圓錐在平時考試中沒見過.通過顛倒法就可以讓學(xué)生在短時間內(nèi)將題目進行化歸從而找到解答的方法.

    評析 從2003到2013年,真是十年相似兩茫茫.筆者估計以后的高考也會出類似的考題.雖然顛倒法簡單,但是想到的卻不多,真是大道無門??!顛來倒去是本身,只有充分理解事物的本質(zhì),才能運用好顛倒法.

    二、補形法

    例3 (2013年全國新課標(biāo)Ⅱ卷理科7題)一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時,以zOx平面為投影面,則得到正視圖可以為( )

    將其補出正方形框架(虛線),則它在zOx平面的投影為

    ,故答案A.又如下例:

    例4 (2012年安徽“江南十?!崩砜?9題)如圖6,在多面體ABCDEFG中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,平面ABG,平面ADF,平面CDE都與平面ABCD垂直,且ΔABG,ΔADF,ΔCDE都是正三角形.

    (Ⅰ)求證:AC//EF

    (Ⅱ)求多面體ABCDEFG的體積

    只要將原圖補成長方體ABCD-A1B1C1D1如圖7就可以秒殺這一題

    解 依題意可將原圖補成長方體ABCD-A1B1C1D1,可得,E,F,G是所在棱的中點.

    (1)證:連接A1C1,∵ABCD-A1B1C1D1是長方體,E,F(xiàn)分別是C1D1,A1D1的中點,

    ∴EF//A1C1.

    又∵A1C1//AC,∴EF//AC.

    V多面體ABCDEFG=V長方體ABCD-A1B1C1D1

    -V三棱柱BB1G-CC1E-V三棱錐D-D1EF-V三棱錐A-A1C1F

    此題給的標(biāo)準(zhǔn)答案雖然不是用補形法做的,但是命題者應(yīng)該是從長方體的角度構(gòu)建的,補形之后這題一目了然.

    評析 通過補形法可以彌補學(xué)生空間想象能力的不足,讓學(xué)生充分理解局部和整體的聯(lián)系,必須見微知著,做到窺一斑而知全豹,這樣才能更好理解題目,才能更好的運用補形法.

    三、旋轉(zhuǎn)法

    例5 點P為正方形ABCD內(nèi)一點,若PA=1,PB=2,PC=3,求正方形ABCD的邊長.

    解析 只要將ΔBPC繞著B點逆時針旋轉(zhuǎn)900到ΔBP′A就可以做出來了,這是在平面的應(yīng)用,在空間中舉例如下

    例6 一個三棱錐棱長分別為1,1,1,1,1,a.求a的范圍.

    通過旋轉(zhuǎn)這一題就完美的解決了,又如例7.

    例7 (2010年遼寧卷理科12)有四根長都為2的直鐵條,若再選兩根長都為a的直鐵條,使這六根鐵條端點處相連能夠焊接成一個三棱錐形的鐵架,則a的取值范圍是( )

    用這種方法還可以解決如下題:

    評析 通過旋轉(zhuǎn)可以達到動態(tài)與靜態(tài)的結(jié)合,平面與立體的結(jié)合.所謂的一靜一動謂之道,在旋轉(zhuǎn)的過程中我們才能更好發(fā)覺題目的內(nèi)涵,才能更好的認(rèn)識事物的本質(zhì)與規(guī)律.

    遇到立體幾何問題時,原則上可以用上面三種方法解決.三種方法的運用能很好的鍛煉學(xué)生的思維.與此同樣重要的是,要能靈活運用,不能刻板,知識多是交織的,所以有時要用多種方法結(jié)合才能解決,正所謂:“知之者不如好之者,好之者不如樂之者”.要想學(xué)好數(shù)學(xué)我們還是要做一名樂之者.

    G632

    B

    1008-0333(2016)28-0006-02

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