淺談不等式中的最值問題的巧妙結合

浙江省臺州市第一中學(318000)

姚 元●

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淺談不等式中的最值問題的巧妙結合

浙江省臺州市第一中學(318000)

姚 元●

一、利用“函數(shù)與方程”知識點解決

函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學思想.函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題.方程思想是從問題的數(shù)量關系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解.有時，還實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達到解決問題的目的.

方法二 分析 本題考查函數(shù)與方程相互應用，根據(jù)方程有實根，再利用根的判別式求解.

由(*)式有實根得：Δ=(2t-1)2-12≥0，

二、利用“基本不等式”知識點解決

基本不等式是高中數(shù)學一個重要知識點，高考中經(jīng)?？疾榛静坏仁角笞钪?，具有靈活多變，應用廣泛，技巧性強等特點.在應用的時候要注意“一正二定三相等”，特別關注“二定”，需要我們利用因式分解、配方、有理化等工具來配湊出定值.

(2a+b)+3(b+1)

三、挖掘條件，利用“數(shù)形結合”知識點解決

在數(shù)學解題過程中，通常引導學生把代數(shù)式和幾何圖象的直觀描述進行結合，使抽象思維和形象思維巧妙地結合起來，根據(jù)題目的條件，合理變形，構造適當?shù)暮瘮?shù)，通過對圖形的處理，把抽象轉(zhuǎn)變?yōu)閷嶋H的操作，從而加深學生對數(shù)學知識的深刻理解和掌握.因此對于函數(shù)的圖象和常見的曲線要熟記，以便在應用時得心應手.

然后根據(jù)線性規(guī)劃的知識求解.

設x+y+1=z，則y=-x-1+z.由圖象知當直線過點A時，直線的截距最大，此時z最大.

五、利用“向量(數(shù)量積公式)”知識點解決

不等式的應用通常與函數(shù)，向量等知識相結合來考查學生的運算能力，等價轉(zhuǎn)化的思想，分析和解決問題的能力，綜合思維能力.能根據(jù)已知條件求取值范圍的設問形式呈現(xiàn)，通過相關知識轉(zhuǎn)化為解不等式或者不等式組的問題.

例4 已知實數(shù)a,b,c滿足2a+3b+3c=1，則a2+b2+c2的最小值____.

六、利用“換元引參”知識點解決

解含參數(shù)不等式是高考的重點和難點，因為涉及面廣，綜合性強，方法靈活，作為考查分析問題和解決問題的能力，邏輯推理能力，數(shù)學思維能力和創(chuàng)新能力的重點內(nèi)容之一.

例5 實數(shù)x、y滿足x2-2xy+2y2=2，則x2+2y2的最小值為____.

分析 求解用到了換元引參思想，將等式轉(zhuǎn)換為三角等式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出結論.

解x2-2xy+2y2=2(x-y)2+y2=2

x2+2y2=2(cosθ+sinθ)2+4sin2θ

七、利用“選取特殊值”知識點解決

高中數(shù)學問題的解決取決思維，方法，習慣等多方面，解題方法需要針對性，如果對于一個數(shù)學問題具有一般性結論，那么適當取特殊值也是成立的，這是特殊值法的理論依據(jù).特殊值法最大的優(yōu)點是可以讓一般問題特殊化，抽象問題具體化，大大減少了計算量.

分析 利用自然數(shù)這個限制條件，縮小了要求解的變量個數(shù).

解 根據(jù)題意，由自然數(shù)a,b,c,d,e取a=1,b=2,e=100

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