以求點(diǎn)軌跡方程為例探究高中數(shù)學(xué)解題中對九項(xiàng)循證策略的有效應(yīng)用

福建省泉州市晉江市磁灶中學(xué)(362214)

汪水勇●

?

以求點(diǎn)軌跡方程為例探究高中數(shù)學(xué)解題中對九項(xiàng)循證策略的有效應(yīng)用

福建省泉州市晉江市磁灶中學(xué)(362214)

汪水勇●

九項(xiàng)循證策略在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的運(yùn)用價(jià)值，能能夠有效地提高學(xué)習(xí)效果、效率及效益，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的有效性.本文以高中數(shù)學(xué)“求點(diǎn)軌跡方程” 教學(xué)為例，探究高中數(shù)學(xué)解題中對九項(xiàng)循證策略的有效應(yīng)用.

高中數(shù)學(xué);軌跡方程;九項(xiàng)循征策略

九項(xiàng)循證策略是在2001年形成的一個(gè)十分獨(dú)特的理論，該理論的成熟時(shí)間在2012年，該理論體系還是比較年輕的.最早將該理論提出的是美國中部教育研究和學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)室的多年試驗(yàn)成果.

一、九項(xiàng)循證策略的意義

九項(xiàng)循證策略的主要九項(xiàng)關(guān)系分別是：第一是目標(biāo)及反饋，二是努力及認(rèn)可，三是合作學(xué)習(xí)，四是線索，問題及先行的組織者，五是非評議的表達(dá)，六是概括以及記錄，七是家庭作業(yè)及練習(xí)，九是對相似問題的區(qū)別進(jìn)行分辨，形成自身的想法最終驗(yàn)證.

二、九項(xiàng)循證策略在點(diǎn)軌跡方程教學(xué)實(shí)踐中的運(yùn)用

1.營造環(huán)境

教師首先需要告知學(xué)生，學(xué)生所學(xué)習(xí)的這一部分的重要目的，并且給出十分明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)，幫助學(xué)生對其中的重難點(diǎn)進(jìn)行了解.

2.理解知識運(yùn)用知識

對原有的知識進(jìn)行回顧，回憶自己曾經(jīng)學(xué)過的和本節(jié)課的聯(lián)系相關(guān)的知識，在教材內(nèi)對解題的步驟實(shí)行規(guī)范，曲線方程以及點(diǎn)的軌跡方程為基本的數(shù)學(xué)思想，對相應(yīng)部分的練習(xí)進(jìn)行增加，確保學(xué)生能夠在練習(xí)中對公式進(jìn)行理解并實(shí)現(xiàn)使用.

設(shè)計(jì)的主要策略為：在開展設(shè)計(jì)中，對漸進(jìn)形式問題的提出要格外注意，通過問題給出學(xué)生理解的線索，利用問題促進(jìn)學(xué)生的思考.

a.教材在推導(dǎo)橢圓方程中，是通過建系、設(shè)點(diǎn)、列出關(guān)系和代入及簡化這幾項(xiàng)基本步驟實(shí)現(xiàn)推導(dǎo)的，此外還是這節(jié)課中的基礎(chǔ)和拓展點(diǎn)，尤其在設(shè)點(diǎn)、列關(guān)系式和代入中可能會遇到難點(diǎn)，在這一節(jié)課中的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容需要進(jìn)行關(guān)注.

b.在△ABC中，若是A(-1,0),B(1,0),C(1,2)，可以得知AB⊥BC，那么kABkBC=-1，這一說法對么？若不對，則給出理由.

c.A(-1,0),B(1,0)，平面內(nèi)的P到A、B兩點(diǎn)的距離之和是2，那么P點(diǎn)的軌跡就是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，對不對？若是不對，則給出理由.

整個(gè)設(shè)計(jì)策略，線索問題及先行的組織者.詳細(xì)的來說就是在一節(jié)課開始前，要采用線索、問題和先行組織者，促進(jìn)學(xué)生聚焦于即將開展的學(xué)習(xí)重點(diǎn)上，加強(qiáng)學(xué)習(xí)的動機(jī).借助問題(1)來對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)促使學(xué)生對本節(jié)課的內(nèi)容實(shí)行關(guān)注，隨后將推斷性的問題實(shí)行提出，從而來提升學(xué)生運(yùn)用原有知識的能力，激發(fā)學(xué)生的興趣以及學(xué)習(xí)動機(jī).

(1)直接法求出軌跡方程

變式1 設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(-1,0)和(1,0).直線AM、BM相交于點(diǎn)M，并且它們的斜率商是2，求出點(diǎn)M的軌跡方程.

變式2 點(diǎn)P和定點(diǎn)F(2,0)的距離及它到定直線x=8 距離之比是1∶2，隨后求出點(diǎn)P點(diǎn)軌跡方程，并且說出軌跡的圖形是什么.

變式1和變式2之間的共同點(diǎn)在于采用直接法求出軌跡方程的基本步驟.并且變式1幫助突破了設(shè)點(diǎn)中的范圍確定的方式這一難點(diǎn).變式2處理采用直接法對步驟強(qiáng)化，同時(shí)還根據(jù)學(xué)生的情況選擇運(yùn)用橢圓的第二定義求解.

在上述的例1中可以引導(dǎo)學(xué)生通過在斜率下畫線作為標(biāo)記，并且引導(dǎo)學(xué)生畫線的目的，引導(dǎo)學(xué)生對相應(yīng)的概念進(jìn)行聯(lián)系.斜率必須存在，因此點(diǎn)M(x,y)的橫坐標(biāo)無法和A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，也就是x≠±5.

(2)定義法求出軌跡方程

例2 已知△ABC的周長是16，點(diǎn)B(-3,0),點(diǎn)C(3,0)，求出A的軌跡方程.

變式1M為平面內(nèi)的任意一個(gè)點(diǎn)，若M(x,y)在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，滿足下面關(guān)系式：

變式2 已知一定圓的方程A：(x+1)2+y2=16，其圓心是A，動圓M過點(diǎn)B(1,0)并且和圓A相切，動圓的圓心M的軌跡標(biāo)記為C，求出曲線C的方程.

變式3 如圖，圓O的半徑長度是r，A是圓O中的一個(gè)定點(diǎn)，P屬于圓上的任意一個(gè)點(diǎn).線段AP的垂直平分線l與半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？

設(shè)計(jì)思路 對定義法求出軌跡方程的基本步驟進(jìn)行掌握.例2是定義法最為直接的體現(xiàn)，變式1和變式2的變化都是比較簡單和直接的，可以促進(jìn)學(xué)生對關(guān)系的進(jìn)一步認(rèn)識和鞏固，變式1是對例2集合關(guān)系的代數(shù)翻譯，變式1將橢圓的定義關(guān)系采用兩圓相切來構(gòu)建，變式3 的問題情境實(shí)行了更新，增加了思維量，目的是要對定義法的遷移使用進(jìn)行促進(jìn)，點(diǎn)Q的軌跡將會成為雙曲線，為以后的課程開展打下基礎(chǔ).

(3)相關(guān)點(diǎn)對軌跡方程的求解

變式1 在圓x2+y2=4上任意取一點(diǎn)P，并且過該點(diǎn)做y軸垂線段PD，且D為垂足.點(diǎn)P在圓上運(yùn)動的時(shí)候，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？

變式2 在圓x2+y2=4上任意取一點(diǎn)P，該點(diǎn)關(guān)于直線y=x+1的對稱點(diǎn)為M，點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時(shí)，M的軌跡是什么？

掌握相關(guān)點(diǎn)求出軌跡方程的基本步驟，變式1和例題比較類似，變式1是將例3中的已知點(diǎn)的軌跡和要求的點(diǎn)的軌跡做了交換，變式1就是將例3中的x軸變成了y軸.這樣實(shí)現(xiàn)了知識運(yùn)用的遷移.

三、九項(xiàng)循證策略在點(diǎn)軌跡方程解題中的運(yùn)用

將上述式子①兩邊都平方后，簡化得到了x2+y2+2x-3=0②.

化成標(biāo)準(zhǔn)式子后是：(x+1)2+y2=4

因而所求的方程②代表的曲線是以C(-1,0)為圓心，半徑是2的圓.

點(diǎn)評 從題目匯總可以知到兩個(gè)定點(diǎn)的距離比是常數(shù)的軌跡為圓(這個(gè)比不是0也不是1).在實(shí)際的練習(xí)中要記住各個(gè)曲線的特點(diǎn)，這樣帶來較大的方便.在對問題進(jìn)行解答前，要對題目的解法進(jìn)行判斷和掌握，要確定題目的思路是比較接近哪個(gè)方向的，如此在開展更多的相似練習(xí)中就可以掌握最基本的最好的解題方法.

九項(xiàng)循證策略是一種十分優(yōu)良且有效的教學(xué)思想，該策略是借助對學(xué)生學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響的九個(gè)因素展開針對性指導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)對學(xué)習(xí)成績和解題能力的提升，從而提升學(xué)習(xí)質(zhì)量，這對目前的高中數(shù)據(jù)教育而言是有著十分強(qiáng)大的指導(dǎo)意義的.

[1]課程教材研究所. 20 世紀(jì)中國中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)·教學(xué)大綱匯編 (歷史卷)[G]. 北京： 人民教育出版社,2001.

[2]杭秀，盛群力.做循證教學(xué)研究的新范例馬扎諾和迪安的有效教學(xué)九項(xiàng)循策略[J].課程教學(xué)研究,2013.8

G632

B

1008-0333(2016)31-0012-02