多級(jí)三角形格柵加筋板的力學(xué)性能

范華林,江 舒

(河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院,江蘇 南京 210098)

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多級(jí)三角形格柵加筋板的力學(xué)性能

范華林,江 舒

(河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院,江蘇 南京 210098)

為了研究碳纖維格柵結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能,設(shè)計(jì)一種多級(jí)格柵加筋板結(jié)構(gòu),并采用理論分析和有限元計(jì)算等方法對(duì)該結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能進(jìn)行分析。將格柵結(jié)構(gòu)等效為均質(zhì)連續(xù)結(jié)構(gòu),推導(dǎo)了格柵結(jié)構(gòu)的等效計(jì)算方法,計(jì)算多級(jí)格柵加筋結(jié)構(gòu)的等效彈性模量及等效彎曲剛度。結(jié)果表明,多級(jí)三角形格柵加筋結(jié)構(gòu)的存在將大大提高超輕質(zhì)材料的抗屈曲能力;當(dāng)截面面積相同時(shí),三角形格柵的彎曲剛度比實(shí)體結(jié)構(gòu)提高10%,表明多級(jí)格柵比普通格柵具有更高的屈曲荷載。

多級(jí)結(jié)構(gòu);格柵加筋板;三角形格柵;力學(xué)性能;等效彈性模量

圖1 格柵加筋板殼結(jié)構(gòu)形式Fig. 1 Grid-stiffened plate and shell structures

點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)是一種有序的多孔結(jié)構(gòu),胞元呈周期性排列、胞元桿系為拉伸主導(dǎo)型構(gòu)型的一類(lèi)結(jié)構(gòu),具有很強(qiáng)的斷裂韌性[1-3]。范華林等[4-6]研究發(fā)現(xiàn),通過(guò)改進(jìn)胞元壁結(jié)構(gòu)特征,引入多級(jí)結(jié)構(gòu),將復(fù)合材料以不同尺度的結(jié)構(gòu)基元通過(guò)多種相互作用搭建,可以有效提高材料的比剛度和比強(qiáng)度,進(jìn)一步提高材料的抗屈曲性能和斷裂韌性,突出了材料的高韌性特征。Kim[7]制備的格柵加筋筒結(jié)構(gòu)在端部采用了法蘭加強(qiáng)結(jié)構(gòu)(圖1)使結(jié)構(gòu)各部分受力更加均勻。研究發(fā)現(xiàn),相比于純粹的網(wǎng)格結(jié)構(gòu),柱殼加筋結(jié)構(gòu)可更有效的增加結(jié)構(gòu)的整體剛度,有利于提高結(jié)構(gòu)的質(zhì)量效率。

在二維點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中,三角形格柵在宏觀應(yīng)力作用下是拉伸主導(dǎo)型結(jié)構(gòu),具有較強(qiáng)的承壓和抗彎能力,并且三角形格柵是最穩(wěn)定的,可以作為承力結(jié)構(gòu)單獨(dú)使用[8-9]。三角形格柵加筋板殼結(jié)構(gòu)是目前格柵材料在工程領(lǐng)域中的最主要結(jié)構(gòu)形式[8]。隋倩倩等[10]提出多級(jí)三角形格柵夾芯板結(jié)構(gòu)為典型的雙側(cè)蒙皮格柵結(jié)構(gòu)。輕質(zhì)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)材料作為一種新型的輕質(zhì)多功能復(fù)合材料,在航空航天等領(lǐng)域有著廣泛的發(fā)展前景[11-13],但是對(duì)于格柵加筋板的等效計(jì)算理論還不完善,因此對(duì)于多級(jí)格柵加筋板結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的計(jì)算是非常有意義的。本文提出了單側(cè)蒙皮三角形格柵結(jié)構(gòu),分析其面內(nèi)外彈性本構(gòu)關(guān)系,由桿件的軸向力和變形間的線性關(guān)系轉(zhuǎn)換得到等效連續(xù)介質(zhì)計(jì)算模型。計(jì)算加筋板的等效彈性模量和彎曲剛度,將其與傳統(tǒng)格柵板進(jìn)行對(duì)比,并對(duì)其承載力進(jìn)行分析。

1 多級(jí)格柵基本結(jié)構(gòu)

設(shè)計(jì)了一種新型格柵板,如圖2所示。傳統(tǒng)格柵結(jié)構(gòu)為矩形截面,而該格柵結(jié)構(gòu)為T(mén)形截面,具體尺寸見(jiàn)圖3。圖3中:t1、t2分別為T(mén)形截面上部寬度和下部寬度;b1、b2分別為T(mén)形截面上部高度和下部高度;w為矩形截面寬;h為矩形截面高。

圖2 T形截面格柵加筋板結(jié)構(gòu)形式Fig. 2 Grid-stiffened plate with T-type cross-section

2 多級(jí)格柵板的理論分析

Hohe等[14-15]提出了一種能量等效方法。假設(shè)典型體單元中所有單元變形能與宏觀等效均質(zhì)尺度上單元的變形能相等,計(jì)算等效應(yīng)變、應(yīng)力和應(yīng)變能。根據(jù)每個(gè)方向上桿件的軸向力和變形與等效均質(zhì)單元應(yīng)力應(yīng)變的轉(zhuǎn)換關(guān)系,由桿件的軸向力和變形間的線性轉(zhuǎn)換關(guān)系得到等效連續(xù)介質(zhì)計(jì)算模型。點(diǎn)陣格柵單元是由多組不同方向的基本桿件單元組成的周期結(jié)構(gòu),單元長(zhǎng)度一般在厘米量級(jí)以下,遠(yuǎn)小于工程結(jié)構(gòu)尺寸,因此可將點(diǎn)陣材料視作均勻連續(xù)介質(zhì),用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的方法求解點(diǎn)陣材料的力學(xué)參數(shù)。

圖3 T形截面尺寸及等效為矩形截面的尺寸Fig. 3 Sizes of T-type cross-section and equivalent rectangular cross-section

2.1 面內(nèi)彈性本構(gòu)關(guān)系

(1)

式中:ρ*——點(diǎn)陣材料整體密度;ρs——胞壁母體材料密度;t——壁厚;l——三角形的邊長(zhǎng)。胞壁沿x3向的厚度用b表示,此處取單位厚度,即b=1。三角形格柵受x2方向的單向應(yīng)力σ22作用,如圖4所示。圖4中，1,2,3為桿件編號(hào);Δh為高度在x2方向的增量;Δli為桿i的增量。令Ni為第i組桿件中的內(nèi)力(i=1,2,3),則單胞的平衡方程可寫(xiě)為

(2)

各桿內(nèi)力為

(3)

考慮點(diǎn)陣單胞的變形模式,如圖4(c)所示,在變形后的構(gòu)型基礎(chǔ)上可建立如下幾何關(guān)系：

圖4 三角形格柵結(jié)構(gòu)的平面受力及變形示意圖Fig. 4 Sketch of plane stress and deformation of triangular grid structure

(4)

(5)

式中:F——桿件所受外力;L——桿長(zhǎng);E——彈性模量;A——截面積;Es——材料的彈性模量。單胞有效應(yīng)變和變形量之間的關(guān)系為

(6)

(7)

(8)

式中:E*——均質(zhì)結(jié)構(gòu)彈性模量;w*——等效結(jié)構(gòu)寬度。

2.2 面外彈性本構(gòu)關(guān)系

假設(shè)格柵加筋板等效前后的彎曲剛度和拉伸剛度不變,將格柵結(jié)構(gòu)視為連續(xù)的層合板結(jié)構(gòu),如圖5所示。加筋板等效為中間等效結(jié)構(gòu)時(shí)(圖5(a)、圖5(b)),上、下兩部分截面高度和彈性模量不變,中間結(jié)構(gòu)等效為均質(zhì)結(jié)構(gòu)時(shí),總高度,寬度,抗彎剛度和抗拉剛度不變(圖5(b)、圖5(c))。根據(jù)復(fù)合材料層合板計(jì)算公式,結(jié)構(gòu)的拉伸剛度計(jì)算表達(dá)式為

(9)

其中,z方向即為x3方向。則彎曲剛度D的計(jì)算表達(dá)式為

(10)

式中:υ——泊松比;E(z)——層合板的彈性模量。根據(jù)平行移軸定理,截面慣性矩I為

(11)

圖5 格柵夾芯板結(jié)構(gòu)的等效形式Fig. 5 Equivalent structure of grid-stiffened structure

如果將層合板結(jié)構(gòu)等效為均質(zhì)板,則其參考面可由下式確定

(12)

(13)

其中

T形截面的面積為:A梯=t1b1+t2b2,矩形截面的面積為:A矩=h*w,其中,b1+b2=h*。

(14)

根據(jù)格柵加筋板與均質(zhì)層合板的彎曲剛度和拉伸剛度相等,可得

(15)

式中:I1——T形截面上部的慣性矩;I2——T形截面下部的慣性矩;I——矩形截面的慣性矩。I1、I2可由下式求出

(16)

式中：yc——T形截面形心坐標(biāo)值。代入上式可以解得

(17)

根據(jù)等效前后界面的拉伸剛度和彎曲剛度相等,可以解得

(18)

2.3 與傳統(tǒng)格柵結(jié)構(gòu)的彎曲剛度對(duì)比

傳統(tǒng)格柵結(jié)構(gòu)為矩形截面,寬度為w,高度為h,則矩形截面三角形格柵(邊長(zhǎng)為l)結(jié)構(gòu)的彎曲剛度為

(19)

由式(7)可得

(20)

根據(jù)慣性矩公式,可得

(21)

(22)

分別繪制出矩形和T形截面的彎曲剛度D隨著三角形格柵長(zhǎng)細(xì)比變化的圖像,如圖6所示。當(dāng)T形截面和矩形截面面積相同時(shí),T形截面的彎曲剛度明顯比矩形截面的彎曲剛度大,因此,多級(jí)格柵加筋板的抗屈曲能力高于傳統(tǒng)格柵板10%。

3 多級(jí)格柵承載能力分析

3.1 強(qiáng)度破壞理論

在截面積相同的條件下,當(dāng)材料強(qiáng)度控制結(jié)構(gòu)破壞時(shí),多級(jí)格柵具有與普通格柵相同的極限承載能力。

3.2 整體屈曲理論

圖6 T形截面與矩形截面的彎曲剛度Fig. 6 Bending stiffness of T-type and rectangular cross-sections

圖7 三角形格柵的兩種屈曲模態(tài)Fig. 7 Two buckling modes of triangular grid

4 結(jié) 語(yǔ)

本文將多級(jí)三角形格柵結(jié)構(gòu)等效為均質(zhì)板結(jié)構(gòu),采用兩種理論進(jìn)行等效計(jì)算。理論一為面內(nèi)等效理論,將兩層均質(zhì)板采用疊加原理進(jìn)行等效疊加,求得等效彈性模量。理論二為面外等效理論,通過(guò)等效前后彎曲剛度和拉伸剛度不變,得到等效均質(zhì)板的厚度與等效模量的計(jì)算公式。

通過(guò)與傳統(tǒng)格柵結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比,多級(jí)格柵加筋板的剛度相對(duì)于傳統(tǒng)格柵板有了明顯的提高,即多級(jí)格柵加筋板在一定程度上將提高材料的抗屈曲能力,具有更高的彎曲剛度,即具有更好的抗彎和抗屈曲性能,體現(xiàn)出多級(jí)格柵加筋板的優(yōu)越性。

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Mechanical properties of multilevel triangular grid-stiffened plate

FAN Hualin, JIANG Shu

(CollegeofMechanicsandMaterials,HohaiUniversity,Nanjing210098,China)

In order to study mechanical properties of a carbon fiber grid structure, a type of multilevel grid-stiffened plate was designed, and its mechanical properties were analyzed using theoretical analysis and the finite element method. The grid structure was equivalent to a homogeneous continuous structure. Based on this, an equivalent method for calculation of the grid structure was derived, and the equivalent elastic modulus and the equivalent flexural stiffness of a multilevel grid-stiffened structure were calculated. The results show that the multilevel triangular grid-stiffened structure can improve the anti-buckling ability of ultra-light materials. When the cross-sectional area is the same, the flexural stiffness of the triangular grid is 10% higher than that of the solid structure, indicating that the buckling load of the multilevel grid is higher than that of an ordinary grid.

multilevel structure; grid-stiffened plate; triangular grid; mechanical property; equivalent elastic modulus

10.3876/j.issn.1000-1980.2016.06.005

2016-01-26

國(guó)家自然科學(xué)基金(11172089,11372095)

范華林(1974—),男,四川富順人,教授,博士,主要從事復(fù)合材料力學(xué)研究。E-mail:fhl02@mails.tsinghua.edu.cn

O341

A

1000-1980(2016)06-0498-06