吳敬《九章比類》與賈憲《九章細(xì)草》比較芻議

郭書春

(中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所,北京 100190)

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吳敬《九章比類》與賈憲《九章細(xì)草》比較芻議

郭書春

(中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所,北京 100190)

吳敬的《九章筭法比類大全》的某些內(nèi)容與賈憲的《黃帝九章筭經(jīng)細(xì)草》基本一致,因此感到可以根據(jù)前者恢復(fù)后者的某些內(nèi)容。但是所恢復(fù)的內(nèi)容在賈憲《九章細(xì)草》中所占比重很小,不可能由《九章比類》完全恢復(fù)《九章細(xì)草》。

賈憲 吳敬 《黃帝九章筭經(jīng)細(xì)草》 《九章筭法比類大全》

1 楊輝《詳解九章筭法》的構(gòu)成

自清道光二十二年臘月上海郁松年刊刻《宜稼堂叢書》本楊輝《詳解九章筭法》[1]①以下將“《詳解九章筭法》”簡稱“《詳解九章》”,將“《宜稼堂叢書》本”簡稱“宜稼堂本”。郁松年刻以《詳解九章》的時間為道光二十二年,以往定為1842年。近查,道光二十二年臘月已是1843年1月。起,學(xué)術(shù)界一直認(rèn)為楊輝此書與《九章筭術(shù)》對應(yīng)的卷二至十中,除《九章筭術(shù)》本文及其魏劉徽注、唐李淳風(fēng)等注釋外,全是楊輝所撰。換言之,楊輝《詳解九章》含有《九章筭術(shù)》本文、劉徽注、李淳風(fēng)等注釋和楊輝詳解4種內(nèi)容。[2]20世紀(jì)80年代中葉,筆者重新考察楊輝《詳解九章》的結(jié)構(gòu)及楊輝自序,得出《詳解九章》含有《九章筭術(shù)》本文、魏劉徽注、唐李淳風(fēng)等注釋、賈憲《黃帝九章筭經(jīng)細(xì)草》(以下簡稱“《九章細(xì)草》”)和楊輝詳解共5種內(nèi)容的結(jié)論。[3]其主要根據(jù)是：

關(guān)于卷二至十的編纂,楊輝在《詳解九章·序》中說,他“聊為編述,擇八十題以為矜式,自余一百六十六問,無出前意,不敢廢先賢之文,刪留題次,習(xí)者可以聞一知十?？謫栯[而添題解,見法隱而續(xù)釋注,刊大小字以明法草,僭比類題以通俗務(wù)。”就是說,楊輝只取《九章筭術(shù)》246個問題中的80個作詳解,余下的166個他并未詳解,只是照錄。

楊輝的另一段自述提供了尋找第五種內(nèi)容的鑰匙。他在《詳解九章·纂類·序》中談到詳解《九章筭術(shù)》的底本時說：“向獲善本,得其全經(jīng),復(fù)起于學(xué),以魏景元元年劉徽等、唐朝議大夫行太史令上輕車都尉李淳風(fēng)等注釋、圣宋右班直賈憲撰草?！本褪钦f,楊輝是以劉徽注、李淳風(fēng)等注釋、賈憲細(xì)草的《九章筭術(shù)》為底本撰寫《詳解九章》的。通過楊輝《詳解九章》與《九章筭術(shù)》的對校,就會知道,楊輝照錄了《九章筭術(shù)》本文、劉徽注和李淳風(fēng)等注釋的全部文字,那么對賈憲的《九章細(xì)草》,楊輝也不會刪節(jié),應(yīng)該全部照錄。

因此,筆者認(rèn)為,《詳解九章》與《九章筭術(shù)》對應(yīng)的卷二至十中,楊輝的工作僅限于解題、注釋、比類三項,都是用小字。就宜稼堂本而言,楊輝詳解過的題目僅是其中有“解題”、“比類”的44個。而除《九章筭術(shù)》本文之外用大字排印的法(術(shù))、草及新設(shè)的題目的作者不是楊輝,而是賈憲。就宜稼堂本而言,92個問題中用大字排印的法(術(shù))、草全都是賈憲的細(xì)草。至于其中的小字,得具體分析,有的是賈憲的,有的是楊輝的。這個問題還值得進一步探討。

因此,楊輝的《詳解九章》不是為《九章筭術(shù)》做詳解,而是針對賈憲的《九章細(xì)草》而作的。[4]

上述分析當(dāng)然也適用于《永樂大典》所引楊輝《詳解九章》*這部分內(nèi)容見于《永樂大典》卷16343和卷16344,曾以《永樂大典算書》之名影印收入[5]。的內(nèi)容[5]。那么,賈憲的《九章細(xì)草》與楊輝的《詳解九章》一樣,并未完全失傳,目前仍存在約三分之二。這是研究賈憲和宋元數(shù)學(xué)的極為寶貴的資料。

2 《九章比類》與《九章細(xì)草》某些內(nèi)容基本一致

筆者在得出上述結(jié)論后,在第一時間向嚴(yán)敦杰先生做了匯報,嚴(yán)先生贊賞有加,認(rèn)為考證是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?結(jié)論是正確的,并建議筆者看看可否通過吳敬的《九章筭法比類大全》[6](以下簡稱“《九章比類》”)恢復(fù)賈憲的《九章細(xì)草》。待筆者找來吳敬書的照片*自然科學(xué)史研究所圖書館藏吳敬《九章比類》的照片。吳敬該書在20世紀(jì)80年代以前所存印本極少,且尚未影印。本文所引據(jù)[6]影印北京圖書館藏本。一看,發(fā)現(xiàn)吳敬的數(shù)學(xué)水平很低,便否定了這種可能性,近三十年來再未考慮這個問題。

近年,筆者主持《中華大典·數(shù)學(xué)典》的編纂,發(fā)現(xiàn)吳敬《九章比類》的某些內(nèi)容,包括一些算題和算法,與賈憲《九章細(xì)草》相同、基本一致或相似。大體有以下幾種不同情況：

(一) 賈憲《九章細(xì)草》的方法與《九章筭術(shù)》相同者,吳敬《九章比類》與賈憲細(xì)草的注解基本相同

有的方法,《九章筭術(shù)》已經(jīng)相當(dāng)抽象,賈憲《九章細(xì)草》的方法與其基本一致,但其注解與劉徽注、李淳風(fēng)等注釋不同,提出了新的注解,實際上起“草”的作用。如盈不足章盈不足術(shù)的賈憲《九章細(xì)草》是：

法曰：置所出率，盈不足各居其下。所出率 盈所出率 朏①。以盈不足，盈，多也。不足，朏。令維乘四維而乘。所出率，各人出率。并以為實，并已乘所出率。并盈不足為法，相并即是人數(shù)。實如法而一。所出率為實，盈胐為法。有分者通之。有分者通,無分者不用。上文言單徑之題也。盈不足相與同其買物者，盈不足又有買物之率，同列其位也。置位，所出率 人數(shù) 盈率所出率 人數(shù) 不足置所出率，以少減多，副置相減。余，以約法實，預(yù)為約，法求原。實為物價，法為人數(shù)。([1]，952頁)

盈不足術(shù)在吳敬《九章比類》中的方法是：

法曰：置所出率，盈與不足各居其下。出率 盈率出率 不足以盈不足，令維乘四維乘即互乘。所出率，各人出數(shù)。并以為實，并已乘所出率。并盈不足為法，實如法而一。出率為實，盈朒為法。有分者通之，有分者通,無分不用。盈不足相與同其[買]*原印本脫“買”字，今校補。物者，盈不足又有買物之率，同列其位也。置位，所出率 人數(shù) 盈率所出率 人數(shù) 不足置所出率，以少減多，副置相減。余，以約法實，預(yù)為約，法求源。物價為實，人數(shù)為法。([6]，233頁。)

不言而喻,吳敬《九章比類》與賈憲《九章細(xì)草》基本一致。

(二)《九章筭術(shù)》抽象性術(shù)文所屬的例題都沒有細(xì)草性質(zhì)的術(shù)文,賈憲補充了細(xì)草,吳敬《九章比類》與之基本一致

如盈不足術(shù)的例題共買物問題,《九章筭術(shù)》沒有術(shù)文,賈憲補充的細(xì)草是：

草曰：以盈不足，盈三文，不足四。令維乘所出率，維乘即是互乘。以盈三乘出七為二十一，不足四乘出八為三十二。并以為實，并得五十三。并盈不足為法,三四得七。實如法而一。實五十三為物價，法七為人數(shù)。([1]，952頁。)

吳敬《九章比類》的解法是：

法曰：以盈不足，盈三文，不足四。令維乘所出率，盈三乘出七得二十一，不足四乘出八得三十二。并以為實，得五十三。并盈三不足四得七為法，三四得七。實如法而一。實五十三為物價，法七為人數(shù)。([6]，233頁。)

兩者基本相同。又如共買琎問題《九章筭術(shù)》亦無術(shù)文，賈憲補充的細(xì)草是：

草曰：有分者通之，出二分之一，盈四。二通，為八。出三分之一，少三。三通，為九。以盈不足維乘所出率，盈八，乘三分之一，得八。虧九，乘二分之一，得九。并之以為實，得十七為物價。并盈不足為法，出率分母三互乘盈八，分母二互乘虧九，并，得四十二為人數(shù)。以法除之，合問。([1]，953頁。)

吳敬《九章比類》的細(xì)草是：

法曰：有分者通之。出二分之一，盈四，通得八。出三分之一，少三，通得九。以盈不足維乘所出率，盈八，乘三分之一，得八。少九，乘二分之一，得九。并以為實，得物價。十七。(并)盈分母二(牙)[互] 乘虧九得，十八。不足分母三(牙)[互] 乘盈八，得，二十四。并之得人四十二，合問。([6]，233頁。)

兩者僅有最后幾句差別較大。

(三)賈憲細(xì)草在《九章筭術(shù)》之外補充了新的內(nèi)容,包括某些概括性的總結(jié)和新設(shè)的題目,吳敬《九章比類》照錄了這些內(nèi)容

比如賈憲《九章細(xì)草》在勾股章中總結(jié)出勾股生變十三名圖：*宜稼堂本“勾股生變十三名圖”8字用大字,以下的解釋的字號介入大小字之間,下面十三名圖的段數(shù)用小字,筆者最初認(rèn)為小字是版面所限,因而都是賈憲的細(xì)草,后來又認(rèn)為是楊輝的詳解?？紤]到做這類概括性總結(jié)的往往出自賈憲,筆者目前仍認(rèn)為是賈憲寫的。

勾股生變十三名圖：勾股弦并而為和,減而為較,等而為變、為段,自乘為積、為羃,有用而取,無用不取,立圖而驗之。

吳敬《九章比類》照錄了這個“勾股生變十三名圖”。

賈憲《九章細(xì)草》在《九章筭術(shù)》之外另設(shè)了若干新的問題,據(jù)宜稼堂本,勾股章新設(shè)了10個問題,據(jù)《永樂大典》卷16343,衰分章下半章新設(shè)了2個問題,據(jù)《永樂大典》卷16344,少廣章新設(shè)了3個問題。比如勾股章新設(shè)的問題：

勾八尺,股一十五尺。問：為弦?guī)缀危?/p>

荅曰：十七尺。

弦十七步,勾八步。問：為股幾何？

荅曰十五步

股十五尺,弦十七尺。問：為勾幾何？

荅曰：八尺。

今有立木垂索,委地二尺。引索斜之拄地,去木八尺。問：索長幾何？

荅曰：十七尺。

垣高一丈,欹木齊垣。木腳去本,以畫記之。臥而較之,過畫一尺。問：去本幾何？

荅曰：四丈九尺五寸。

開門去閫一尺,不合二寸。問：門廣幾何？

荅曰：一片廣五十寸五分。

[甲乙同所立,凡甲行七,乙行三。其乙東行,而甲南行十歩,斜之會乙。問：各行幾何？]*宜稼堂本脫此31字,依吳敬《九章比類》校補。

荅曰：甲南行十步,斜之十四步半,乙東行十步半。

今有勾六步,股十二步。問：容方幾何？

荅曰：四步。

木遙不知去遠,如方立四表,相去各一丈。令右二表與所望木參直,人立左后表之左三寸,斜睹其前左表參合。問：木遠幾何？

荅曰：木去右前表三百三十三尺三分之一。

山不知高,東五十三里有木,長九十五尺。人立木東三里,目高七尺,望木末與峰斜平。問山高幾何？

荅曰：一百六十四丈九尺三分尺之二。([1],974～985頁。)

吳敬《九章比類》基本上照錄,但是其“法曰”的文字與賈憲《九章細(xì)草》不同。

(四) 吳敬《九章比類》照錄了賈憲《九章細(xì)草》的部分注解

賈憲《九章細(xì)草》有時對《九章筭術(shù)》做了新的注解,吳敬《九章比類》照錄。比如對“方程”,賈憲《九章細(xì)草》云：

謂方者,數(shù)之形也。程者,量度之總名,亦權(quán)衡丈尺斛斗之平法也,尤課分明多寡之義。([1],962頁。)

吳敬《九章比類》完全照錄了賈憲細(xì)草的這個注解。

發(fā)現(xiàn)了吳敬《九章比類》與賈憲《九章細(xì)草》的某些相同、近似之處,使筆者想到了近三十年前嚴(yán)先生關(guān)于通過吳敬《九章比類》恢復(fù)賈憲《九章細(xì)草》闕失內(nèi)容的教誨,雖不能完全實現(xiàn),卻有某種道理。

賈憲《九章細(xì)草》九卷目前闕失卷一、二兩章的全部、卷三的衰分類、卷五約半卷(主要是委粟類等內(nèi)容)以及均輸章1個問題、方程章4個問題。

由于吳敬《九章比類》與賈憲《九章細(xì)草》現(xiàn)存部分的某些算法相同、相似,那么對賈憲《九章細(xì)草》上述部分的算法,可以試圖借助吳敬《九章比類》恢復(fù)之。但恢復(fù)時必須十分慎重,這在下面還要談。

明代數(shù)學(xué)落后,《九章筭術(shù)》在社會上已不流傳,賈憲的《九章細(xì)草》大概亦不流傳,吳敬作為知名數(shù)學(xué)家也讀不到,他只能通過楊輝的《詳解九章》了解《九章筭術(shù)》及賈憲細(xì)草的內(nèi)容,因此他無法區(qū)分《九章筭術(shù)》的原題和楊輝詳解中新設(shè)的問題(實際上是賈憲的),而將其統(tǒng)統(tǒng)歸于“古問”。而與賈憲《九章細(xì)草》現(xiàn)存部分對應(yīng)的吳敬《九章比類》的“古問”沒有賈憲《九章細(xì)草》所沒有的問題,換言之,吳敬《九章比類》的古問比《九章筭術(shù)》多出的部分等于少于賈憲新設(shè)的問題,因此可以根據(jù)吳敬《九章比類》的“古問”,排除《九章筭術(shù)》的原題,恢復(fù)賈憲新設(shè)的題目。

3 不可能由《九章比類》完全恢復(fù)《九章細(xì)草》

上面論及根據(jù)吳敬《九章比類》可以對賈憲《九章細(xì)草》進行恢復(fù),但不容忽視的是兩者還有相當(dāng)大的差異。這起碼體現(xiàn)在以下幾個方面：

(一)題同法不同

吳敬《九章比類》各卷“比類”之前的“古問”諸題,與賈憲《九章細(xì)草》的題目基本相同,而方法卻大都不同。上面所說的由吳敬的《九章比類》恢復(fù)賈憲新設(shè)的問題,應(yīng)該說是比較可靠的,但實際上只能限于設(shè)問和答案。至于這些問題的解法,從兩者能夠?qū)φ盏膬?nèi)容看,比如上述勾股章10個新設(shè)的問題,吳敬都提出自己的方法,而沒有照錄賈憲的方法。又如賈憲在少廣章新設(shè)了開4次方的問題：

積一百三十三萬六千三百三十六尺。問：為三乘方幾何？

答曰：三十四尺。

……遞增三乘開方法草曰：上商得數(shù),下法增為立方,除實,即原乘意。置積為實。別置一算,名曰下法。于實末常超三位,約實。一乘超一位,三乘超三位。萬下定實。上商得數(shù)，三十。乘下法,生下廉。三十。乘下廉,生上廉。九百。乘上廉,生立方。二萬七千。命上商,除實。余五十二萬六千三百三十六。作法商第二位得數(shù)：以上商乘下法,入下廉。共六十。乘下廉,入上廉,共二千七百。乘上廉,入方。共一十萬八千。又乘下法,入下廉。共九十。乘下廉,入上廉。共五千四百；又乘下法,入下廉。共一百二十。方一、上廉二、下廉三、下法四退。方一十萬八千,上廉五千四百,下廉一百二十,下法定一。又于上商之次續(xù)商置得數(shù)，第二位四。以乘下法,入廉。一百二十四。乘下廉,入上廉。共五千八百九十六。乘上廉,并為立方。一十三萬一千五百八十四。命上商,除實,盡,得三乘方一面之?dāng)?shù)。如三位立方,依第二位取用。([5],1426頁。)

賈憲是用增乘開方法求解的,吳敬不懂增乘開方法,他抄錄了賈憲的題目和答案,卻刪去了賈憲的方法,而用傳統(tǒng)開方法求解。

(二)方法部分相同而大部不同

《九章筭術(shù)》有的解法不夠抽象,賈憲《九章細(xì)草》提出了抽象性術(shù)文,吳敬《九章比類》有的文字與之相同,但大部分不同。比如方程術(shù),即現(xiàn)今之線性方程組解法,是《九章筭術(shù)》的最高成就。對方程術(shù),劉徽注曰：“此都術(shù)也,以空言難曉,故特系之禾以決之。”都術(shù)就是普遍方法。這是說,《九章筭術(shù)》的方程術(shù)實際上是一種普遍方法,但因為太復(fù)雜,擔(dān)心太抽象的表示使人難以理解,只好借助于禾實來表述。劉徽按普遍方法注解,但沒有抽象出一般方法。賈憲細(xì)草則提出了抽象性術(shù)文：

術(shù)曰：排列逐項問數(shù),命首位物多者為主,以鄰行數(shù)增乘求等。余物與價亦例乘之。以原多物對減。其余次第增減,價可為實,物可為法而止。以法除之。([1],963頁。)

賈憲的方法不僅抽象,而且不拘幾行均適用。吳敬《九章比類》的方法是：

術(shù)曰：排列逐項問數(shù),以右行首位上數(shù)為法,卻以中左二行上數(shù)為法。仍行排列,再以中行中數(shù)為法,卻以左行中數(shù)為法。價可為實,物可為法而止。以法除之。([6],248頁。)

吳敬《九章比類》的第一句和后三句話與賈憲雖一字不差,但其抽象程度不夠,而且像《九章筭術(shù)》第一題那樣仍是針對3行方程而言的,在消元方法上更是舍棄了賈憲方法的精髓,反映了吳敬的數(shù)學(xué)水平遠低于賈憲。顯然,像這類情況,無法由吳敬《九章比類》恢復(fù)賈憲《九章細(xì)草》的方法。

(三)吳敬舍棄了賈憲若干抽象性方法

還有一部分問題,《九章筭術(shù)》只給出了演算細(xì)草,賈憲細(xì)草總結(jié)出抽象性術(shù)文,吳敬《九章比類》沒有采用賈憲的方法。比如《九章筭術(shù)》勾股章引葭赴岸等5個問題的術(shù)文都給出了演算細(xì)草,劉徽指出它們都是已知勾與股弦差求股、弦的問題,但沒有改寫《九章筭術(shù)》的術(shù)文,賈憲則給出了相當(dāng)抽象的“股弦較與勾求股法”：

股弦較與勾求(弦)[股]*弦,系“股”字之誤,依算法校正。法曰：勾自乘,以股弦較自乘減之,余為實。勾冪內(nèi)有股弦較乘股一段,乘弦一段。上問求股,以股弦較自乘減積,正余二段股。倍股弦較為法。數(shù)中有二段股弦較乘股,故倍較也。實如法而一。除得股長。([1],975頁。)

賈憲還提出了將此法應(yīng)用于各個問題的細(xì)草,比如引葭赴岸問題的細(xì)草是：

草曰：勾自乘,半池方自之得二十五尺。以股弦較自乘減之,出水一尺自之一尺。余為實。二十四尺。倍較為法。倍出水為二尺。除之,得股。即深一丈二尺。([1],975頁。)

賈憲還給出了由竹高折地、戶高多于廣、持竿出戶等問題抽象出來的“股弦和與勾求股法”、“勾股較與弦求股法”、“勾弦較股弦較求勾股法”及分別應(yīng)用于這些問題的細(xì)草。但是,對這些抽象性方法,吳敬《九章比類》都沒有采用,吳敬對這些問題提出的細(xì)草也與賈憲《九章細(xì)草》不同。

顯然,在這些情況下無法依據(jù)吳敬的《九章比類》恢復(fù)賈憲的《九章細(xì)草》。

由此可見,吳敬盡管引用了賈憲《九章細(xì)草》的部分內(nèi)容,但是由于他的數(shù)學(xué)水平太低,不能理解賈憲高超的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)貢獻,《九章比類》是一部比《九章細(xì)草》低得多的著作,因此根據(jù)吳敬的《九章比類》可以恢復(fù)賈憲《九章細(xì)草》的某些內(nèi)容,但是它們在賈憲細(xì)草中所占比重很小,無法從整體上由吳敬的《九章比類》恢復(fù)賈憲的《九章細(xì)草》。

1 楊輝.詳解九章算法[M].//郭書春主編.中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)卷.第1冊.鄭州：河南教育出版社,1993.

2 錢寶琮主編.中國數(shù)學(xué)史[M].//收入郭書春、劉鈍等主編.李儼錢寶琮科學(xué)史全集.第5卷.沈陽：遼寧教育出版社,1998.

3 郭書春.賈憲《黃帝九章算經(jīng)細(xì)草》初探——《詳解九章算法》結(jié)構(gòu)試析[J].自然科學(xué)史研究.1988,7(4): 328～334.

4 郭書春主編.中國科學(xué)技術(shù)史·數(shù)學(xué)卷[M].北京：科學(xué)出版社,2010.

5 永樂大典算書[M]//郭書春主編.中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)卷.第1冊.鄭州：河南教育出版社,1993.

6 吳敬.九章算法比類大全[M].郭書春主編.中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)卷.第2冊.鄭州：河南教育出版社,1993．

A Preliminary Discussion on the Comparison between Wu Jing’sJiuzhangBileiand Jia Xian’sJiuzhangXicao

GUO Shuchun

(InstitutefortheHistoryofNaturalSciences,CAS,Beijing100190,China)

Some of the content of Wu Jing’sJiuzhangSuanfaBileiDaquanand Jia Xian’sHuangdiJiuzhangSuanjingXicaoare basically the same. This indicates that the content of the latter could be restored according to the former. However, the recovered content only constitutes a small proportion of Jia Xian’sJiuzhangXicao. It is impossible to restore completely theJiuzhangXicaoby using theJiuzhangBilei．

Jia Xian, Wu Jing,HuangdiJiuzhangSuanjingXicao,JiuzhangSuanfaBileiDaquan

2015- 10- 21；

2016- 06- 16

郭書春, 1941年生,山東膠州人,研究員。

N092∶O112

A

1000- 0224(2016)02- 0167- 08