用等比數(shù)列對(duì)秒針分針相遇問題再探討

徐飛翔

在輔導(dǎo)資料中有這樣一道題：

一般指針式鐘表中的時(shí)針、分針與秒針都可視為勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，分針與秒針從第一次重合至第二次重合，中間經(jīng)歷的時(shí)間為

A.1 min B. 59/60 min C. 60/59 min D.61/60 min

解析 本題是一道經(jīng)典的圓周運(yùn)動(dòng)的追及問題.常規(guī)思路是秒針再次和分針重合，必定秒針比分針多轉(zhuǎn)了一周即2π弧度，設(shè)秒針的角速度為ω1 分針的角速度為ω2，ω1=2π1min-1 ，ω2=2π60min-1 . 由圓周運(yùn)動(dòng)的追及條件，列方程得：（ω1-ω2）t=2π，則得

t=6059min. 故答案為：C.

這種解法比較常規(guī)，在有的物理類期刊中，也有介紹圓周運(yùn)動(dòng)的追逐和相遇問題，這里就不再贅述.

而上述習(xí)題在該資料中所給的答案是這樣分析：秒針轉(zhuǎn)動(dòng)一周回到原出發(fā)位置的時(shí)間是1分鐘，但此時(shí)分針也向前轉(zhuǎn)動(dòng)了一分鐘（160圈），秒針要跟分針再次重合，需要繼續(xù)前進(jìn)一格（160圈），故D正確.

顯然第一種解法是沒有問題的.為什么兩種解法的結(jié)果不同呢？那么第二種解法的錯(cuò)誤原因何在？這里我們對(duì)本題輔導(dǎo)資料中所給的答案重新分析，來探究其中的問題.

本題可以運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納的方法來分析.我們先來進(jìn)行邏輯推理，分針轉(zhuǎn)一周要60分鐘，秒針轉(zhuǎn)一周需要時(shí)間1分鐘.也就是說從重合處出發(fā)再經(jīng)過1分鐘秒針回到原位置，而分針已經(jīng)從原位置前進(jìn)了160周，秒針再用160分鐘前進(jìn)160周，而分針又前進(jìn)了1602周，秒針再用1602分鐘前進(jìn)1602周，依次遞推，當(dāng)分針前進(jìn)160n周時(shí)，秒針再往前追160n周用時(shí)間160n分鐘，直到重合為止.由此可知，秒針追上分針?biāo)玫目倳r(shí)間為：

t=1+160+1602 +1603+…+160n（單位：min）這里n→∞. 觀察此表達(dá)式可知，此表達(dá)式為等比數(shù)列求和，聯(lián)系等比數(shù)列求和的通項(xiàng)公式Sn=a11-qn1-q；這里a1=1， 公比q=160，即得：t=a11-qn1-q ，代入數(shù)據(jù)：t=1×1-160n1-160 ；當(dāng)趨近于無窮大， t=6059min.

總結(jié)：該輔導(dǎo)資料上所給的答案，只考慮到秒針轉(zhuǎn)動(dòng)一周，分針跟進(jìn)六十分之一圈的情況，而沒有繼續(xù)向下考慮，秒針跟進(jìn)，分針繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論.在本題中根據(jù)實(shí)際情況，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)行遞推、分析、歸納得出規(guī)律，然后，利用等比數(shù)列，列出方程，得到結(jié)論.在物理習(xí)題教學(xué)中抓住問題的生成，擇機(jī)滲透數(shù)學(xué)知識(shí)，促進(jìn)物理與數(shù)學(xué)知識(shí)的融合，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的綜合思維能力，不同學(xué)科的整合能力，為學(xué)生的能力發(fā)展提供思維的空間.可以把上述問題繼續(xù)拓展，發(fā)展學(xué)生的思維.

拓展1 若上述問題中，秒針與分針從重合時(shí)計(jì)算，到秒針與分針夾角成π弧度時(shí)，需多長時(shí)間呢？

分析 若仍用第一種解法，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的追及相遇問題的思想，則有（ω1-ω2）t=π，則得

t=12×6059min=3059min.

那么，運(yùn)用第二種方法如何分析呢？可以這樣來思考，秒針和分針都是均勻的勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，從重合時(shí)開始，轉(zhuǎn)到夾角為π時(shí)，應(yīng)該為從重合時(shí)開始到再次重合（即夾角為π時(shí)）所用的時(shí)間的一半.仍然由前面的等比數(shù)列公式求得時(shí)間，乘以1/2即可.

下面我們把前面的問題拓展到任意的情況.

拓展2 若上述問題中，秒針與分針從重合時(shí)計(jì)算，到秒針與分針夾角成θ弧度時(shí)，需多長時(shí)間呢？

分析 若仍用第一種解法，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的追及相遇問題的思想，則有（ω1-ω2）t′=θ，

則得：

夾角）的勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以x=v真實(shí) cosθt.

豎直方向?yàn)樨Q直上拋或豎直下拋運(yùn)動(dòng)，仍是勻變速直線運(yùn)動(dòng)，所以yBC -yAB =gT2.兩式聯(lián)立得

v實(shí)際 =xcosθByBC -yAB .

由此可見無論是斜上拋還是斜下拋測量值均偏小.

2 完整軌跡

2.1 斜下拋時(shí)

在軌跡上任取一點(diǎn)，其橫、縱坐標(biāo)分別為x，y（圖2）.

理論上：水平方向?yàn)関0的勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以

x=v測量 t.

豎直方向?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動(dòng)，所以y=12gt2.兩式聯(lián)立得

v測量 =xB2y.

實(shí)際上：水平方向?yàn)関0cosθ （θ是v0與水平方向夾角）的勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以

x=v真實(shí) cosθt.

豎直方向?yàn)樨Q直下拋運(yùn)動(dòng)，所以

y=v實(shí)際 sinθt+12gt2.

兩式聯(lián)立得

v實(shí)際 =xg2ycos2θ-xsin2θ，

比較上述兩個(gè)結(jié)果可得測量值偏小.

2.2 斜上拋時(shí)

理論上：水平方向?yàn)関0的勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以

x=v測量 t.

豎直方向?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動(dòng)，所以y=12gt2.

兩式聯(lián)立得v測量 =xg2y.

實(shí)際上：水平方向?yàn)関0cosθ（θ是v0與水平方向夾角）的勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以x=v真實(shí) cosθt.

豎直方向?yàn)樨Q直上拋運(yùn)動(dòng)，所以

-y=v實(shí)際 sinθt-12gt2.

兩式聯(lián)立得

v實(shí)際 =xg2ycos2θ+xsin2θ，

當(dāng)2ycos2θ+xsin2θ>y即xy>tanθ時(shí)測量值偏大，當(dāng)2ycos2θ+xsin2θ

由于我們初速度的測量是通過v0=xt進(jìn)行計(jì)算的，其中x是水平位移，t是通過豎直運(yùn)動(dòng)的測量計(jì)算得出.在利用不完整軌跡求時(shí)間時(shí)無論是平拋、斜上拋還是斜下拋，由于豎直運(yùn)動(dòng)都是勻變速直線運(yùn)動(dòng)所以都可以用yBC -yAB =gT2求，水平位移x除以時(shí)間得到的是水平速度，所以和初速度比一定偏小；在利用完整軌跡求時(shí)間時(shí)理論上是用自由落體運(yùn)動(dòng)求，但實(shí)際上在斜下拋運(yùn)動(dòng)中由于具有向下的分速度所以由自由落體運(yùn)動(dòng)求出的時(shí)間偏大，這樣求出的速度小于水平分速度，更小于初速度，所以也是一定偏?。辉谛鄙蠏佭\(yùn)動(dòng)中由于具有向上的分速度所以用自由落體求出的時(shí)間偏小，這樣求出的速度大于水平分速度，但不一定大于初速度，

當(dāng)xy>tanθ時(shí)測量值偏大，此條件下由于運(yùn)動(dòng)的時(shí)間短時(shí)間測的誤差大，使結(jié)果偏大，當(dāng)xy

綜上可以發(fā)現(xiàn)三種情況有三種不同的結(jié)論：第一種情況下測的就是水平速度，第二種情況下測的不是水平速度但一定比水平速度小，第三章情況下測的不是水平速度但比水平速度大，而對(duì)應(yīng)的結(jié)論是前兩種情況下一定偏小，第三種情況下可能偏大也可能偏小.由此可見殊途未必同歸.例如在探究彈簧彈力與彈簧伸長量的關(guān)系時(shí)，如果忘記減彈簧原長了，在利用F=kx計(jì)算k值時(shí)結(jié)果會(huì)偏小，而利用F-x圖象的斜率求就不受影響，同樣在利用單擺測定當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊膶?shí)驗(yàn)中忘記測小球半徑，不同的數(shù)據(jù)處理方法會(huì)有不同的結(jié)果.所以我們一定要明確實(shí)驗(yàn)原理，明確理論上如何計(jì)算，實(shí)際上應(yīng)該如何計(jì)算，然后進(jìn)行對(duì)比，做到實(shí)事求是.殊途不能同歸，但同樣能做到加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的深刻理解、鍛煉學(xué)生思維的廣闊性和深刻性、靈活性.