呼吸性橢圓裂紋轉(zhuǎn)子彎曲剛度模型

劉 政， 王建軍

(北京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，北京 100191)

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呼吸性橢圓裂紋轉(zhuǎn)子彎曲剛度模型

劉 政， 王建軍

(北京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，北京 100191)

通常轉(zhuǎn)子軸上的疲勞裂紋為橢圓形尖端，而國內(nèi)外現(xiàn)有文獻(xiàn)大多關(guān)注直裂紋轉(zhuǎn)子，很少對(duì)橢圓裂紋呼吸行為建立模型。提出了新的圓柱軸橢圓裂紋呼吸模型，修正中性軸位置確定裂紋張開面積，并基于裂紋應(yīng)變能計(jì)算出橢圓裂紋附加柔性系數(shù)，建立了該類裂紋轉(zhuǎn)子彎曲剛度模型。進(jìn)一步，與文獻(xiàn)和有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，裂紋呼吸規(guī)律完全符合，裂紋附加柔度、轉(zhuǎn)子無量綱撓度滿足計(jì)算要求，驗(yàn)證了該模型有效可行。

裂紋轉(zhuǎn)子；橢圓裂紋；呼吸性；彎曲剛度

航空發(fā)動(dòng)機(jī)等旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)軸處于彎曲、拉伸、剪切交變載荷復(fù)雜作用下，若材料有微小缺陷，或長期高負(fù)荷工作，就可能萌生裂紋，進(jìn)而擴(kuò)展成疲勞裂紋。出現(xiàn)裂紋后，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)和穩(wěn)定性發(fā)生變化，結(jié)構(gòu)強(qiáng)度也偏離設(shè)計(jì)狀態(tài)。如果裂紋不被及時(shí)發(fā)現(xiàn)，最終導(dǎo)致轉(zhuǎn)子失穩(wěn)斷裂，造成災(zāi)難性后果。因此，近年來裂紋轉(zhuǎn)子受到學(xué)術(shù)界和工程界高度重視。

現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)直裂紋轉(zhuǎn)子動(dòng)力特性研究很多。突出的有，DIMAROGONAS[1]首先基于應(yīng)變能提出開裂紋附加柔性系數(shù)，研究了帶有張開的直裂紋轉(zhuǎn)子軸向與彎曲耦合振動(dòng)。JUN[2]考慮應(yīng)力強(qiáng)度因子為零劃分裂紋張開、閉合邊界，研究了呼吸性直裂紋轉(zhuǎn)子的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。DARPE等[3-4]進(jìn)一步研究了直裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的瞬態(tài)振動(dòng)和非線性動(dòng)力學(xué)特性。

然而，實(shí)際裂紋尖端通常是弧形的，(半)橢圓形尖端裂紋是較接近實(shí)況的一種弧形裂紋模型。近年來，國內(nèi)外學(xué)者開始對(duì)橢圓裂紋轉(zhuǎn)軸剛度進(jìn)行深入的研究。RUBIO[5]研究了完全張開裂紋的附加柔度和簡支、懸臂圓柱裂紋梁的靜撓度，并基于有限元法和實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。HAN[6]進(jìn)一步給出了橢圓裂紋圓軸受拉伸、彎曲作用的裂紋附加柔度。

裂紋呼吸是指在轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)過程中，裂紋連續(xù)周期交替張開、閉合。這類情況接近真實(shí)轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)的環(huán)境。在弧形裂紋呼吸機(jī)制研究方面，目前學(xué)者們多采用有限元法。KULESZA[7]采用剛性有限元(rigid finite element method)數(shù)值方法，模擬圓柱軸上裂紋的呼吸和擴(kuò)展過程。ABELLA[8]基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(artificial neural networks)計(jì)算了偏心軸在旋轉(zhuǎn)彎矩作用下的直裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子，分析了偏心轉(zhuǎn)軸上直裂紋的呼吸機(jī)制及其對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響。RUBIO[9]采用帶橢圓裂紋轉(zhuǎn)軸有限元模型，研究了橢圓裂紋張開的面積、質(zhì)量偏心角、裂紋幾何尺寸等變化關(guān)系。結(jié)果表明，裂紋在呼吸過程中，張開范圍要大于閉合范圍。

理論上的橢圓裂紋呼吸模型方面尚未有較多的關(guān)注。HAN[10]考慮裂紋呼吸性，建立了轉(zhuǎn)軸彎曲振動(dòng)方程，研究了橢圓裂紋轉(zhuǎn)軸參數(shù)穩(wěn)定性問題。該文獻(xiàn)實(shí)際上只給出轉(zhuǎn)軸彎曲方向的裂紋附加柔度，而未考慮裂紋的交叉柔度以及另一垂直方向的轉(zhuǎn)軸剛度。當(dāng)橢圓裂紋較大時(shí)，交叉剛度不能忽略；當(dāng)轉(zhuǎn)子發(fā)生瞬態(tài)振動(dòng)時(shí)，垂直彎曲方向還有慣性力的作用。

鑒于以上原因，本文基于已有文獻(xiàn)研究結(jié)果，提出圓柱軸上帶有橢圓尖端的裂紋呼吸模型，并與文獻(xiàn)和有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證模型有效可行，進(jìn)一步根據(jù)Dimarogonas方法計(jì)算出橢圓裂紋附加柔性系數(shù)，建立橢圓裂紋轉(zhuǎn)子彎曲剛度模型。

1 呼吸性橢圓裂紋轉(zhuǎn)子剛度模型

如圖1所示，本文建立橢圓裂紋轉(zhuǎn)子剛度模型的主要思想為：① 在裂紋張開、不完整的圓柱軸含裂紋橫截面上不考慮應(yīng)力集中，根據(jù)截面靜矩平衡計(jì)算中性軸位置；② 考慮到裂紋尖端應(yīng)力集中，引入修正參數(shù)，修正中性軸到渦動(dòng)坐標(biāo)系Y′ 軸的代數(shù)距離，從而以修正后的中性軸確定裂紋張開與閉合分界；③ 在裂紋張開面積上對(duì)橢圓裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行積分獲得Griffith應(yīng)變能；④ 根據(jù)Castigliano定理將應(yīng)變能對(duì)集中力求兩階偏導(dǎo)，得到由裂紋引起的附加柔性系數(shù)，再疊加上無裂紋圓柱軸的柔度，求出帶橢圓尖端裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度。以下為呼吸性橢圓裂紋轉(zhuǎn)子剛度模型的具體實(shí)現(xiàn)過程。

圖1 橢圓裂紋轉(zhuǎn)子剛度建模思路Fig.1 Procedure of stiffness modeling of a breathing elliptical cracked rotor

圖2 橢圓尖端裂紋軸截面幾何示意圖Fig.2 Geometric sketch of cross profile ofelliptical cracked shaft

Oξη為自轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，OX′Y′為渦動(dòng)坐標(biāo)系，O′ξ′η′為裂紋幾何坐標(biāo)系，a,b分別為橢圓裂紋半軸長，其余符號(hào)如文中所述

將尺寸對(duì)圓半徑R歸一化后，單位圓O′方程：

ξ′2+η′2=1

(1)

描述弧形裂紋尖端的橢圓O″方程：

(2)

描述中性軸的直線DE方程：

ξ′cosβ+η′sinβ-δ=0

(3)

此時(shí)，δ為不考慮應(yīng)力集中的中性軸DE與渦動(dòng)坐標(biāo)系O′X′Y′軸Y′的代數(shù)距離，β為渦動(dòng)坐標(biāo)系O′X′Y′與旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系Oξη的轉(zhuǎn)角差(渦轉(zhuǎn)差角，whirl rotation angle difference)，即截面形心O′在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的相位角

(4)

裂紋張開區(qū)域APEA(圖2中陰影部分)表示為

(5)

裂紋Griffith應(yīng)變能表示為

(6)

即在這裂紋張開面積上積分。根據(jù)材料力學(xué)理論，截面應(yīng)力平衡等價(jià)于截面上未張開各點(diǎn)到中性軸的靜矩為零，有

?D(ξ′cosβ+η′sinβ-δ)dξ′dη′=0

(7)

其中D表示圓截面內(nèi)除裂紋張開面積APEA外的區(qū)域，因此，

πδ+?Ac(ξ′cosβ+η′sinβ-δ)dξ′dη′=0

(8)

求解方程(8)得δ=δ*。

考慮裂紋尖端應(yīng)力集中效應(yīng)，引入修正參數(shù)ε，令

δ=(1+ε)δ*

(9)

代入式(5)中重新描述裂紋張開面積。令w=ξ′，h=1+η′，則dAc=dhdw。

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，橢圓裂紋尖端P點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子可表達(dá)為

KI=KI,ξ+KI,η

(10)

KI,ξ(a/b,a/R,w/w0)=

(11)

KI,η(a/b,a/R,w/w0)=

(12)

式中:FI,ξ采用文獻(xiàn)[11]的數(shù)據(jù)擬合，F(xiàn)I,η采用文獻(xiàn)[12]的研究結(jié)果。這里，

(13)

(14)

W=πR3/4

(15)

令橢圓裂紋參數(shù)短、長半軸比μ=a/b，相對(duì)深度α=a/R，點(diǎn)P在w方向相對(duì)位置χ(a)=w(a)/w0(a)。在裂紋局部坐標(biāo)系中:

w0(a)=acosθ0(α)/μ

(16)

θ0(α)=

(17)

根據(jù)Castigliano定理，裂紋引起的附加柔性系數(shù)為

(18)

(19)

(20)

橢圓裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的總?cè)岫扔蔁o裂紋轉(zhuǎn)子柔度疊加上裂紋附加柔度，因此

(21)

當(dāng)質(zhì)量點(diǎn)位于軸正中央時(shí)，k為無裂紋軸中點(diǎn)處剛度，k=48EI/l3，慣性矩I=πR4/4，則轉(zhuǎn)子的剛度比

(22)

(23)

(24)

2 橢圓裂紋呼吸模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證第1節(jié)提出的橢圓裂紋呼吸模型有效可行，本節(jié)首先與現(xiàn)有文獻(xiàn)的研究進(jìn)行對(duì)比，然后與橢圓裂紋圓柱軸的有限元模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

新生兒疾病篩查是早期發(fā)現(xiàn)某些先天性、遺傳性疾病的有效方法，隨著篩查技術(shù)的不斷進(jìn)步，串聯(lián)質(zhì)譜技術(shù)［1］也得到了廣泛的應(yīng)用。2000年10月臺(tái)州市正式開展了新生兒遺傳代謝性疾病篩查，僅限于對(duì)先天性甲狀腺功能減低癥（congenital hypothyroidism，CH）和 苯 丙 酮 尿 癥 （phenylketonuria，PKU）進(jìn)行篩查。2009年10月在原篩查病種的基礎(chǔ)上又開展了采用串聯(lián)質(zhì)譜技術(shù)對(duì)多種遺傳代謝病篩查的工作。為了解本市新生兒遺傳代謝疾病篩查現(xiàn)狀，筆者特對(duì)2000年10月－2012年9月篩查情況進(jìn)行了回顧性分析，現(xiàn)將結(jié)果報(bào)道如下。

本文取表征應(yīng)力集中的修正參數(shù)ε=-0.4。圖3為橢圓裂紋幾何參數(shù)μ=0.5的中性軸與渦動(dòng)軸代數(shù)距離δ隨渦轉(zhuǎn)差角β的變化曲線，其中依曲線μ=0.5，α=0.6畫出橢圓裂紋呼吸示意圖，如圖4所示。

圖3 修正后的中性軸位置變化曲線Fig.3 Position curves of neutral axis modified

圖4 本文模型裂紋呼吸行為(陰影部分表示裂紋張開區(qū)域)Fig.4 Breathing behavior of elliptical crack proposed (gray parts denote open area of crack)

對(duì)比文獻(xiàn)[9]關(guān)于裂紋呼吸機(jī)制的研究(圖11 balanced)，文獻(xiàn)計(jì)算的裂紋張開與閉合邊界為弧形，本文模型為直線。但是，裂紋呼吸的過程和基本規(guī)律完全相同。主要有：

(1) 裂紋隨渦轉(zhuǎn)差角變化而交替張開、閉合，存在半開半閉的過渡區(qū)；

(2) 在任意渦轉(zhuǎn)差角下，裂紋更傾于張開的趨勢(shì)；

(3) 在整個(gè)周期來看，完全張開范圍明顯比完全閉合范圍大，且裂紋越深越明顯；

(4) 在一個(gè)周期內(nèi)，裂紋完全張開、閉合各一次，且呼吸狀態(tài)關(guān)于β=±π/2(以本文模型)軸對(duì)稱。

進(jìn)一步，本文與文獻(xiàn)[10]計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。文獻(xiàn)[10]實(shí)質(zhì)上計(jì)算的是渦動(dòng)坐標(biāo)系X′方向上的裂紋附加柔度。按文獻(xiàn)[10]的無量綱比例，根據(jù)第1節(jié)計(jì)算呼吸性橢圓裂紋在渦動(dòng)系X′向的附加柔度，并與文獻(xiàn)[10]提出的橢圓裂紋附加柔度比較，如圖5所示?？梢?，兩曲線在整個(gè)周期內(nèi)大致重合，但由于考慮了橢圓裂紋的交叉柔度，當(dāng)裂紋接近完全閉合時(shí)，本文模型變化得更快。

圖5 本文與文獻(xiàn)[10]計(jì)算的裂紋附加柔性系數(shù)Fig.5 Cracked additional flexibility coefficients calculated by Han and now proposed

下面基于ANSYS實(shí)體有限元模型計(jì)算裂紋呼吸表現(xiàn)，驗(yàn)證本文的理論模型。

建立長l=200 mm，半徑R=10 mm，正中央帶有橢圓裂紋圓柱軸實(shí)體有限元模型，如圖6所示。兩端簡支，在距離右端1/4軸長處截面中心點(diǎn)處加載橫向集中力載荷Q。此時(shí)，裂紋局部彎矩M=(Ql)/8，Q對(duì)軸中央中心點(diǎn)無裂紋剛度k=(16/11)*(48EI/l3)，如圖7所示。圖8給出了有限元模型計(jì)算的裂紋呼吸過程。分別采用有限元模型和本文提出的理論模型，計(jì)算不同方向載荷Q作用下的中央裂紋處截面中心點(diǎn)的位移，并除以同載荷無裂紋軸的撓度歸一化，得到橢圓裂紋軸的無量綱撓度，對(duì)比兩者隨渦轉(zhuǎn)差角的變化曲線，如圖9所示。

圖6 橢圓裂紋圓軸有限元模型及裂紋局部放大圖Fig.6 FE model of elliptical cracked shaft and partial enlarged crack detail

由圖8可見，實(shí)體有限元模型的橢圓裂紋在不同載荷作用下表現(xiàn)出了呼吸行為，裂紋張開范圍明顯大于閉合范圍，說明裂紋在呼吸過程中總是傾向于張開；圖9表示的本文模型與有限元模型計(jì)算結(jié)果走勢(shì)一致，裂紋張開與閉合點(diǎn)吻合，無量綱撓度值大范圍相同。需要說明的是，選取合適的修正參數(shù)ε值即可調(diào)節(jié)本文模型計(jì)算精度。

圖7 有限元驗(yàn)證的載荷結(jié)構(gòu)Fig.7 Load structure of FE model used for validation

圖8 有限元模型橢圓裂紋圓柱軸的裂紋呼吸行為(注：這里β為Q與ξ軸的夾角，黑色表示張開，白色表示閉合)Fig.8 Breathing behavior of FE elliptical crack model (Note: β denotes angle between Q and axis ξ, and black area stands for open part, white for close)

(a) 直裂紋μ=0,α=0.5(b) 直裂紋μ=0,α=1.0(c) 橢圓裂紋μ=0.4,α=0.5

(d) 橢圓裂紋μ=0.4,α=0.9(e) 橢圓裂紋μ=0.8,α=0.6(f) 橢圓裂紋μ=1.0,α=0.6圖9 本文與ANSYS計(jì)算的裂紋圓軸彎曲撓度變化曲線Fig.9BendingdeflectioncurvesofcrackedshaftcalculatedbypaperandANSYS

3 結(jié) 論

本文針對(duì)圓軸上橢圓裂紋呼吸特性，考慮了裂紋尖端應(yīng)力集中效應(yīng)，修正中性軸位置來建立裂紋呼吸模型；基于Dimagaranas計(jì)算裂紋附加柔度的思想，在裂紋張開面積上對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子積分得到裂紋釋放的應(yīng)變能，再對(duì)集中力兩階偏導(dǎo)獲得裂紋附加柔性系數(shù)，疊加無裂紋轉(zhuǎn)軸柔度得到橢圓裂紋轉(zhuǎn)子受力彎曲的剛度模型。

為了檢驗(yàn)本文模型的有效性，首先與參考文獻(xiàn)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明裂紋呼吸規(guī)律相同，考慮了交叉柔度后裂紋附加柔性系數(shù)在裂紋即將閉合時(shí)變化快于文獻(xiàn)值；然后基于ANSYS建立了橢圓裂紋轉(zhuǎn)軸的實(shí)體有限元模型，加載不同方向載荷計(jì)算出圓軸中央的無量綱撓度，同時(shí)采用本文模型計(jì)算同載荷的無量綱撓度，兩者走勢(shì)一致，結(jié)果吻合。驗(yàn)證了本文提出的裂紋呼吸模型和橢圓裂紋轉(zhuǎn)子彎曲剛度模型有效可行。

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Bending stiffness model of a breathing elliptical cracked rotor

LIU Zheng, WANG Jianjun

(School of Energy and Power Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China)

Usually a fatigue crack on a rotor shaft has an elliptical tip, while the current literatures at home and abroad mostly focus on straight-tip crack rotors, very few articles built models to study elliptical-tip crack breathing behavior. Here, a new breathing model of an elliptical crack on a cylindrical shaft was proposed to modify the neutral axis’s position and determine crack open area. Based on the crack strain energy, the elliptical crack’s additional flexibility coefficient was calculated, and the bending stiffness model of the elliptical cracked rotor was also established. It was shown that the proposed crack’s breathing laws agree well with those of literatures and the finite element results, the crack’s additional flexibility and rotor’s dimensionless deflection both meet the requirements of computing, the effectiveness and feasibility of the model are validated.

cracked rotor; elliptical crack; breathing mechanism; bending stiffness

2015-07-10 修改稿收到日期：2015-10-24

劉政 男，碩士生，1991年生

王建軍 男，博士，教授，1956年生

TH113.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.21.029