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    函數(shù)置換條件下P-Ⅲ參數(shù)的最小二乘計算

    2016-12-14 06:04:26唐榮桂王一帆盧曦
    治淮 2016年11期
    關鍵詞:平方和單元格區(qū)間

    唐榮桂王一帆盧曦

    函數(shù)置換條件下P-Ⅲ參數(shù)的最小二乘計算

    唐榮桂1王一帆2盧曦2

    一、引言

    眾所周知,因P-Ⅲ密度函數(shù)的原函數(shù)目前還無法求得,其參數(shù)只能應用一些估計的方法獲取,如矩法、三點法、極大似然法、權函數(shù)法、線性矩法和適線法等,大部分方法誤差大,有的隨意性大,可信度低。在尊重樣本的基礎地位和樣本誤差,同時考慮到散點函數(shù)擬合的準確度與唯一性的基礎上,筆者研究出在函數(shù)置換條件下利用最小二乘法原理進行P-Ⅲ參數(shù)計算的方法。

    二、原理與方法

    1.目標函數(shù)的建立

    考察P-Ⅲ的密度函數(shù):

    令u=x-a0,對于其中的指數(shù)函數(shù)y=e-βu,取區(qū)間[a,b],區(qū)間內可近似用滿足兩端點連續(xù)(函數(shù)值相等)與平滑(一階導數(shù)值相等)的三次函數(shù)

    進行替代,三次函數(shù)的系數(shù)方程為:

    對于發(fā)生在[a,b]內事件的概率為:

    如果把P-Ⅲ的密度函數(shù)劃分成很多小區(qū)間,各個區(qū)間的概率依次為ΔPj,就有如下累積概率公式:

    對應于P-Ⅲ的密度函數(shù),樣本系列序號i從有限端(?。┑綗o限端(大)排列,給出如下樣本的有關計算公式:

    這樣就可以根據(jù)公式(2)-(6)計算樣本的累積頻率Pei、模比系數(shù)Ki、有限端點坐標a0、平移后坐標ui(以0為起點)、部分概率ΔPi以及理論上的累積概率Pti。若要達到樣本點與理論曲線的最佳擬合,根據(jù)誤差的最小二乘原理,必然滿足如下目標函數(shù):

    (7)式是多系數(shù)的復合函數(shù)方程式,沒有辦法利用求導數(shù)的辦法建立參數(shù)方程組,也就不可能用樣本統(tǒng)計計算的方法求解參數(shù)。下面將研究(7)式解的問題。

    2.P-Ⅲ參數(shù)解的唯一性

    P-Ⅲ的密度函數(shù)有3個部分組成,冪函數(shù)控制增率,指數(shù)函數(shù)控制減率,常數(shù)項是保證全體事件的概率為1的約束條件。因此,密度函數(shù)對于α始終是增函數(shù),對于β又始終是減函數(shù),都具有單調性,它們對分布函數(shù)的影響同樣具有單調性,因此,對于固定樣本,(7)式成立時兩個參變量必然只有唯一的平衡點,即(7)式只有唯一解。

    3.簡單的求解方法——方向搜索法

    如果利用計算機程序,依據(jù)(7)式,以不同的參數(shù)組合(排除不符合P-Ⅲ特征)進行計算,尋找到最小值,即可獲得目標函數(shù)的解。這里再給出簡單的解法——方向搜索法(只適用于具有單調性質的參數(shù)),該方法可以減少大量的計算工作量,快速獲得高精度結果。具體步驟如下:

    ①選定方程可能解的初值,如P-Ⅲ參數(shù),可以利用其他方法給出的估計值作為初值;

    ②根據(jù)精度要求,設定參數(shù)的變化步長,可以一輪搜索,也可以多輪搜索;

    ③以一個參數(shù)固定,另一參數(shù)變化,通過(6)計算出數(shù)值,向數(shù)值減少方向逐步搜索到最小值點;

    ④再以該點為中心計算其他6個方位點上的值,如果沒有比其更小的值,該點對應的參數(shù)即為所解。如果有比其還小的點,就沿著這兩個數(shù)值較小的點的減少方向繼續(xù)搜索,直至沒有更小的值為止。

    三、應用舉例

    以江蘇省白馬湖地區(qū)(高良澗閘、運東閘、阮橋閘三站平均)最大3日雨量的P-Ⅲ參數(shù)計算為例。這里主要介紹應用

    excel完成的計算過程。

    1.制作誤差平方和計算模板(excel工作簿)

    該簿由兩塊組成。

    第一塊:坐標平移計算和各個區(qū)間置換公式系數(shù)計算。樣本38年,變量u從0到38將密度曲線分成38個部分,建立38張工作表(1-38),每張表有一個固定部分和一個活動部分。

    固定部分,設立α、β輸入窗口,當參數(shù)改變,密度函數(shù)的起點坐標和各樣本點的距0值需要相應計算。38張表的這部分都相同(直接復制),但表(2-38)的兩個輸入窗口改為調用表1相應單元格的值。

    活動部分,目的是分別計算兩點間置換函數(shù)的系數(shù),這里調用了excel行列式計算函數(shù),同樣復制表(1)的活動部分,后面各表只需在相同的列號欄依次向下移動一行進行粘貼即可。

    第二塊:誤差平方和計算。工作簿中,專門設置一張計算誤差平方和的表格。在公式輸入時,α、β必須調用表1的指定單元格數(shù)據(jù),Γ(α)可調用excel中的GAMMALN函數(shù),ΔPi中各行的置換函數(shù)系數(shù)可依次調用表(1-38)中的相同單元格的數(shù)據(jù)(用活動單元格,僅需改動工作表號)。在表格的最末端有一個誤差平方總和欄,它是整個工作簿的輸出窗口,α、β變動后的數(shù)字就取自該單元格。

    2.方向搜索

    根據(jù)誤差平方和最小來找出指定精度下的P-Ⅲ參數(shù)。

    第一步:選擇參數(shù)初始值。利用武漢大學提供的《水文頻率分布曲線適線軟件》求得的樣本的參數(shù)為,本文計算中使用的是模比系數(shù),x=1,利用公式(8)計算得:α=4,β=5.9。

    第二步,選擇適合的步長進行搜索。按照三位有效數(shù)字精度,分2次搜索。由于計算的誤差平方和隨著參數(shù)的變化規(guī)律明顯,只需要選擇代表性點,按照一定方向,很快就能取得結果。

    粗搜索:以初始值為定點,先縱向搜索,找到最小值點,再向臨側逐步找最小值點。經過初步搜索,可以確定最小值在3.25〈α〈3.35及4.85〈β〈4.95區(qū)間內。

    精搜索:按照給定精度的最小單位作為表格的計算單位,以粗搜索得出的最小值點為定點,先縱向后橫向進行搜索。根據(jù)最小值點得出:α=3.32,β=4.92,據(jù)此換算出江蘇省白馬湖地區(qū)最大3日降水量的P-Ⅲ參數(shù)為:

    3.成果驗證

    為了檢驗本文方法,下面給出兩種方法擬合圖進行對照,見圖1。

    圖1 江蘇省白馬湖地區(qū)最大3日降水量頻率曲線對照圖

    計算機軟件計算得到的參數(shù)應該優(yōu)于其他方法的估計值,本文方法的擬合度(0.983)優(yōu)于計算機軟件適線的擬合度(0.978);點線配合情況看,本文方法做到了兼顧全部樣本,略優(yōu)于計算機軟件配線;以200年一遇的設計標準為例,軟件方法比本文方法偏小6.2%,這個差別對該區(qū)域的排澇設計帶來的影響還是很大的。

    4.誤差評估

    與直接進行最小二乘法計算相比,本方法唯一的誤差來源是函數(shù)置換,為檢驗其影響,取本文的最終結果β=4.92來驗證。方法:模比系數(shù)以0.001為步長,用對應的分段函數(shù)和指數(shù)函數(shù)來計算相對誤差,得出的結果是:負偏為主,平均誤差:-0.61‰,最大偏離-4.7‰,最大偏離區(qū)間在u36~u38(該區(qū)間平均偏離值-2.0‰),一般偏離數(shù)值與間距同步,若間距在0.03以下時,偏差小于十萬分之一。就本例的情況,總體影響小于千分之一,可以忽略。

    四、關于本文方法與常規(guī)方法比較

    目前評判P-Ⅲ參數(shù)優(yōu)劣,主要通過視覺觀察點線配合情況,按說幾率格紙繪制P-Ⅲ曲線是無法用簡單的數(shù)學解析式表達,依靠視覺調試(適線法)當然會造成很大誤差,還可能出現(xiàn)與P-Ⅲ理論相悖的結果。另外現(xiàn)行方法對設計值推算也很麻煩,一般的查用表又很粗糙,對非專業(yè)人員來說,使用P-Ⅲ有一定難度。

    本文方法是建立在P-Ⅲ理論基礎之上,實測樣本配線又是用公認的最小二乘準則,數(shù)學理念清晰,且結果唯一,不會造成歧義。為了滿足視覺效果,也可以繪制累積頻率點和擬合的Ki~Pti線加以參照。

    利用本文方法編制簡單的小程序(需將置換函數(shù)的間距設計的很小),可以方便求出高精度的P-Ⅲ參數(shù),還可以根據(jù)參數(shù)及設計標準輸出設計結果。作者相信,隨著技術的發(fā)展,P-Ⅲ也會和其他函數(shù)一樣成為各種計算工具的內置函數(shù),方便人們的應用■

    (作者單位:1.江蘇省洪澤湖水利工程管理處2231002.江蘇省灌溉總渠管理處223200)

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