從“1分量”舉“1”反三

何志平

【摘要】在實(shí)際教學(xué)中，對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，過(guò)分強(qiáng)調(diào)了“分”的動(dòng)詞屬性，弱化了對(duì)等分后1份的多層次感知，也就是說(shuō)，我們的教學(xué)把主要的精力放在了“一個(gè)單位”和“若干等份”上，而忽略了等分后的“1分量”。利用具體情境凸顯“1分量”，淡化具體數(shù)量，從“1份”突圍，舉“1”反三。

【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)教學(xué)1分量策略

從把1個(gè)物體看作整體，到把多個(gè)物體看成一個(gè)整體，其實(shí)就是在規(guī)避數(shù)量的多少，弱化一個(gè)量的存在感。但我們?cè)趯?shí)際教學(xué)中，對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，出現(xiàn)了一種分割教學(xué)的傾向，即過(guò)分強(qiáng)調(diào)了“分”的動(dòng)詞屬性，弱化了對(duì)等分后1份的多層次感知，使得學(xué)生認(rèn)識(shí)的分?jǐn)?shù)缺乏完整性。也就是我們的教學(xué)把主要的精力放在了“一個(gè)單位”和“若干等分”上。筆者認(rèn)為，在分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)階段，等分后的“1分量”不僅是認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的重點(diǎn)，而且在追尋分?jǐn)?shù)本質(zhì)的過(guò)程中起著非常關(guān)鍵的作用。

一、 在分?jǐn)?shù)作為一個(gè)過(guò)程引進(jìn)，突出現(xiàn)實(shí)情境里的“1分量”

“在數(shù)學(xué)中，有不少概念在最初就是作為過(guò)程得到引進(jìn)的，比如分?jǐn)?shù)?！?/p>

引進(jìn)分?jǐn)?shù)的這一過(guò)程就是“等分”。多個(gè)版本教材《認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)》的第一課時(shí)，盡管設(shè)計(jì)各不相同，但相通之處都是用實(shí)物的分割來(lái)引進(jìn)分?jǐn)?shù)，這樣做顯然包含了由過(guò)程引進(jìn)，并向結(jié)果過(guò)渡。教材中根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境追問(wèn)的都是類似于“每人分得多少”的問(wèn)題，而在學(xué)生尚未獲取分?jǐn)?shù)信息的情況下，引導(dǎo)學(xué)生思考，如何表達(dá)自己分到的那一份卻是行之有效的。

蘇教版教材的設(shè)計(jì)有一個(gè)遷移和比對(duì)的過(guò)程：讓整數(shù)的平均分遷移到分?jǐn)?shù)中，通過(guò)每人分得2個(gè)蘋果、1瓶礦泉水和半個(gè)蛋糕，為學(xué)生呈現(xiàn)了不同的“1分量”，為之后的學(xué)習(xí)做了鋪墊。蘇教版用半個(gè)引入分?jǐn)?shù)12，而其他兩個(gè)版本卻是用一半引入的，個(gè)中思考耐人尋味。從學(xué)生的認(rèn)知來(lái)看，半個(gè)更容易理解，但是一半?yún)s是最接近12的。半個(gè)是凸顯了“1份”的具體數(shù)量，而一半?yún)s是勾勒出“1份”與整體的關(guān)系，后者更能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。

實(shí)際上，蘇教版教材《認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)》首頁(yè)下面那句話——“把一個(gè)蛋糕平均分成2份，每份是它的二分之一”的確有些讓學(xué)生摸不著頭腦，容易讓學(xué)生把“12個(gè)”和“它的12”畫上等號(hào)。通讀蘇教版教材三上和三下的認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)發(fā)現(xiàn)，除在這里讓12以一個(gè)具體的數(shù)量存在過(guò)以外，其他都是以整體與等分的關(guān)系存在的。教學(xué)中，我們更應(yīng)該借鑒其他版本，讓學(xué)生動(dòng)起手來(lái)，用自己喜歡的方式表示一半，充實(shí)自我的表象感知。

當(dāng)然，蘇教版的情境圖卻可以大加利用，除剛才說(shuō)的遷移和比對(duì)外，實(shí)際上當(dāng)學(xué)生把“2個(gè)蘋果、1瓶礦泉水和半個(gè)蛋糕”都抽象到“1分量”的層面思考時(shí)，不由自主會(huì)產(chǎn)生“都是1份，為什么數(shù)量不等呢？”的疑問(wèn)，有了一種“有心栽花花不開、無(wú)心插柳柳成蔭”的韻味，也為后面的學(xué)習(xí)設(shè)下疑問(wèn)、埋下伏筆。

二、 從“1份”到“幾分之一”，實(shí)現(xiàn)由過(guò)程向?qū)ο蟮霓D(zhuǎn)化

分?jǐn)?shù)概念作為過(guò)程引進(jìn)是基于學(xué)生的學(xué)習(xí)，但要完整準(zhǔn)確地把握分?jǐn)?shù)這個(gè)概念的本質(zhì)，最終還是要讓其轉(zhuǎn)化成一個(gè)對(duì)象，即“雖然可以把分?jǐn)?shù)看成除法運(yùn)算的一種表示，但分?jǐn)?shù)本身是數(shù)而不是運(yùn)算。”

在比較12和14時(shí)，學(xué)生從圖中最直觀的感知就是12表示的1份比14表示的1份大，而沒(méi)有真正去完整地比較這兩個(gè)分?jǐn)?shù)，因此，此時(shí)的學(xué)生剛剛經(jīng)歷一個(gè)課時(shí)的學(xué)習(xí)，他們的認(rèn)知還停留在過(guò)程之中，并沒(méi)有能把“1份”與分?jǐn)?shù)有效地聯(lián)系起來(lái)。

這個(gè)分?jǐn)?shù)的比較教學(xué)，我們首先解決的是引導(dǎo)學(xué)生知道如何得到這兩個(gè)分?jǐn)?shù)，在初步動(dòng)手之后，要追問(wèn)學(xué)生，為什么你涂出的就是12或14呢？

這里因?yàn)橐容^兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，所以用的是兩張同樣大小的圓片紙。教學(xué)中，對(duì)于12或14的“1分量”要實(shí)施多維度對(duì)比深化。

教學(xué)中可以安排這樣兩個(gè)操作活動(dòng)：

一是每個(gè)人拿出自己準(zhǔn)備的幾何圖形（有長(zhǎng)方形、正方形、圓形等等），且大小不一，涂出12和14。

二是每個(gè)人拿出兩張大小不相同的長(zhǎng)方形紙，分別涂出12和14。

此時(shí)呈現(xiàn)在學(xué)生面前的“1分量”的大小有相同、有不同，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突。12或14表示的首先是其中的一份，每一份都是12或14。這里的12或14不再是表示12或14個(gè)圖形，而是表示一份量占整體的12或14。自此，模糊了“1分量”的具體數(shù)值，只在認(rèn)知中存留了三個(gè)字——“1分量”。教師的有效引導(dǎo)，幫助學(xué)生從“1分量”這一形象的過(guò)程向分?jǐn)?shù)這一抽象的對(duì)象轉(zhuǎn)化了。