導(dǎo)數(shù)在幾何中的“降維”作用

溫金榮

美國數(shù)學(xué)家波利亞（Polya）曾指出：如果一位數(shù)學(xué)老師用和學(xué)生的知識(shí)相稱的題目來激起他們的好奇心，并用一些激勵(lì)性的問題去幫助他們解答題目，那么他就能培養(yǎng)學(xué)生對(duì)獨(dú)立思考的興趣。由此可見，激發(fā)學(xué)生興趣，領(lǐng)會(huì)和理解數(shù)學(xué)思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)的有效途徑。

人教版B教材選修2-2的P10上的“探究與研究”中教材編者給出的一個(gè)關(guān)于圓的面積和周長的問題，做了一些探討：研究圓面積與圓周長的關(guān)系圓面積S是半徑r的函數(shù) ；圓周長C也是圓半徑r的函數(shù) 。利用導(dǎo)數(shù)的定義，一步步地求S對(duì)半徑r的導(dǎo)數(shù)，說出每一步的幾何意義，以及它與圓周長之間的關(guān)系，類似地討論球的體積與球面積公式的關(guān)系。

這個(gè)等式的左端描述了圓的面積S對(duì)半徑R的導(dǎo)數(shù)，而右邊部分就是圓周長。

它表明：圓周長公式可由圓面積對(duì)R求導(dǎo)而得到。其他各組公式均可類似地得到解釋。函數(shù)S的增量對(duì)自變量R的增量之比是一個(gè)半徑大于R而小于的一個(gè)圓周的長。因而，從這個(gè)意義上看來，函數(shù)S對(duì)自變量R的導(dǎo)數(shù)，就是以R為半徑的圓周的長。

此外，上述例子的猜想都是基于具有中心的平面或空間圖形，其面積相對(duì)于中心距離的導(dǎo)數(shù)等于圖形的周長，其體積相對(duì)于中心距離的導(dǎo)數(shù)等于圖形的表面積或側(cè)面積，不是中心距離為變量不成立。例如：正方形邊長用x表示時(shí)面積，將面積看作邊長的函數(shù)對(duì)面積求導(dǎo)，。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，應(yīng)努力“發(fā)展學(xué)生的數(shù)感”，這里的“數(shù)感”即是對(duì)客觀事物和現(xiàn)象數(shù)學(xué)量方面的某種敏感性。我認(rèn)為在教學(xué)過程中，教師要有意識(shí)地讓學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)接觸客觀事物和現(xiàn)象數(shù)學(xué)量方面的數(shù)學(xué)問題，這樣學(xué)生自然地就能逐步自覺地用數(shù)學(xué)的思想、觀點(diǎn)和方法觀察事物、解釋現(xiàn)象、分析問題的習(xí)慣， 從而拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉玉棟，傅佩仁編《數(shù)學(xué)分析講義》.