初中數(shù)學(xué)最短路徑問題的探究與延伸

廣西大學(xué)附屬中學(xué) 蘆英峰

初中數(shù)學(xué)最短路徑問題的探究與延伸

廣西大學(xué)附屬中學(xué) 蘆英峰

題目：（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)在要在河上造一座橋MN。橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。）

一、審題分析

本題屬于最短路徑問題，學(xué)生比較陌生，對題目的理解難度比較大，首先引導(dǎo)學(xué)生通過多次讀題理解題意：已知A、B兩地在一條河的兩岸，且河的兩岸可以看成是平行的直線，則可畫出兩條平行的直線a和b，點(diǎn)A和點(diǎn)B是定點(diǎn)，分別位于兩直線的兩側(cè)?，F(xiàn)要建一座橋MN，要求橋與河垂直，即線段MN與直線a，b垂直。所要求的問題是橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短，即線段MN位于何處時，可使AM+MN+NB最小，從而將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，如圖1所示。

圖1

二、探究過程

1.探究線段MN的大致位置：學(xué)生在自主探究時，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，容易想到連接AB分別交直線a，b于M和N兩點(diǎn)，則線段MN即為所求。如圖2所示，引導(dǎo)學(xué)生思考這種作法是否可行，從而發(fā)現(xiàn)與題目中的條件“橋與河垂直”相矛盾。

圖2

2.探究線段MN的準(zhǔn)確位置。

引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)前面學(xué)過的求直線上的點(diǎn)到直線外異側(cè)兩點(diǎn)的距離之和最小問題，已知A、B兩個定點(diǎn)分別位于一條直線l的兩側(cè)，要在直線上找到一點(diǎn)使得它到這兩個定點(diǎn)的距離之和最小，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接AB與直線l交于一點(diǎn)，即為所求。引導(dǎo)學(xué)生對比本題，思考能否通過某種途徑將直線a和直線b重合在一起，從而將“兩線兩點(diǎn)”問題轉(zhuǎn)化成“一線兩點(diǎn)”問題，學(xué)生會想到利用平移的方法，從而得到作圖思路。

作圖步驟：（1）同時將直線a和點(diǎn)A沿與河岸垂直的方向平移一個河寬，使直線a與直線b重合，點(diǎn)A移動到A′。

（2）連接A′B交直線b于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作MN⊥a，垂足為M，連接AM則線段MN即為所求。

（3）如圖3所示。從而得到最短路徑為：A→M→N→B

圖3

3.證明線段MN的位置即為所求。

引導(dǎo)學(xué)生在直線b上異于點(diǎn)N任取一點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GH⊥a，垂足為H，連接AH，GB，A′G，如圖4所示，則只需證明AM+MN+NB＜AH+HG+GB。由于橋的長度不變，故MN=HG，從而只需證明AM+ NB＜AH+GB。根據(jù)平移性質(zhì)可得AM=A′N，AH=A′G，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為只需證明A′N+NB＜A′G+GB。 由圖可知，A′N+ NB=A′B，最終問題可轉(zhuǎn)化為只需證明A′B＜A′G+GB。學(xué)生容易想到根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行證明，最終得到證明思路。

圖4

4.多種作圖方法。

作法二：如圖5所示，同時將直線b和點(diǎn)B沿與河岸垂直的方向平移一個河寬。使直線b與直線a重合，點(diǎn)B移動到B′，連接B′A交直線a于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥b，垂足為N，則線段MN即為所求。

圖5

作法三：如圖6所示，將點(diǎn)A沿與河岸垂直的方向平移一個河寬。點(diǎn)A移動到A′，連接A′B交直線b于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作MN⊥a，垂足為M，連接AM，則線段MN即為所求。

點(diǎn)評：作法三與作法一本質(zhì)上是相同的。

圖6

作法歸納：

明確平移的目的是使兩條直線重合在一起，從而將“兩線兩點(diǎn)”問題轉(zhuǎn)化成“一線兩點(diǎn)”問題，即轉(zhuǎn)化成求直線上的點(diǎn)到直線異側(cè)兩點(diǎn)的距離之和最小的問題。從而得到一般作法：沿與河岸垂直的方向分別同時平移點(diǎn)A和直線a，點(diǎn)B和直線b到某個位置，使直線a和直線b重合，點(diǎn)A移動到A′，點(diǎn)B移動到B′，則同樣也可以進(jìn)行求解，留給學(xué)有余力的同學(xué)課后繼續(xù)探究。

三、延伸推廣

最短路徑問題是圖論研究中的一個經(jīng)典算法問題，旨在尋找圖（由結(jié)點(diǎn)和路徑組成的）中兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑。算法具體的形式包括：

1.確定起點(diǎn)的最短路徑問題——即已知起始結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問題。

2.確定終點(diǎn)的最短路徑問題——與確定起點(diǎn)的問題相反，該問題是已知終結(jié)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問題。

3.確定起點(diǎn)和終點(diǎn)的最短路徑問題——即已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑。

4.全局最短路徑問題——求圖中所有的最短路徑。