含無理式最值問題的解法梳理

李保勤

（山西省呂梁市高級實驗中學(xué)）

含無理式最值問題的解法梳理

李保勤

（山西省呂梁市高級實驗中學(xué)）

函數(shù)的最值問題是高中數(shù)學(xué)的重點和難點，也是高考的熱點，而含無理式的函數(shù)最值問題往往是學(xué)生在這方面的弱點，總結(jié)該類型的常用解法很有必要。

無理函數(shù)；單根號；雙根號；最值

一、單根號無理函數(shù)最值問題的求法

（一）判別式法：此法要由Δ≥0計算出y的范圍后，還要注意求原函數(shù)定義域限制下y的范圍，最后通過二者結(jié)合，求出原函數(shù)的最值，以免產(chǎn)生“增值”“誤判”等情況.

兩邊平方整理，得2x2-（2y+1）x+y2=0.

∵x∈R，∴Δ=（2y+1）2-8y2≥0，解得.

（二）換元法：通過巧妙地對函數(shù)自變量換元，轉(zhuǎn)換為我們比較熟悉的函數(shù)，化繁為簡，化難為易，進(jìn)而求函數(shù)最值.

∴y=2（1-t2）+4t=-2（t-1）2+4（t≥0）.

故ymax=4.

二、雙根號無理函數(shù)最值問題的求法

（一）配方法：通過恰當(dāng)配方，可以去根號，轉(zhuǎn)化為有理式

故ymin=2

例5.求函數(shù)的最小值.

由于y2最小值為4，故ymin=2

（三）單調(diào)性法：把原函數(shù)分解為兩個（或多個）新函數(shù)，根據(jù)兩個（或多個）新函數(shù)在公共定義區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，求原函數(shù)在每一區(qū)間上的最值，最后總結(jié)原函數(shù)在整個定義域上的最值.

綜上可得，f（x）min=f（2）=

（四）幾何法：利用兩點距離公式，將函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為求一動點到兩定點距離和（差）的最值問題.

解：原函數(shù)轉(zhuǎn)化為

（五）構(gòu)造法：通過構(gòu)造向量數(shù)量積等將函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值，這要用到向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示相關(guān)知識.

故yman=，ymin=2

·編輯王亞青

李保勤，男，碩士研究生，山西省呂梁市高級實驗中學(xué)年級主任。