含螺栓連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性振動(dòng)特性研究

劉卓乾, 曹樹謙, 郭虎倫， 李利青

(1.天津大學(xué) 力學(xué)系,天津 300072; 2.天津市非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津 300072;3. 天津大學(xué) 內(nèi)燃機(jī)燃燒學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

?

含螺栓連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性振動(dòng)特性研究

劉卓乾1,2,3, 曹樹謙1,2,3, 郭虎倫1,2,3， 李利青1,2,3

(1.天津大學(xué) 力學(xué)系,天津 300072; 2.天津市非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津 300072;3. 天津大學(xué) 內(nèi)燃機(jī)燃燒學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子大量采用的螺栓法蘭連接，建立了連接結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型，定性給出了兩段轉(zhuǎn)子在相對(duì)彎曲時(shí)連接部位彎矩的分段線性參數(shù)化模型。應(yīng)用狀態(tài)空間理論和數(shù)值計(jì)算方法對(duì)一個(gè)含螺栓連接的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值模擬，研究其模態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。研究表明，分段線性變化連接剛度對(duì)中轉(zhuǎn)速段尤其是二階臨界轉(zhuǎn)速附近的模態(tài)和穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)產(chǎn)生較大影響，而轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在低速段和高速段保持相對(duì)穩(wěn)定的、可線性化的運(yùn)動(dòng)。分析了預(yù)緊力對(duì)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)特性的影響，發(fā)現(xiàn)預(yù)緊力對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性影響顯著，在一定范圍內(nèi)增大預(yù)緊力會(huì)使系統(tǒng)不穩(wěn)定加劇，但會(huì)縮短不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的區(qū)間范圍。

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)；螺栓連接；穩(wěn)定性；非線性動(dòng)力學(xué)

航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子的連接結(jié)構(gòu)可分為拉桿連接、螺栓連接和無螺栓連接三種形式?，F(xiàn)代航空發(fā)動(dòng)機(jī)連接結(jié)構(gòu)的選用考證多種因素，除了保證轉(zhuǎn)子段間較好的一致性和振動(dòng)穩(wěn)定性，為了滿足推重比要求，對(duì)于質(zhì)量的要求逐漸苛刻。螺栓連接結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，連接穩(wěn)定性較好，較為輕便，因此廣泛應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)中[1-2]。

由于螺栓法蘭連接本身的結(jié)構(gòu)特性，航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在“準(zhǔn)剛性”特性。即除去剛性轉(zhuǎn)子應(yīng)有的俯仰、平移振動(dòng)外，實(shí)驗(yàn)中在某些特殊的轉(zhuǎn)速下會(huì)發(fā)生錯(cuò)動(dòng)和彎曲，甚至兩段轉(zhuǎn)子相位上的不一致。而螺栓連接的剛度小于轉(zhuǎn)子的剛度，這使得螺栓連接成為故障發(fā)生的源頭之一。

壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子典型的螺栓連接結(jié)構(gòu)如圖1所示，其各方向力學(xué)特性均可用分段線性剛度描述。B?SWALD等[3-4]采用實(shí)驗(yàn)與數(shù)值方法研究了螺栓連接軸向和橫向分段線性剛度的定性規(guī)律，提出了采用非線性傳遞函數(shù)方法識(shí)別橫向剛度的途徑。GAO等[5-6]用有限元法給出了拉桿轉(zhuǎn)子連接的數(shù)學(xué)模型，并將其數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于Jeffcott轉(zhuǎn)子，研究其動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性和模態(tài)特性。QIN等[7]用有限元法計(jì)算了螺栓轂筒連接的彎矩模型，給出了含彎矩模型的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性。LIU等[8]結(jié)合有限元仿真和實(shí)驗(yàn)，對(duì)螺栓法蘭連接的橫向剛度模型進(jìn)行了對(duì)比研究，發(fā)現(xiàn)了剛度模型隨連接結(jié)構(gòu)特性變化的一系列規(guī)律。

圖1 壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子螺栓連接結(jié)構(gòu)Fig.1 Bolt joint structure of aero-engines

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接結(jié)構(gòu)的研究，著重于靜態(tài)實(shí)驗(yàn)研究或者有限元仿真計(jì)算，動(dòng)力學(xué)數(shù)值仿真分析的研究相對(duì)較少。對(duì)于螺栓預(yù)緊力的研究給出了一些規(guī)律，但對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響研究較少。本文通過建立一個(gè)簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)子連接模型，突出螺栓法蘭連接對(duì)于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性影響，研究螺栓連接對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)和非線性響應(yīng)特性的影響。

1 轉(zhuǎn)子螺栓法蘭連接等效力學(xué)模型

為使相連的兩段轉(zhuǎn)子具有較好的轉(zhuǎn)動(dòng)同步性以及保持足夠大的徑向以及軸向剛度，連接結(jié)構(gòu)在三維平動(dòng)方向上對(duì)兩段轉(zhuǎn)子提供相對(duì)約束，還具有抵抗連接的兩段轉(zhuǎn)子彎曲的作用。

1.1 螺栓法蘭連接的軸向力學(xué)特性

考慮一個(gè)螺栓法蘭連接的簡(jiǎn)化模型，其剖面圖如圖2(a)所示。連接結(jié)構(gòu)軸向力簡(jiǎn)化為兩類，即彈性力和阻尼力，并認(rèn)為其作用在一直條線上。

圖2 螺栓法蘭連接軸向力簡(jiǎn)化模型 Fig.2 Qualitative relationship between axial force and the relative displacement z

由于連接結(jié)構(gòu)螺栓受拉而法蘭盤受壓，因此其軸向的彈性作用力存在著拉壓不同的特性，定性函數(shù)如圖2(b)中虛線所示。工程中需要在螺栓連接部位施加一個(gè)軸向預(yù)緊力，以使連接部分的力學(xué)特性相對(duì)合理。預(yù)緊力過大會(huì)減小結(jié)構(gòu)壽命，過小會(huì)使得結(jié)構(gòu)相對(duì)運(yùn)動(dòng)超過標(biāo)準(zhǔn)，因此通常以圖中實(shí)線所代表的定性函數(shù)關(guān)系作為軸向彈性力，其中拉力的第二段剛度kT2=kc。簡(jiǎn)化成力學(xué)模型得到分段線性剛度，在圖2(a)中用非線性彈簧表示。

1.2 螺栓法蘭連接的彎矩特性

圖2(a)所示的單個(gè)螺栓軸向力簡(jiǎn)化模型代表螺栓法蘭連接的單個(gè)螺栓剖面。一個(gè)有n個(gè)性質(zhì)相同螺栓的連接結(jié)構(gòu)具有n個(gè)如圖剖面。假設(shè)轉(zhuǎn)子彎曲量較小，則在截面上一周的n個(gè)螺栓連接結(jié)構(gòu)受拉和受壓的連接區(qū)域數(shù)目相等，如圖3(a)所示。圖3(b)給出了由瞬時(shí)對(duì)稱位置固定坐標(biāo)系中兩個(gè)螺栓組成的轉(zhuǎn)子連接結(jié)構(gòu)剖面圖。

圖3 連接部位彎矩模型示意圖Fig.3 Model of the joint moment

左盤上下兩點(diǎn)受力方向相反，使連接部位產(chǎn)生彎矩作用。若連接結(jié)構(gòu)系統(tǒng)受力處于瞬時(shí)平衡，則有上下兩點(diǎn)受力關(guān)系[9]:

(1)

式中：FTi為受拉端產(chǎn)生的拉力，F(xiàn)Ci為受壓端產(chǎn)生的壓力，d為螺栓法蘭連接的有效直徑。共有n/2個(gè)圖3(b)所示截面，產(chǎn)生n/2個(gè)彎矩。對(duì)于整個(gè)連接截面有:

(2)

航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子為準(zhǔn)剛性轉(zhuǎn)子，其渦動(dòng)與橫向振動(dòng)均不明顯。為了研究方便，把轉(zhuǎn)子連接部分受到的合彎矩分解到繞x軸和y軸兩個(gè)方向：

M=Mx+My

(3)

考慮繞x軸方向的彎矩示意圖如圖3(b)，則軸向力學(xué)特性使得連接結(jié)構(gòu)拉壓變形并不相等，分別為:

(4)

(5)

式中：kT、kC分別為螺栓連接的等效軸向拉壓剛度。在小變形條件下，連接結(jié)構(gòu)繞x軸轉(zhuǎn)角與軸向變形的關(guān)系可以表示為:

(6)

將式(4)、式(5)代入式(6)，整理得到螺栓連接彎曲角剛度表達(dá)式：

(7)

由于預(yù)緊力存在，等效拉伸剛度kT呈現(xiàn)分段線性規(guī)律，對(duì)應(yīng)的kθ也呈現(xiàn)分段線性規(guī)律，如圖3(c)所示，與文獻(xiàn)[10]分析定性一致。由于每個(gè)螺栓性質(zhì)相同，則繞y軸彎矩模型可由同樣過程獲得，分段的臨界點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相對(duì)臨界轉(zhuǎn)角:

(8)

式中：Fpre為等效預(yù)緊力。

由上述分析可知，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)發(fā)生彎曲的瞬時(shí)，連接部位的彎矩模型可由繞x、y軸作用的分段線性角剛度描述，沿連接截面一周的螺栓與固定坐標(biāo)的四個(gè)交點(diǎn)為等效預(yù)緊力作用點(diǎn)。

1.3 含螺栓法蘭連接的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

為了研究螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響，基于下面假設(shè)建立轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型：

(1) 為體現(xiàn)連接部分的剛度對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響，將轉(zhuǎn)子軸考慮為剛性軸，支撐采用剛性支撐結(jié)構(gòu)；

(2) 將高低壓葉盤簡(jiǎn)化為兩個(gè)不同質(zhì)量的剛性盤。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸承支撐簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支約束。忽略彈性法蘭盤的質(zhì)量，連接結(jié)構(gòu)的作用力看作兩葉盤的直接相互作用力；

(3) 兩段轉(zhuǎn)子之間的約束彎矩簡(jiǎn)化為角剛度作用下，兩盤相互的耦合彎矩作用；

(4) 假設(shè)轉(zhuǎn)子橫向振動(dòng)較小，螺栓約束轉(zhuǎn)子橫向振動(dòng)的剛度簡(jiǎn)化為線性剛度與線性阻尼；

(5) 忽略轉(zhuǎn)子軸向運(yùn)動(dòng)。

根據(jù)上述假設(shè)得到含螺栓連接假設(shè)(4)自由度轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型如圖4所示，其廣義坐標(biāo)為:

q=[θx1θy1θx2θy2]T

(9)

式中：θxi、θyi為別為兩段轉(zhuǎn)子剛體繞固定坐標(biāo)系中x、y坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角，i=1,2。

圖4 含螺栓連接的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型示意圖Fig.4 Model of the rotor system with bolt joints

這里需要說明，根據(jù)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)建模理論，每個(gè)剛性轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)需要用4個(gè)自由度表征，即xi、yi、θxi和θyi。單獨(dú)討論盤1的y方向，當(dāng)盤1在y方向上的位移足夠小時(shí)，此時(shí)剛體繞固定坐標(biāo)軸x的轉(zhuǎn)角也足夠小,滿足sinθ≈θ,此時(shí)y1=l1θx1。同理，x1、x2、y2也可由θy1、θy2、θx2表示。由于假設(shè)(1)，每盤運(yùn)動(dòng)使用兩個(gè)自由度即可表征。

采用拉格朗日能量法建立4個(gè)自由度的動(dòng)力學(xué)微分方程：

(10)

式中:K為線性剛度矩陣。根據(jù)假設(shè)(5)，線剛度kl取定值。本文建模認(rèn)為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為對(duì)稱系統(tǒng)，即兩段轉(zhuǎn)子x、y平動(dòng)方向的剛度作用相等，取klx=kly=kl。同理，由clx=cly=cl組成阻尼矩陣C。G為陀螺矩陣，表示陀螺效應(yīng)力對(duì)系統(tǒng)的影響。

角剛度取分段線性模型，繞x軸旋轉(zhuǎn)與繞y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的角剛度相等，kθx=kθy=kθ(Δθ),其規(guī)律滿足如圖6的定性關(guān)系。微分方程(10)中的非線性剛度矩陣:

Knl(Δθ)=

(11)

式中：Δθx=θx1-θx2，Δθy=θy1-θy2，即非線性剛度矩陣Knl(Δθ)隨著系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)而變化。

2 含螺栓法蘭連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)分析

2.1 螺栓法蘭連接對(duì)轉(zhuǎn)子渦動(dòng)頻率的影響

由于陀螺效應(yīng)的存在，隨著轉(zhuǎn)速增高渦動(dòng)頻率逐漸分離，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)發(fā)生渦動(dòng)。求解動(dòng)力學(xué)微分方程(10)的特征值問題，通過將物理坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)坐標(biāo)，可以得到狀態(tài)坐標(biāo)式:

(12)

設(shè)式(12)的特解為q′=ψeλt，ψ為幅值列陣，將q′代入式(12)得到廣義特征值問題:

λPq′+Qq′=0

(13)

變形為:

Hq′=λq′

(14)

式中：

計(jì)算矩陣H的特征值與特征向量可得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的n階渦動(dòng)頻率[11]。系統(tǒng)的參數(shù)取值如表1所示。

表1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型的參數(shù)Tab.1 Parameters of the rotor system

需要指出，由于阻尼力只在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡響應(yīng)中起到作用，在計(jì)算渦動(dòng)頻率隨轉(zhuǎn)速變化的過程中不考慮。由于狀態(tài)空間理論只適用線性系統(tǒng)，角剛度矩陣Knl中的組成元素先后取角剛度分段的kθ1、kθ2形成兩個(gè)線性系統(tǒng)，來分別計(jì)算彎矩呈分段線性變化前后系統(tǒng)渦動(dòng)頻率的值，對(duì)應(yīng)等效預(yù)緊力Fpre取足夠大和取0的兩個(gè)極端值時(shí)系統(tǒng)的渦動(dòng)頻率。以此線性化過程，得出一個(gè)范圍來定性預(yù)測(cè)渦動(dòng)頻率的變化區(qū)間，并認(rèn)為非線性剛度對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的實(shí)際情況在這個(gè)區(qū)間內(nèi)。使轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速由0增長(zhǎng)到1 800 rad/s，計(jì)算每個(gè)轉(zhuǎn)速下對(duì)應(yīng)H矩陣的特征值問題，將各階特征值取虛部得到對(duì)應(yīng)該轉(zhuǎn)速下的渦動(dòng)頻率，繪制坎貝爾圖如圖5所示。

圖5 含螺栓連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的坎貝爾圖Fig.5 Campbell diagram of the rotor system with bolt joints

圖5中斜線與頻率曲線的交點(diǎn)其橫坐標(biāo)為臨界轉(zhuǎn)速?？梢钥闯?，角剛度取不同值時(shí)，第一階渦動(dòng)頻率差異并不明顯，而第二階產(chǎn)生了較大差異。角剛度取kθ1時(shí)，系統(tǒng)的第二階渦動(dòng)頻率較??；而角剛度取kθ2時(shí)系統(tǒng)第二階渦動(dòng)頻率較大。第一階臨界轉(zhuǎn)速?zèng)]有明顯差異，為445 rad/s；由于兩線性系統(tǒng)第二階渦動(dòng)頻率的差異，臨界轉(zhuǎn)速也產(chǎn)生了較大的差異，分別為910 rad/s與1 320 rad/s?？梢园l(fā)現(xiàn)角剛度取分段線性時(shí)，第一階臨界轉(zhuǎn)速不會(huì)受到角剛度變化的太大影響，而第二階臨界轉(zhuǎn)速出現(xiàn)較大差異，其取值在兩個(gè)線性系統(tǒng)計(jì)算的兩個(gè)臨界轉(zhuǎn)速之間?？梢园l(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的渦動(dòng)并不明顯，渦動(dòng)頻率的分離較小。這是由于兩盤間的約束剛度足夠大，轉(zhuǎn)軸也簡(jiǎn)化為剛性所導(dǎo)致；同時(shí)剛性盤的質(zhì)量取值較小，因此陀螺效應(yīng)對(duì)于系統(tǒng)固有頻率的擾動(dòng)較小，反映在圖5中就表現(xiàn)出無論角剛度取值如何，系統(tǒng)的渦動(dòng)頻率隨轉(zhuǎn)速升高分離不明顯。這與實(shí)際發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的短粗結(jié)構(gòu)和準(zhǔn)剛性特性一致。

2.2 含螺栓法蘭連接轉(zhuǎn)子的振型

計(jì)算角剛度取kθ1時(shí)對(duì)應(yīng)各個(gè)轉(zhuǎn)速下H矩陣特征值問題，可以得到各階特征向量，對(duì)應(yīng)各個(gè)轉(zhuǎn)速下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)兩盤形心的振型，如圖6所示。

圖6 靜態(tài)與轉(zhuǎn)速為1 000 rad/s的振型Fig.6 Modes of the rotor at static and 1 000 rad/s

對(duì)于圖6結(jié)果需要指出，系統(tǒng)在靜態(tài)時(shí)未發(fā)生頻率分離，因此只有兩階振型；而在1 000 rad/s時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)渦動(dòng)頻率發(fā)生了分離，存在四階振型，但由圖5可知渦動(dòng)頻率分離程度并不明顯，因此一二兩階、三四兩階振型十分接近，圖6中僅給出兩階。通過圖6中各盤的形心形成近似的圓形軌跡可以定性看出，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)x,y方向的振型基本一致。這是因?yàn)閮杀P間的約束在x和y以及繞x和y的方向上一致。從幅值來看，第一階振型兩盤幅值接近，第1盤略大于第2盤；第二階時(shí)第2盤幅值明顯大于第1盤，兩盤發(fā)生錯(cuò)動(dòng)。

3 含螺栓法蘭連接的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)不平衡響應(yīng)

由上節(jié)分析可以看出，當(dāng)角剛度值發(fā)生變化時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在第二階臨界轉(zhuǎn)速附近渦動(dòng)頻率值不能確定，且兩盤發(fā)生錯(cuò)動(dòng)。本節(jié)引入轉(zhuǎn)子偏心不平衡量，采用四階Runge-Kutta方法求解方程組，對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，研究其最大幅值、臨界轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律以及穩(wěn)態(tài)不平衡響應(yīng)。

假設(shè)偏心在兩葉盤上，偏心距ε1=ε2=0.000 2 m，且偏心相位一致。加入轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡激勵(lì)后，動(dòng)力學(xué)微分方程(10)變?yōu)?

(16)

式中：f(t)為離心力激勵(lì)矩陣。

3.1 含螺栓法蘭連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡響應(yīng)

取不同等效預(yù)緊力，以轉(zhuǎn)速為分岔參數(shù)，從0逐漸升高到1 800 rad/s，取dθx1/dt=0截面作分岔圖如圖7(a)～(e)所示，并作出等效預(yù)緊力分別取5 kN、10 kN、20 kN和40 kN時(shí)局部轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)最大李雅普諾夫指數(shù)，如圖7(b)～(e)中小圖所示。

通過比較一系列分岔圖可以看出，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在第一階臨界轉(zhuǎn)速附近運(yùn)動(dòng)沒有明顯變化，但過第二階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)發(fā)生分岔；隨著Fpre增大，第二階臨界轉(zhuǎn)速峰值逐漸不明顯甚至發(fā)生突跳；臨界轉(zhuǎn)速值也從910 rad/s(Fpre=2 kN)逐漸升高到1 300 rad/s(Fpre=40 kN)左右，變化范圍與圖5給出的范圍基本一致。

圖7 不同等效預(yù)緊力Fpre下第1盤y方向位移分岔圖Fig.7Bifurcationdiagramsofdisplacementsinthedirectionofyunderdifferentequivalentpre-tighteningforceFpre

Fpre取不同值時(shí)，系統(tǒng)位移響應(yīng)總會(huì)在某一轉(zhuǎn)速下發(fā)生突跳，與文獻(xiàn)[6]的響應(yīng)研究中在峰值附近發(fā)生的突跳類似；由圖7(b)～(e)中的最大李雅普諾夫指數(shù)可以看出，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在突跳點(diǎn)之后發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)，并且隨著轉(zhuǎn)速繼續(xù)升高發(fā)生倒分岔變?yōu)橹芷谶\(yùn)動(dòng)。不同的Fpre取值其對(duì)應(yīng)的岔點(diǎn)以及倒分岔點(diǎn)均不同。當(dāng)Fpre取值增大時(shí)，其突跳點(diǎn)向高轉(zhuǎn)速方向移動(dòng)，而倒分岔點(diǎn)向低轉(zhuǎn)速方向移動(dòng)，分岔轉(zhuǎn)速區(qū)間逐漸變小，如表2所示。

圖8為當(dāng)Fpre=10 kN、轉(zhuǎn)速為1 200 rad/時(shí)盤1在y方向的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。從圖7(c)以及圖8(b)中可以看出，盤1在該轉(zhuǎn)速下發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)；除兩階模態(tài)峰值外出現(xiàn)了3倍頻，但幅值較小；轉(zhuǎn)子的兩個(gè)橫向振動(dòng)不再對(duì)稱，轉(zhuǎn)子此時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡變復(fù)雜。圖9為Fpre=20 kN、轉(zhuǎn)速為1 200 rad/s時(shí)盤1在y方向的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。對(duì)比圖8可以看出，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)更加復(fù)雜，頻譜圖中3倍頻幅值更高，且出現(xiàn)了5倍頻；軸心軌跡也更加不規(guī)則。這表明等效預(yù)緊力不僅使得混沌運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)速區(qū)間變小，而且使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)更加復(fù)雜。通過圖7(c)和圖7(d)的比較，可以看出Fpre=20 kN對(duì)應(yīng)的最大李雅普諾夫指數(shù)高于Fpre=10 kN一個(gè)量級(jí)，其混沌運(yùn)動(dòng)更加無序。

表2 不同預(yù)緊力下運(yùn)動(dòng)特性比較Tab.2 Comparison of motion characteristics under different pre-tightening force Fpre

圖8 Fpre=10 kN、1 200 rad/s時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Fig.8 Steady response at 1 200 rad/s, Fpre=10 kN

圖9 Fpre=20 kN、1 200 rad/s時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Fig.9 Steady response at 1 200 rad/s, Fpre=20 kN

3.2 兩盤的相對(duì)運(yùn)動(dòng)描述

轉(zhuǎn)子受到不平衡激勵(lì)后發(fā)生兩盤的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，螺栓法蘭連接參數(shù)化模型中兩盤相對(duì)轉(zhuǎn)角存在一個(gè)臨界值Δθ0，臨界值兩邊系統(tǒng)的角剛度發(fā)生變化。由第2節(jié)內(nèi)容可知，該臨界轉(zhuǎn)角的大小隨等效預(yù)緊力變化。

圖10 等效預(yù)緊力分別取2 kN、10 kN和20 kN時(shí) 不同轉(zhuǎn)速下的相對(duì)轉(zhuǎn)角Fig.10 Relatively rotation angle at diferent rotate speed when Fpre=2 kN、10 kN、20 kN

等效預(yù)緊力分別取2 kN、10 kN、20 kN，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后兩盤相對(duì)轉(zhuǎn)角如圖10所示，圖中雙直線表示該等效預(yù)緊力下的相對(duì)臨界轉(zhuǎn)角。由于轉(zhuǎn)子橫向平動(dòng)和彎曲存在關(guān)聯(lián)，圖中只給出了角度相對(duì)值。對(duì)比圖7(a)、圖7(c)和圖7(d)可以發(fā)現(xiàn)，相對(duì)轉(zhuǎn)角未超過臨界值的轉(zhuǎn)速下，盤1維持單周期運(yùn)動(dòng)；而當(dāng)相對(duì)轉(zhuǎn)角超過臨界時(shí)，盤1發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)。可以認(rèn)為分段線性角剛度發(fā)生變化是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)的原因。比較圖10(b)和圖10(c)，F(xiàn)pre=10 kN時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)時(shí)每一個(gè)周期相對(duì)臨界轉(zhuǎn)角都超過臨界值，而Fpre=20 kN存在某些周期未超過臨界值的情況，這使得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)更加復(fù)雜。

3.3 含螺栓法蘭連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)幅值

Fpre分別取0 kN、2 kN和預(yù)緊力足夠大的極限狀態(tài)作比較，在1 800 rad/s的范圍內(nèi)得到了盤1和盤2中心點(diǎn)的y方向幅頻曲線，如圖11所示。

圖11 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不同F(xiàn)pre時(shí)的幅頻特性曲線Fig.11 Amplitude-frequency curve of rotor system under different Fprein direction y

比較Fpre=0、Fpre足夠大兩種極端情況，此時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，角剛度取值不變。兩種狀態(tài)下第一階臨界轉(zhuǎn)速值(450 rad/s)重合，F(xiàn)pre=0對(duì)應(yīng)的響應(yīng)曲線幅值稍大；第二階臨界轉(zhuǎn)速發(fā)生了較大差異，F(xiàn)pre=0時(shí)系統(tǒng)的二階臨界轉(zhuǎn)速為910 rad/s，而Fpre取足夠大時(shí)為1 320 rad/s，幅值Fpre=0對(duì)應(yīng)的曲線較小，與圖5一致。二階臨界轉(zhuǎn)速變小與文獻(xiàn)[7]得到的定性規(guī)律一致，但由于本文轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型突出連接結(jié)構(gòu)影響，角剛度變化時(shí)二階臨界轉(zhuǎn)速發(fā)生的變化差異較大。

對(duì)比圖11(a)、(b)可以發(fā)現(xiàn)，第一階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，盤1較盤2的響應(yīng)幅值大，而第二階臨界轉(zhuǎn)速下盤2比盤1幅值大，與圖6振型分析得到的定性規(guī)律一致。

對(duì)應(yīng)圖10(a)，由圖11小圖可知，F(xiàn)pre=2 kN對(duì)應(yīng)的響應(yīng)幅值曲線在低轉(zhuǎn)速階段以及第一階臨界轉(zhuǎn)速附近與Fpre足夠大的曲線重合，此時(shí)兩轉(zhuǎn)子的相對(duì)轉(zhuǎn)角未突破臨界值；當(dāng)相對(duì)轉(zhuǎn)角開始超過臨界值范圍時(shí)，在特定的轉(zhuǎn)速(700 rad/s)下幅值發(fā)生波動(dòng)跳躍，最終與Fpre=0的響應(yīng)幅值曲線重合。

令盤2偏心距ε2為0，逐步增大盤1的相對(duì)偏心距ε1，系統(tǒng)對(duì)應(yīng)最大響應(yīng)振幅如圖12所示?？梢钥闯鱿到y(tǒng)振動(dòng)能量集中在第二階臨界轉(zhuǎn)速附近。聯(lián)系非線性動(dòng)力學(xué)理論，能量集中使得第二階臨界轉(zhuǎn)速附近發(fā)生復(fù)雜運(yùn)動(dòng)；此時(shí)由于兩盤較大的相對(duì)轉(zhuǎn)角，非線性現(xiàn)象也趨于明顯。

圖12 不同偏心量?jī)呻A臨界轉(zhuǎn)速幅值比較Fig.12 Comparison of amplitude at critical rotation speed with different eccentricity quantity

4 結(jié) 論

本文在研究含螺栓法蘭連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)機(jī)理過程中得出了以下結(jié)論:

(1)建立了剛性轉(zhuǎn)子螺栓法蘭連接作用彎矩的一個(gè)簡(jiǎn)單模型，通過推導(dǎo)得到了轉(zhuǎn)子耦合彎矩模型，與之前學(xué)者得到的彎矩特性定性一致。

(2)應(yīng)用狀態(tài)空間理論計(jì)算了動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的特征值問題，給出了系統(tǒng)在動(dòng)靜條件下的振型。發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)子渦動(dòng)頻率分離不明顯，且耦合角剛度函數(shù)的不光滑使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)渦動(dòng)頻率變小，二階臨界轉(zhuǎn)速值發(fā)生變化。定性給出了轉(zhuǎn)子兩階振型兩盤振動(dòng)幅值之間的關(guān)系。

(3)研究了不同等效預(yù)緊力下含螺栓法蘭連接模型的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡響應(yīng)。轉(zhuǎn)子相對(duì)彎曲較大時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)發(fā)生突跳，之后表現(xiàn)為混沌運(yùn)動(dòng)；預(yù)緊力增大，則分岔點(diǎn)后移，倒分岔點(diǎn)前移，混沌運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速區(qū)間有變小趨勢(shì)，第二階臨界轉(zhuǎn)速由900 rad/s附近逐漸增加到1 300 rad/s；同時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定加劇，混沌運(yùn)動(dòng)更加明顯。

(4)在系統(tǒng)能量集中在第二階臨界轉(zhuǎn)速附近，兩盤響應(yīng)幅值大小有明顯差異。幅頻特性曲線規(guī)律隨著分段角剛度變化而發(fā)生變化，表現(xiàn)為低速段和高速段規(guī)律曲線不同的特性。

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Vibration characteristics of rotor systems with bolt joints

LIU Zhuoqian1,2,3, CAO Shuqian1,2,3, GUO Hulun1,2,3, LI Liqing1,2,3

(1. Department of Mechanics, Tianjin University, Tianjin 300072, China;2. Tianjin Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Chaos Control, Tianjin 300072, China;3. State Key Laboratory of Engines, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

Bolt joint structures are widely used in the aero-engine rotor systems. The mechanical model of a joint structure was set up and a parametric model for the bilinear moment distribution was given qualitatively. The modal characters and steady responses of the rotor system with bolt joint were investigated, by using the state space theory and numerical simulation. It is shown that the bilinear moment character has influence on modal characters and steady responses at medium rotational speed, especially at the vicinity of second order critical rotational speed, while it keeps steady and can be linearized at lower and higher rotational speeds. It is also found that pre-tightening force has a large influence on the stability of the rotor system. The increasing of pre-tightening force can intensify the instability of the system, but shorten the range of unstable motion.

rotor system; bolt joint; stability; nonlinear dynamics

國(guó)家973計(jì)劃資助項(xiàng)目(2015CB057400)；天津市自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11JCZDJC25400)

2015-07-02 修改稿收到日期：2015-09-13

劉卓乾 男，碩士生，1990年生

曹樹謙 男，博士,教授,博士生導(dǎo)師，1964年生 E-mail: sqcao@tju.edu.cn

V231

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.22.002