數(shù)學(xué)模型在金融市場(chǎng)的應(yīng)用

文/常琪卿

數(shù)學(xué)模型在金融市場(chǎng)的應(yīng)用

文/常琪卿

數(shù)學(xué)模型在金融領(lǐng)域中的應(yīng)用廣泛，利用數(shù)學(xué)模型可以清晰的分辨出市場(chǎng)之間的關(guān)系以及金融市場(chǎng)的內(nèi)在邏輯。本文將概括性介紹一些數(shù)學(xué)模型及其在金融市場(chǎng)中的應(yīng)用。

金融市場(chǎng)；數(shù)學(xué)模型；證券投資組合模型；CAPM模型

隨著數(shù)學(xué)水平和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)模型越來(lái)越多的應(yīng)用在了經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，特別是金融領(lǐng)域。而在金融領(lǐng)域中，金融市場(chǎng)上的交易與投資無(wú)疑是最為核心也最為復(fù)雜的部分。如何在浩如煙海的投資標(biāo)的中，根據(jù)投資人的需要將不同的資金流匹配到不同的產(chǎn)品上去，既需要熟悉金融市場(chǎng)上的不同產(chǎn)品，更需要在這基礎(chǔ)上對(duì)其風(fēng)險(xiǎn)與收益的特征進(jìn)行識(shí)別，對(duì)不同的產(chǎn)品進(jìn)行恰當(dāng)?shù)慕M合，從而使資金在可接受的風(fēng)險(xiǎn)水平下獲得最大的回報(bào)。將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于金融市場(chǎng)上，有助表達(dá)金融市場(chǎng)系統(tǒng)的本質(zhì)，做出恰當(dāng)?shù)耐顿Y決策。

一、金融市場(chǎng)概述

(一)什么是金融市場(chǎng)

金融市場(chǎng)即廣義上進(jìn)行資金流通的市場(chǎng)，在這個(gè)市場(chǎng)上，活躍著資金的供給方，資金的需求方，金融中介，監(jiān)管者等四類機(jī)構(gòu)。資金的供給方和需求方在政府或其他機(jī)構(gòu)的監(jiān)管下，通過(guò)中介方提供的服務(wù)，完成對(duì)資金供需的匹配，實(shí)現(xiàn)資金資源的最大化利用。

(二)金融市場(chǎng)的分類

金融市場(chǎng)按照交易方式的不同，可以分為一級(jí)市場(chǎng)和二級(jí)市場(chǎng)，如，上市公司首次公開(kāi)發(fā)行股票，屬于一級(jí)市場(chǎng)；而在證券交易所中，該股票的流通交易則屬于二級(jí)市場(chǎng)的交易。按照金融產(chǎn)品的不同，金融市場(chǎng)還可以分為股票市場(chǎng)，債券市場(chǎng)，期貨市場(chǎng)，外匯市場(chǎng)，保險(xiǎn)市場(chǎng)等。而其中，投資與理財(cái)，股票和基金，借貸及保險(xiǎn)，則是和我們廣大人民群眾密切聯(lián)系在一起的。

二、數(shù)學(xué)模型概述

數(shù)學(xué)模型是運(yùn)用數(shù)理邏輯方法和數(shù)學(xué)語(yǔ)言建構(gòu)的科學(xué)或工程模型。數(shù)學(xué)模型對(duì)復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象和簡(jiǎn)化，從而用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言做出表述和求解。數(shù)學(xué)模型既可以是簡(jiǎn)單的，如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，用供給曲線和需求曲線描述產(chǎn)品市場(chǎng)，在生物學(xué)中，用J字型曲線描述種群數(shù)量隨時(shí)間的變化，也可以是復(fù)雜的，如用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法解決最優(yōu)化為題。在現(xiàn)代金融分析中，通過(guò)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行定量和定性的分析，以找到金融活動(dòng)中潛在的規(guī)律，并用以指導(dǎo)實(shí)踐，已成為越來(lái)越普遍的現(xiàn)象和行之有效的技術(shù)手段。

三、數(shù)學(xué)模型在金融領(lǐng)域的應(yīng)用舉例

(一)證券投資組合模型

1952年，美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬考維茨首次提出投資組合理論，并進(jìn)行了系統(tǒng)、深入和卓有成效的研究，他因此獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。證券投資組合理論首先考察單支證券的收益和風(fēng)險(xiǎn)，從概率論的角度，將證券的價(jià)格視為隨機(jī)變量，以該隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫(huà)證券收益，而以其方差，即波動(dòng)性度量指標(biāo)，刻畫(huà)風(fēng)險(xiǎn)。對(duì)于由多種具有不同收益風(fēng)險(xiǎn)的證券組成的投資組合，該模型認(rèn)為投資組合的收益是這些證券收益的加權(quán)平均，但是其風(fēng)險(xiǎn)需要綜合考慮單支證券的風(fēng)險(xiǎn)以及各自之間的相關(guān)性。通過(guò)構(gòu)建這樣的模型，可以看出，投資組合能降低風(fēng)險(xiǎn)。

1.資產(chǎn)組合的預(yù)期收益模型

把投資組合中的證券價(jià)格作為隨機(jī)變量，用其均值表示收益。

2.資產(chǎn)組合的方差模型

利用方差來(lái)表示各種收益之間的關(guān)系

方差刻畫(huà)了投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，方差越大，說(shuō)明投資組合的實(shí)際收益距離預(yù)期收益的波動(dòng)性越大，投資人面臨的風(fēng)險(xiǎn)也就越大。該模型的優(yōu)點(diǎn)在于，可以利用數(shù)學(xué)模型清晰直觀的看出各種證券風(fēng)險(xiǎn)與收益之間的關(guān)系，同時(shí)也說(shuō)明，不同資產(chǎn)的收益率之間的相關(guān)性越小，組合整體的風(fēng)險(xiǎn)也就越低，這也就是我們常說(shuō)的“不要把雞蛋放在同一個(gè)籃子里”。但這只是一個(gè)大致的關(guān)系，具體的投資還需要具體分析。該模型通過(guò)簡(jiǎn)單直觀地均值—方差表述，科學(xué)的闡釋了現(xiàn)代金融中分散化投資的理念。

(二)資本資產(chǎn)定價(jià)模型(CAPM模型)

數(shù)學(xué)模型在金融市場(chǎng)應(yīng)用的另一大主要成果是資本資產(chǎn)定價(jià)模型，資本資產(chǎn)定價(jià)模型(Capital Asset Pricing Model 簡(jiǎn)稱CAPM)，是由威廉?夏普、約翰?林特納一起創(chuàng)造發(fā)展的，旨在研究證券的市場(chǎng)價(jià)格是如何確定的。該模型將市場(chǎng)上所有產(chǎn)品按照其市值構(gòu)建的投資組合成為市場(chǎng)組合，并以市場(chǎng)組合的風(fēng)險(xiǎn)為基準(zhǔn)，刻畫(huà)了任一資產(chǎn)(或任一投資組合)的價(jià)格與其風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系。

CAPM模型可用如下公式來(lái)表達(dá)：

其中：Eri是資產(chǎn)i的預(yù)期回報(bào)率；rf是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；βim稱為Beta系數(shù)，即資產(chǎn)i的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，由資產(chǎn)組合與市場(chǎng)組合的相關(guān)性決定；Erm是市場(chǎng)的預(yù)期市場(chǎng)回報(bào)率；Erm-rf是市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)(market risk premium)，即預(yù)期市場(chǎng)回報(bào)率與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)率之差。

通過(guò)上式可以看出，任一投資組合的相對(duì)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益的溢價(jià)都與市場(chǎng)組合相對(duì)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益的溢價(jià)成正比，比例系數(shù)即為該資產(chǎn)與資產(chǎn)與市場(chǎng)組合的相關(guān)性。相關(guān)性越大，則其風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)與市場(chǎng)組合的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)越接近。這個(gè)簡(jiǎn)單的線性模型清楚直觀的說(shuō)明了收益和風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系，對(duì)以后的資本資產(chǎn)定價(jià)都有重要意義。它提供了一個(gè)可以衡量風(fēng)險(xiǎn)大小的模型，來(lái)幫助投資者決定判斷風(fēng)險(xiǎn)與收益的相對(duì)大小。此模型也暗合了馬克思主義經(jīng)典政治經(jīng)濟(jì)學(xué)，資產(chǎn)價(jià)格圍繞資產(chǎn)價(jià)值波動(dòng)，并具體細(xì)化為相關(guān)性。

四、小結(jié)

目前，國(guó)際金融領(lǐng)域在不斷地發(fā)展，數(shù)學(xué)上的很多模型以及在金融市場(chǎng)得到了廣泛的應(yīng)用。因此，我們應(yīng)該認(rèn)真學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，把它更多的開(kāi)發(fā)應(yīng)用在金融中，使其在金融領(lǐng)域中具有更佳廣泛的應(yīng)用前景。

[1]鄭玲.論數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用[J].教育經(jīng)濟(jì)研究, 2008.

[2]何宏慶.淺談數(shù)學(xué)模型在金融市場(chǎng)的應(yīng)用[J].科技經(jīng)濟(jì)市場(chǎng), 2009.

(作者單位：北京市第十五中學(xué))