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    無窮大的比較及應(yīng)用

    2016-12-08 03:09:44李海霞聶東明
    關(guān)鍵詞:實(shí)根收斂性級(jí)數(shù)

    李海霞 聶東明

    (安徽新華學(xué)院公共課教學(xué)部安徽合肥230088)

    無窮大的比較及應(yīng)用

    李海霞 聶東明

    (安徽新華學(xué)院公共課教學(xué)部安徽合肥230088)

    利用無窮大的比較,討論了無窮大的比較在比較函數(shù)大小、計(jì)算極限、確定方程的根及判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性上的應(yīng)用。

    無窮大;無窮大的階;函數(shù)大小;極限;正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性

    無窮小的比較是極限理論及極限計(jì)算的重要工具,是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn),所以關(guān)于無窮小的討論非常多[1-4]。仿照無窮小的比較,也可以給出無窮大的比較的概念[5],并且無窮大的比較的應(yīng)用也非常廣泛[6-11]。本文根據(jù)常見函數(shù)增大快慢速度,即無窮大的階,探討無窮大在比較函數(shù)大小、極限計(jì)算、方程的根及判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性等方面的應(yīng)用。

    1.無窮大的比較概念

    定義1.1[5]設(shè)u(x)、v(x)是同一變化過程中的無窮大,且v(x)≠0,在這個(gè)變化過程中,

    定理1.1[5]當(dāng)n→∞,1nαn(α>0),nβ(β>0),an(a>1),n!,nn是一個(gè)比一個(gè)更高階的無窮大。

    將上述自然數(shù)n換成變量x,得到。

    推論1.2當(dāng)n→+∞,1nαx(α>0),xβ(β>0),ax(a>1)是一個(gè)比一個(gè)更高階的無窮大。

    (若α為非整數(shù),可連續(xù)使用s次羅比達(dá)法則,使得α-s<0為止,

    根據(jù)以上定理和推論,介紹無窮大的比較的應(yīng)用。

    2.無窮大的比較在比較函數(shù)大小中的應(yīng)用

    利用推論1.2,很容易得到答案為C。而答案解析過程是利用羅比達(dá)法則求極限,結(jié)合極限的局部保號(hào)性得出答案。如比較f(x)和g(x)的大小,根據(jù):

    由極限局部保號(hào)性,f(x)<g(x);同理可得g(x)<h(x)。

    3.無窮大比較在極限計(jì)算中的應(yīng)用

    無窮大比較在極限計(jì)算中的應(yīng)用,也有論文談及[5-10],但主要是仿照等價(jià)無窮小代換,利用等價(jià)無窮大代換求極限。事實(shí)上,完全可以利用推論1.2來求極限。

    例3.1[12]為正整數(shù),λ>0)。

    解:相繼應(yīng)用羅比達(dá)法則n次,得

    本題若利用eλx是xn的高階無窮大(λ>0,所以eλ>1),很容易得到結(jié)果為0。

    4.無窮大的比較在判斷方程根中的應(yīng)用

    例4.1討論方程1nx=ax(其中a>0)有幾個(gè)實(shí)根?

    判斷方程實(shí)根存在性時(shí),常利用零點(diǎn)定理,而題中a是一個(gè)大于0的參數(shù),若要在區(qū)間(0.+∞)找到一個(gè)點(diǎn)使得函數(shù)f(x)取到正值,很難實(shí)現(xiàn);另一方面,若利用函數(shù)1nx和冪函數(shù)xβ當(dāng)x→+∞時(shí)增大的快慢速度,很容易判斷出結(jié)合極限的局部保號(hào)性,一定存在當(dāng)x>M時(shí),f(x)恒為負(fù)值。那么方程1nx=ax即f(x)=0是否有根既實(shí)根的個(gè)數(shù),就要觀察曲線y=f(x)是否穿過x軸,亦即f(x)的極大值在x軸上方或下方來決定。具體求解過程如上。

    5.無窮大比較在判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性中的應(yīng)用

    此題利用了nβ是比1nn高階的無窮大量。

    [1]陳大橋.等價(jià)無窮小代換在求極限中的常見應(yīng)用及推廣[J].成都師范學(xué)院學(xué)報(bào),2014,30(5):117-119.

    [2]趙玉杰,李李.等價(jià)無窮小代換在求解含和差運(yùn)算因子的極限中的運(yùn)用[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,19(4):204-206.

    [3]李強(qiáng).函數(shù)極限中等價(jià)無窮小的應(yīng)用探討[J].銅仁學(xué)院學(xué)報(bào),2009,11(3):142-144.

    [4]凌壽銓.無窮小在極限及正項(xiàng)級(jí)數(shù)方面的應(yīng)用[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,24(6):12-14.

    [5]陳紀(jì)修,於崇華,金路.數(shù)學(xué)分析[M].高等教育出版社.

    [6]侯麗.無窮小與無窮大的比較在廣義積分及級(jí)數(shù)的收斂中的應(yīng)用探討[J].企業(yè)導(dǎo)報(bào),2012(11):229-50.

    [7]侯麗.無窮大與無窮小的比較在極限運(yùn)算中的應(yīng)用[J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè),2012(15).

    [8]王梅英,陸偉東.無窮小與無窮大的階在極限運(yùn)算及判級(jí)數(shù)斂散性中的應(yīng)用[J].南京審計(jì)學(xué)院學(xué)報(bào),2007,4(2):73-76.

    [9]孫衛(wèi)衛(wèi),孫建英.等價(jià)無窮大在未定式計(jì)算中的應(yīng)用[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),2014,30(3):69-73.

    [10]劉桂仙,劉慶升.求極限的等價(jià)無窮大代換[J].高等數(shù)學(xué)研究,2011,14(1),51-52.

    [11]黃澤民.利用無窮大的比較判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性[J].高等數(shù)學(xué)研究,1995(5):9-10.

    [12]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社.

    Comparison of infinity and its application

    LiHai-xiaNieDong-ming

    (Department of Common Course,Anhui Xinhua UniversityAnhuiHefei230088)

    On the basis of comparison of infinity,its application is discussed in comparison of function size,limit calculation,equation root and positive series convergence.

    Infinity;Order of infinity;Function size;Limit;Positive series convergence.

    O172

    A

    2095-7327(2016)-10-0131-02

    安徽省高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2015A308)、安徽新華學(xué)院項(xiàng)目(2013xgg05,2014zr011,2015jy039)。

    李海霞(1982—),女,漢族,河南南陽人,副教授。

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