無窮大的比較及應(yīng)用

李海霞 聶東明

(安徽新華學(xué)院公共課教學(xué)部安徽合肥230088)

無窮大的比較及應(yīng)用

李海霞 聶東明

(安徽新華學(xué)院公共課教學(xué)部安徽合肥230088)

利用無窮大的比較，討論了無窮大的比較在比較函數(shù)大小、計(jì)算極限、確定方程的根及判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性上的應(yīng)用。

無窮大；無窮大的階；函數(shù)大小；極限；正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性

無窮小的比較是極限理論及極限計(jì)算的重要工具，是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，所以關(guān)于無窮小的討論非常多[1-4]。仿照無窮小的比較，也可以給出無窮大的比較的概念[5]，并且無窮大的比較的應(yīng)用也非常廣泛[6-11]。本文根據(jù)常見函數(shù)增大快慢速度，即無窮大的階，探討無窮大在比較函數(shù)大小、極限計(jì)算、方程的根及判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性等方面的應(yīng)用。

1.無窮大的比較概念

定義1.1[5]設(shè)u(x)、v(x)是同一變化過程中的無窮大，且v(x)≠0，在這個(gè)變化過程中，

定理1.1[5]當(dāng)n→∞,1nαn(α＞0),nβ(β＞0),an(a＞1),n!,nn是一個(gè)比一個(gè)更高階的無窮大。

將上述自然數(shù)n換成變量x，得到。

推論1.2當(dāng)n→+∞,1nαx(α＞0),xβ(β＞0),ax(a＞1)是一個(gè)比一個(gè)更高階的無窮大。

（若α為非整數(shù)，可連續(xù)使用s次羅比達(dá)法則，使得α-s＜0為止，

根據(jù)以上定理和推論，介紹無窮大的比較的應(yīng)用。

2.無窮大的比較在比較函數(shù)大小中的應(yīng)用

利用推論1.2，很容易得到答案為C。而答案解析過程是利用羅比達(dá)法則求極限，結(jié)合極限的局部保號(hào)性得出答案。如比較f(x)和g(x)的大小，根據(jù)：

由極限局部保號(hào)性，f(x)＜g(x)；同理可得g(x)＜h(x)。

3.無窮大比較在極限計(jì)算中的應(yīng)用

無窮大比較在極限計(jì)算中的應(yīng)用，也有論文談及[5-10]，但主要是仿照等價(jià)無窮小代換，利用等價(jià)無窮大代換求極限。事實(shí)上，完全可以利用推論1.2來求極限。

例3.1[12]為正整數(shù)，λ＞0）。

解：相繼應(yīng)用羅比達(dá)法則n次，得

本題若利用eλx是xn的高階無窮大（λ＞0，所以eλ＞1），很容易得到結(jié)果為0。

4.無窮大的比較在判斷方程根中的應(yīng)用

例4.1討論方程1nx=ax（其中a＞0）有幾個(gè)實(shí)根？

判斷方程實(shí)根存在性時(shí)，常利用零點(diǎn)定理，而題中a是一個(gè)大于0的參數(shù)，若要在區(qū)間（0.+∞）找到一個(gè)點(diǎn)使得函數(shù)f(x)取到正值，很難實(shí)現(xiàn)；另一方面，若利用函數(shù)1nx和冪函數(shù)xβ當(dāng)x→+∞時(shí)增大的快慢速度，很容易判斷出結(jié)合極限的局部保號(hào)性，一定存在當(dāng)x＞M時(shí)，f(x)恒為負(fù)值。那么方程1nx=ax即f(x)=0是否有根既實(shí)根的個(gè)數(shù)，就要觀察曲線y=f(x)是否穿過x軸，亦即f(x)的極大值在x軸上方或下方來決定。具體求解過程如上。

5.無窮大比較在判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性中的應(yīng)用

此題利用了nβ是比1nn高階的無窮大量。

［1］陳大橋.等價(jià)無窮小代換在求極限中的常見應(yīng)用及推廣[J].成都師范學(xué)院學(xué)報(bào),2014,30(5):117-119.

［2］趙玉杰,李李.等價(jià)無窮小代換在求解含和差運(yùn)算因子的極限中的運(yùn)用[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,19(4):204-206.

［3］李強(qiáng).函數(shù)極限中等價(jià)無窮小的應(yīng)用探討[J].銅仁學(xué)院學(xué)報(bào),2009,11(3):142-144.

［4］凌壽銓.無窮小在極限及正項(xiàng)級(jí)數(shù)方面的應(yīng)用[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,24(6):12-14.

［5］陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析[M].高等教育出版社.

［6］侯麗.無窮小與無窮大的比較在廣義積分及級(jí)數(shù)的收斂中的應(yīng)用探討[J].企業(yè)導(dǎo)報(bào),2012（11）:229-50.

［7］侯麗.無窮大與無窮小的比較在極限運(yùn)算中的應(yīng)用[J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2012（15）.

［8］王梅英,陸偉東.無窮小與無窮大的階在極限運(yùn)算及判級(jí)數(shù)斂散性中的應(yīng)用[J].南京審計(jì)學(xué)院學(xué)報(bào)，2007,4（2）:73-76.

［9］孫衛(wèi)衛(wèi),孫建英.等價(jià)無窮大在未定式計(jì)算中的應(yīng)用[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),2014,30(3):69-73.

［10］劉桂仙，劉慶升.求極限的等價(jià)無窮大代換[J].高等數(shù)學(xué)研究，2011,14（1），51-52.

［11］黃澤民.利用無窮大的比較判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性[J].高等數(shù)學(xué)研究，1995（5）:9-10.

［12］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社.

Comparison of infinity and its application

LiHai-xiaNieDong-ming

(Department of Common Course,Anhui Xinhua UniversityAnhuiHefei230088)

On the basis of comparison of infinity,its application is discussed in comparison of function size,limit calculation,equation root and positive series convergence.

Infinity；Order of infinity；Function size；Limit；Positive series convergence.

O172

A

2095-7327（2016）-10-0131-02

安徽省高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（KJ2015A308）、安徽新華學(xué)院項(xiàng)目（2013xgg05,2014zr011,2015jy039）。

李海霞（1982—），女，漢族，河南南陽人，副教授。