基于DSM-CSI的非線性逆散射算法研究

莫仲念，周輝林，段榮行，王玉皞

(南昌大學信息工程學院電子信息工程系，江西南昌 330031)

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基于DSM-CSI的非線性逆散射算法研究

莫仲念，周輝林，段榮行，王玉皞

(南昌大學信息工程學院電子信息工程系，江西南昌 330031)

由于反演問題中散射體所處區(qū)域和散射體個數(shù)信息的缺失，進而導致非線性逆散射方法的待重構(gòu)空間維數(shù)高和運算代價高.基于線性逆散射方法在重構(gòu)目標區(qū)域和目標個數(shù)信息的計算代價低，本文提出一種DSM(Direct Sampling Method)線性方法和CSI(Contrast Source Inversion)非線性方法相結(jié)合的非線性逆散射方法.該方法利用DSM方法的重構(gòu)結(jié)果為CSI方法提供散射體所處區(qū)域和散射體個數(shù)的先驗信息，進而降低待重構(gòu)空間的維數(shù)以及非線性逆散射問題的計算量.實驗計算結(jié)果證明了該方法的有效性.

逆散射；直接抽樣方法；對比源反演

1 引言

電磁場逆散射方法是利用測量散射場數(shù)據(jù)和電磁場前向模型，重構(gòu)目標的幾何形狀或電性能參數(shù)，近年來已經(jīng)廣泛應用于目標識別、生物醫(yī)學成像、遙感、地球物理成像、無損測試和評價等領(lǐng)域[1～3].大多數(shù)電磁場逆散射算法在某種形式上都依賴于散射體內(nèi)外場的Lippmann-Schwinger方程或者域積分方程[4].由于這兩個方程所具有的非線性和病態(tài)性，使其求解和計算過程極具挑戰(zhàn).

針對非線性問題導致計算復雜度高的問題，近年來提出一種基于玻恩近似[5,6]的線性化方法，該方法假設(shè)散射體為弱散射體，其隱含兩個條件：(1)目標與背景介質(zhì)的對比度??；(2)目標尺寸小于波長.在該假定條件下，目標區(qū)域的總場近似等于入射場.在此基礎(chǔ)上運用TSVD和Tikhonov等正則化方法求解該線性病態(tài)方程.但線性電磁場逆散射成像方法只能定性實現(xiàn)散射體目標的檢測定位和粗略地估計其幾何形狀，不能定量重構(gòu)散射體的電性能參數(shù).而在某些應用場景中除了需重構(gòu)目標幾何形狀外，還需重構(gòu)目標的電性能參數(shù)[7].

實際應用中絕大多數(shù)散射體屬于強散射體，使得線性算法的假設(shè)不成立.隨著計算機性能和存儲性能的不斷提升，近年來非線性逆散射算法成為研究的熱點.其求解思路將逆散射問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，通過構(gòu)建目標函數(shù)和迭代優(yōu)化方法實現(xiàn)目標的幾何形狀和電性能參數(shù)非線性重構(gòu).非線性算法則有對比源反演(Contrast Source Inversion,CSI)[8]、子空間優(yōu)化方法(Subspace Optimization Method,SOM)[9]、玻恩迭代法(Born Iterative Method,BIM)[10]及其變形(Distorted Born Iterative Method,DBIM)[11]等.非線性逆散射算法需已知目標所處區(qū)域和目標個數(shù)的先驗信息，但該先驗信息通常是未知的，且重構(gòu)結(jié)果極大地受初始值的影響[7].有鑒于此，本文提出一種DSM[12]線性算法和CSI非線性算法相結(jié)合的混合成像方法.該方法利用DSM的快速運算優(yōu)勢，實現(xiàn)快速目標定性成像，重構(gòu)結(jié)果為CSI方法提供目標個數(shù)及所處區(qū)域的先驗信息，并將其作為CSI方法的初始假設(shè)，從而克服傳統(tǒng)CSI方法對先驗信息的要求，及降低待重構(gòu)空間的維數(shù)，最終降低非線性逆散射問題的復雜度和提升優(yōu)化迭代速度.

2 電磁場非線性方程

考慮一個二維成像幾何模型如圖1所示，假定背景介質(zhì)均勻無界，其中存在一個有界的非均勻目標區(qū)域D，區(qū)域D中包含一個或多個散射目標，散射目標的位置和對比度函數(shù)χ(r)未知.在TM極化條件下，同一頻率發(fā)射天線和接收天線分別按圓形軌跡T和R等間隔分布，其位置矢量分別為rj(j=1,2,…,Nj)和rq(q=1,2,…,NS).在目標區(qū)域D內(nèi)的總場滿足積分方程

r∈D

(1)

(2)

其中ε(r′)和σ(r′)分別為散射目標的介電常數(shù)和導電率.

在接收天線處接收到的散射場滿足積分方程

(3)

將目標區(qū)域D劃分為M個面積相等的方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中心的位置矢量為rm(m=1,2,…,M)，每個網(wǎng)格面積用ΔS表示.則積分方程(1)和(3)可用離散形式表示

m=1,2,…,M

(4)

rq=1,2,…，NS

(5)

將方程(4)用矩陣形式表示

同理將方程(5)寫成矩陣形式

(7)

3 基于DSM-CSI的混合成像方法

基于線性算法的快速成像結(jié)果能夠滿足非線性算法對目標區(qū)域和目標個數(shù)先驗信息的要求，本章將提出一種線性和非線性算法相結(jié)合的混合非線性成像算法.此算法能夠降低非線性算法求解逆散射問題中未知網(wǎng)格信息個數(shù)，減少計算復雜度和降低計算代價.

3.1 DSM方法

本文采用一種DSM線性算法直接估計散射體目標形狀和位置，相比MUSIC(Multiple Signal Classification)[13,14]和LSM(Linear Sampling Method)[15]線性電磁場逆散射成像算法，該算法并不涉及任何的矩陣運算，所以DSM算法運算代價低.在DSM算法中，在第m個目標網(wǎng)格處定義一個定性評價函數(shù)

(8)

式中，||·||表示取L2范數(shù)，〈·〉表示取內(nèi)積，假如Φj(m)≈1，則此網(wǎng)格在散射體內(nèi)；相反若Φj(m)≈0，此網(wǎng)格在散射體外.

3.2 CSI反演方法

(9)

同理方程(7)寫為

(10)

目標函數(shù)的構(gòu)建是逆散射算法的重要組成部分，定義目標函數(shù)為

(11)

上式右端第一項為歸一化的場數(shù)據(jù)方程誤差，第二項為歸一化的場狀態(tài)方程誤差.該目標函數(shù)是關(guān)于ωj的二次函數(shù)，但關(guān)于χ的非線性函數(shù).實際應用表明，CSI算法是最有效的非線性逆散射算法之一.

3.3 DSM-CSI方法

本文結(jié)合以上兩種方法提出一種DSM-CSI方法，該方法利用DSM的重構(gòu)結(jié)果為CSI方法提供散射目標個數(shù)及其所處區(qū)域信息，進而減少待重構(gòu)空間χ維數(shù)，從而降低整個非線性算法的計算量.具體結(jié)合DSM-CSI算法流程如算法1所示.

算法1 DSM-CSI算法流程

1.利用DSM方法為CSI方法提供散射體先驗信息

10.當式(11)小于某個設(shè)定值時則終止迭代輸出χn，否則n=n+1，返回4.

4 實驗結(jié)果分析

在本實驗中散射體對比度實部即相對介電常數(shù)大致范圍已知，可由相對介電常數(shù)誤差來衡量反演重構(gòu)算法誤差.定義相對介電常數(shù)誤差

(12)

式中χmax為反演重構(gòu)對比度中最大值，χr為散射體真實介電常數(shù)最大值.當相對介電常數(shù)誤差小于終止條件時，反演迭代終止.

在本節(jié)中，分別運用DSM、CSI和DSM-CSI方法對散射體逆散射反演成像，并對重構(gòu)結(jié)果進行對比分析.本實驗中散射體的導電率未知，為驗證算法的成像效果，本文中CSI和DSM-CSI算法的成像結(jié)果只給出相對介電常數(shù)分布圖并與散射體目標的真實相對介電常數(shù)對比.

利用來自菲涅爾實驗室的數(shù)據(jù)(twodiel-TM 8f.exp)[16]重構(gòu)散射體.圖2(a)為實驗中散射體橫截面，圖中描述了散射體的實際個數(shù)、位置和形狀大小，兩個圓柱形散射體分別位于原點的兩側(cè)，半徑為15mm，圓心到原點距離為45mm，背景介質(zhì)為自由空間，散射體的相對介電常數(shù)在3±0.3之間.36根發(fā)射天線均勻分布于圓心在實驗裝置中心的圓上，半徑為0.72m,49根接收天線分布于半徑為0.76m的圓上，在反演中選取頻率f=4GHz的數(shù)據(jù)重構(gòu)散射體參數(shù).

選取0.15m×0.15m的目標區(qū)域，將其劃分為120×120個網(wǎng)格，每個網(wǎng)格的大小等于1.25mm×1.25mm，DSM方法重構(gòu)結(jié)果如圖2(b)所示，從圖中可以確定散射目標所處區(qū)域和目標個數(shù)并跟實際場景相符，但DSM方法并不能重構(gòu)散射體的對比度.利用CSI算法，將目標區(qū)域剖分為40×40個網(wǎng)格，成像結(jié)果如圖2(c)所示，所重構(gòu)相對介電常數(shù)值跟實際介電常數(shù)值非常相近.運用DSM-CSI方法，根據(jù)圖2(b)的成像結(jié)果，可將目標區(qū)域縮小為兩個0.06m×0.06m的目標區(qū)域，為保持與CSI方法網(wǎng)格尺寸相同，將每個目標區(qū)域剖分為16×16個網(wǎng)格，反演結(jié)果如圖2(d)所示，散射體相對介電常數(shù)反演值也非常接近實際值.對比圖2(c)和圖2(d)，CSI算法和DSM-CSI算法的反演質(zhì)量相差不大.DSM-CSI方法和CSI方法的相對介電常數(shù)誤差與迭代次數(shù)如圖3所示，根據(jù)終止條件式(12)，可知DSM-CSI迭代次數(shù)比CSI迭代次數(shù)少得多.通過對比分析，運用CSI方法需要重構(gòu)出40×40個網(wǎng)格信息，而DSM-CSI方法僅僅需要重構(gòu)16×32個網(wǎng)格信息，有效的減少了逆散射問題的未知量個數(shù).DSM-CSI的核心算法是CSI算法，由于DSM-CSI方法減少了待重構(gòu)空間的維數(shù)，所以DSM-CSI方法的每次迭代時間比CSI方法少得多，因此DSM-CSI方法總的運算時間大大少于CSI方法.

采用來自菲涅爾實驗數(shù)據(jù)(FoamTwinDielTM)[17]，運用三種不同的反演方法逆散射成像得出的結(jié)果如圖4所示.實驗中散射體的橫截面如圖4(a)所示，一個半徑為15.5mm的圓柱體包含于一個半徑為40mm的圓柱體內(nèi)，而一個半徑同樣為15.5mm的圓柱體與大圓柱體相切.大圓柱體和小圓柱體的相對介電常數(shù)分別為1.45±0.15和3±0.3.在實驗中，18根發(fā)射天線均勻分布于圓心在實驗裝置中心的圓上，半徑為1.67m，241根接收天線分布于半徑為1.67m的圓上用于接收散射場數(shù)據(jù)，利用頻率f=5GHz的實驗室數(shù)據(jù)重構(gòu)反射體目標形狀、位置或?qū)Ρ榷确植?

假定已知散射體位于0.3m×0.3m的目標區(qū)域內(nèi)，實際位置以及形狀未知.運用DSM算法，成像結(jié)果如圖4(b)所示，可以看出DSM方法雖不能成功重構(gòu)散射體的形狀，但能精確重構(gòu)散射體所處區(qū)域.將0.3m×0.3m的目標區(qū)域劃分為50×50個網(wǎng)格，每個網(wǎng)格為6mm×6mm，利用CSI方法成像如圖4(c)所示，可以看出三個散射體的位置及形狀大小，且成功反演三個散射體目標的相對介電常數(shù).根據(jù)圖4(b)，DSM重構(gòu)結(jié)果為CSI方法重新選取目標區(qū)域大小為0.12m×0.12m，將目標區(qū)域剖分為20×20個網(wǎng)格，網(wǎng)格尺寸與圖4(c)相同，DSM-CSI反演成像如圖4(d)所示，DSM-CSI成像效果跟CSI方法一致.DSM-CSI方法和CSI方法的相對介電常數(shù)誤差與迭代次數(shù)如圖5所示，從圖中可知DSM-CSI方法的相對介電常數(shù)誤差隨著迭代次數(shù)增加而減少速度比CSI方法略快，在式(12)的終止條件下，兩種算法的迭代次數(shù)相差不大.相比CSI算法，DSM-CSI算法極大減少了逆散射問題中的未知量個數(shù)，這極大降低了重構(gòu)問題的運算代價，從而降低運算時間.在逆散射反演問題中運算時間是衡量一個算法優(yōu)越性的重要指標，相比單一的CSI方法，DSM-CSI算法具有極大的速度優(yōu)勢.

5 結(jié)論

本文所提出DSM-CSI方法利用DSM為CSI方法提供先驗信息，在此基礎(chǔ)上重新選取目標區(qū)域D，然后運用CSI算法反演出散射體的相關(guān)參數(shù).數(shù)值實驗結(jié)果證明，DSM-CSI方法和CSI方法的反演質(zhì)量一致，但DSM-CSI方法的計算代價大大低于CSI方法.

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莫仲念 男，1989年生，廣西人，現(xiàn)為南昌大學在讀碩士研究生，主要從事超寬帶穿墻雷達成像，逆散射成像方法研究.

周輝林 男，1979年生，江西人，現(xiàn)為南昌大學教授、理學博士，從事超寬帶雷達成像、雷達信號處理和目標識別等領(lǐng)域的研究.

E-mail:zhouhuilin@ncu.edu.cn

段榮行 男，1977年生，江西人，現(xiàn)為南昌大學副教授，主要研究方向為復雜系統(tǒng)可靠性分析、故障診斷及信息融合，主持和參與多項國家自然科學基金和省部級項目.

DSM-CSI Based Nonlinear Inverse Scattering Method forComplex Objects Reconstruction

MO Zhong-nian,ZHOU Hui-lin,DUAN Rong-xing,WANG Yu-hao

(DepartmentofElectronic&InformationEngineering,NanchangUniversity,Nanchang,Jiangxi330031,China)

Due to the absence of information concerning the location and number of scattering objects in inverse scattering problem,it results in nonlinear inverse scattering method calling for high refactoring space dimension and high computational cost.Based on the low computational burden with the linear inverse scattering methods in reconstructing the location and number of the targets,we propose a nonlinear inverse scattering method in this paper,which combined with DSM linear and CSI nonlinear inverse scattering methods.The reconstruction results of DSM are used as the prior information to provide the location and the number of the targets for the CSI method,which reduce the dimension of refactoring space and the amount of computation.Experimental results show the effectiveness of the proposed method.

inverse scattering problem;direct sampling method (DSM);contrast source inversion method (CSI)

2015-02-06；

2015-05-18；責任編輯：孫瑤

國家自然科學基金(No.61062009，No.71461021，No.61261010)；江西省自然科學基金(No.2015BAB207001)；江西省科技支撐計劃(No.20151BBE50090)

O451

A

0372-2112 (2016)10-2501-06

??學報URL:http://www.ejournal.org.cn

10.3969/j.issn.0372-2112.2016.10.031