幾何證明中的數(shù)學(xué)美

李昌軍

（辰溪實(shí)驗(yàn)中學(xué) 湖南懷化 419500）

幾何證明中的數(shù)學(xué)美

李昌軍

（辰溪實(shí)驗(yàn)中學(xué) 湖南懷化 419500）

先論述什么是數(shù)學(xué)美，再論述觀察中發(fā)現(xiàn)基本圖形，感知和諧美;思考中挖掘?qū)ΨQ(chēng)圖形，觀察對(duì)稱(chēng)美;溝通已知與求證的關(guān)系，欣賞思維美;運(yùn)用發(fā)散，收斂思維，探索方法美;類(lèi)比中進(jìn)行全方位思考，理解奇異美;運(yùn)用發(fā)散、收斂思維，探索方法美;比較中獲取多種的信息，鑒別簡(jiǎn)潔美;使用數(shù)學(xué)思想，想象策略美。

基本圖形 思維美 方法美 簡(jiǎn)潔美

幾何證明中既要添輔助線，起到顯示隱含條件，聚匯分散的已知條件，溝通信息。又要在觀察中用幾何變換（平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)、相似、全等、等積變換和角的滑動(dòng)）添輔助線。還要用各種思維策略與方法。這就體現(xiàn)了和諧美、對(duì)稱(chēng)美、思維美、奇異美、方法美、簡(jiǎn)潔美、策略美……

一、什么是數(shù)學(xué)美

“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”;概念是思維的細(xì)胞;方法是思維的基礎(chǔ);策略是思維的靈魂.只有通過(guò)問(wèn)題的解才能訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，又只有在充滿(mǎn)興趣的情境下才能訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，更只有在數(shù)學(xué)美的氛圍中才能對(duì)數(shù)學(xué)解題中充滿(mǎn)興趣.什么是數(shù)學(xué)美呢?它就是數(shù)學(xué)的優(yōu)美感.龐加菜說(shuō):“數(shù)學(xué)的優(yōu)美感，不過(guò)就是問(wèn)題的解答適合我們心靈需要而產(chǎn)生的一種滿(mǎn)足感，正因?yàn)檫@種適應(yīng)性，這個(gè)解答可能成為我們的一種工具，所以這種一美學(xué)上的滿(mǎn)足感是和思維、結(jié)構(gòu)緊密相關(guān)的.”

二、觀察中發(fā)現(xiàn)基本圖形，感知和諧美

復(fù)雜圖形是由幾個(gè)基本圖形組合而成，每一個(gè)公理、定理都有一個(gè)基本圖形。幾何證明題都要用公理、定理當(dāng)論椐，下面的例1是由兩個(gè)基本圖反映的定理是“直角三角形鈄邊上的中線等于鈄邊一半”，還有等腰三角形的三線合一定理。

所謂和諧美既是解題中條件與結(jié)論的和諧;又是數(shù)與形的和諧;更是解題方法與思維策略的和諧;還是數(shù)學(xué)思想與思維途徑的和諧.

例1：CD與BE分別是三角形ABC中，AB、AC邊上的高線，D、E分別是AB、AC邊上的垂足，H、G分別是DE與BC的中點(diǎn)，求證:DE⊥HG.

圖1分析:要想求證DE⊥HG.必須有GH是DE的垂直平分線，此時(shí)又必須用等腰三角形的三線合一定理證GD=GE，這兩條輔助線既成了顯示兩直角三角形鈄邊上的中線性質(zhì);又成了聚匯作用、溝通作用、橋梁作用.總之連結(jié)DG與EG當(dāng)輔助線，在證明中起決定、關(guān)鍵的鋪墊作用.即這兩條輔助線一添，使得已知與求證互相既溝通又和諧相處，使作題者感到愉悅的心理感受——數(shù)學(xué)美——和諧美.

三、思考中挖掘?qū)ΨQ(chēng)圖形，觀察對(duì)稱(chēng)美

對(duì)稱(chēng)不外乎局部與局部的對(duì)稱(chēng)，幾何圖形與數(shù)量關(guān)系都存在這種對(duì)稱(chēng)性，體現(xiàn)形結(jié)構(gòu)與數(shù)（式）結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)是對(duì)稱(chēng)美，數(shù)學(xué)題已知與結(jié)論的對(duì)稱(chēng)性使解題者感到愉悅，也是“一題多解（證）”的依據(jù).解題過(guò)程還可以看出對(duì)稱(chēng)美.

例2設(shè)兩圓外離，則它的外公切線被兩條內(nèi)公切線截得的線段等于內(nèi)公切線長(zhǎng)，而一條內(nèi)公切線在兩外公切線間的線段等于外公切線長(zhǎng)。

已知：◎O與◎O’相離，AB和CD是它們的外公切線，EF和GH是它們的內(nèi)公切線.

求證：MQ=EF，MN=AB.

圖2

要作上圖，用幾何畫(huà)板是既明智又準(zhǔn)確地選擇.若不用幾何畫(huà)板作圖，則圖形既不準(zhǔn)確，又不能迅速，明確地進(jìn)行推理證明.

證明:由對(duì)稱(chēng)性可得AM=ME=CP=GP=a，BQ=HQ=FN=DN=b，EF=GH=x，MQ=PN=y，

由QG=QA推出b+x=y+a又由PH=PD推出a+x=y+b由此得x=y，且a=b故

MQ=EF且MN=AB即例2成立.其證明都是由對(duì)稱(chēng)性所決定的.

四、溝通已知與求證的關(guān)系，欣賞思維美

所謂數(shù)學(xué)思維美就是數(shù)學(xué)題的最佳解法符合數(shù)學(xué)思維策略而使解題者感到愉悅的產(chǎn)物.思維美是與結(jié)構(gòu)美相關(guān)聯(lián)的，什么是結(jié)構(gòu)美呢?布爾巴基學(xué)派認(rèn)為:“數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)”.數(shù)學(xué)家龐加萊說(shuō):“數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美是指一種內(nèi)在的美，它來(lái)自各部分之間的和諧秩序，并能為純粹的理智所領(lǐng)會(huì)，可以說(shuō)，正是這種內(nèi)在美給了滿(mǎn)足我們感官的五彩繽紛美景的骨架，使我們面對(duì)一個(gè)秩序井然的整體，能夠預(yù)見(jiàn)數(shù)學(xué)定理.”可以簡(jiǎn)潔的說(shuō):“思維美是結(jié)構(gòu)美在認(rèn)知者頭腦中感到愉悅的心理加工過(guò)程.”

例3在銳角三角形ABC中，高BE，CF交于H.

圖3

解析:為證此題，可作輔助圓和作笫三條高AD，用“兩直角三角形有公共的鈄邊，則各頂點(diǎn)共圓”;可知A，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)共圓，A，E，D，B也四點(diǎn)共圓，

則有證:

同理可得第二個(gè)結(jié)論.

例3與例4表面上風(fēng)馬牛不相及，但在局部與整體的觀察策略上、方法上、四點(diǎn)共圓上、用圓的割線定理上、提出公因式線段的方法上、化難為易的轉(zhuǎn)化策略上、輔助線與輔助圓的溝通策略上，都完全可以類(lèi)比.

AB×EF=AD×BE=BC×AE（高中新課標(biāo)選修4-1P19習(xí)題1.2笫7題改編）

圖4

只要提示①過(guò)E作EF⊥AB垂足在AB上;②“四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，則四點(diǎn)共圓”；③可推出A，F(xiàn)，E，D及B，C，E，F(xiàn)都四點(diǎn)共圓，讀者用類(lèi)比聯(lián)想的思維策略，成績(jī)中、下的學(xué)生也可激活此題.

證明：過(guò)交點(diǎn)E作EF⊥AB于F，由四邊形的對(duì)角互補(bǔ)可得A，F(xiàn)，E，D與B，F(xiàn)，E，C都四點(diǎn)共圓，盡管這兩個(gè)圓沒(méi)有畫(huà)出來(lái)，也可以想象出這兩個(gè)圓客觀存在，而得出笫三步的兩個(gè)等式：

兩個(gè)幾何證明題數(shù)學(xué)思想方法相比較、思維策略相比較、四點(diǎn)共圓相比較、圓的割線定理相比較，提出公因式線段的方法上、難道讀者不感到一種心理的愉悅嗎？！

五、類(lèi)比中進(jìn)行全方位思考，理解奇異美

所謂奇異美是數(shù)學(xué)美的基本形式之一，又是所得結(jié)論的新穎、獨(dú)特、奇特、出人意料，徐利治教授說(shuō):“奇異是一種美，奇異到極度更是一種美.”對(duì)于內(nèi)行來(lái)說(shuō)，奇異是使人感到“既在情理之中，又在意料之外”的感覺(jué)，前者和諧;后者奇特

“類(lèi)比就是相似比較.”聯(lián)想是一種既有目的又有方向的想象，是由當(dāng)前感知或思考的問(wèn)題想起其它事物的心理活動(dòng).所謂類(lèi)比聯(lián)想是以類(lèi)比為方法、以聯(lián)想為導(dǎo)向的探求規(guī)律和探索解題思路的策略

例5分Θo的半徑OA于B，使大線段OB是全線段OA和小線段AB的比例中項(xiàng)，以O(shè)B為半徑作同心圓，求證：環(huán)的面積是原圓面積和同心圓面積的比例中項(xiàng)。

證明：因?yàn)?/p>

圖5

所以，原圓∶環(huán)=環(huán)∶同心小圓，即.環(huán)的面積是原圓面積和同心圓面積的比例中項(xiàng).

這難道不是所得結(jié)論的新穎、獨(dú)特、奇特、出人意料嗎？！下面的例6更具有奇異美，讀者不妨自己作一下，親自感受一下數(shù)學(xué)的奇異美.

例6七個(gè)等圓相切，被包于一環(huán)中，若環(huán)寬等于圓半徑，求證七等圓面積之和等于環(huán)的面積。（讀者自己完成證明）

六運(yùn)用發(fā)散、收斂思維，探索方法美

所謂方法美是指解答（或證明）復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，體現(xiàn)出來(lái)的美妙之處使心靈感到一種愉快的驚奇.聯(lián)想是一種既有目的又有方向的想象，是由當(dāng)前感知或思考的事物想起的相關(guān)連的事物，再進(jìn)一步想起其它事物的心理活動(dòng).聯(lián)想是以觀察為基礎(chǔ)，以想象為翅膀，以記億為保證，以思維為核心的思維方法.在數(shù)學(xué)教學(xué)中的聯(lián)想可分為類(lèi)比聯(lián)想、可逆聯(lián)想、對(duì)比聯(lián)想、化歸聯(lián)想、數(shù)形聯(lián)想、因果聯(lián)想、特殊化和普遍化聯(lián)想等七種.[1]

例7P是矩形ABCD中對(duì)角線BD上一點(diǎn)，AP⊥BD，PX⊥BC，PY⊥DC，求證:

圖6

結(jié)論有奇異性，由于解題者的苦苦追求，很多理解性困難被各個(gè)擊破，如ABsinα=PB，BDsinα=D C，平方與立方的等式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)的等式，……這些都體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)思維由不理解到理解”的奮斗就是美，孟子說(shuō)的“充實(shí)之為美”.例1結(jié)論之“難”與用三角函數(shù)定義證明之“易”，在“意料之外”與“在情理之中”兩相比較，是和諧與奇異的和諧美.

積極思維是數(shù)學(xué)美的本源，數(shù)與形如此巧妙的協(xié)調(diào):形激活數(shù)，奇異的結(jié)論在情理之中;數(shù)激活形，明顯的圖形，顯然的已知用三種方法證明出奇異的結(jié)論對(duì)讀者來(lái)說(shuō)一定是在意料之外.“數(shù)學(xué)的優(yōu)美感，不過(guò)就是問(wèn)題的解答適合我們心靈需要而產(chǎn)生的滿(mǎn)足感.”

七比較中獲取多種的信息，鑒別簡(jiǎn)潔美

所謂簡(jiǎn)潔美是指一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)單解法.它是優(yōu)化解題思路的內(nèi)驅(qū)動(dòng)力因素之一.正如高斯評(píng)價(jià)自己的工作說(shuō):“去尋求一種最美和最簡(jiǎn)潔的證明，乃是吸引我去研究的主要?jiǎng)恿?”

也正如法國(guó)哲學(xué)家狄德羅說(shuō):“數(shù)學(xué)中所謂美的問(wèn)題，是指一個(gè)難以解決的問(wèn)題，而所謂美的解答則是困難問(wèn)題和復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)單回答.”

例8在梯形ABCD中，AD∥BC，二對(duì)角線相交于O點(diǎn)，若

圖7

OB∶OD，須證CO∶OA=OB∶OD，這就是相似三角形的相似比，成立。

這種證明既直觀，又簡(jiǎn)潔.還可以采取先猜后證的數(shù)學(xué)思想.這肯定是“去尋求一種最美和最簡(jiǎn)潔的證明，乃是吸引我去研究的主要?jiǎng)恿?”

八使用數(shù)學(xué)思想，想象策略美

所謂“解題策略是高層次的解題方法，是對(duì)解題途徑的概括性的認(rèn)識(shí).[2]”

例9三角形ABC中AD是角A的平分線，已知AB=AC+CD，求證:

分析:有角平分線時(shí)，總是將三角形ADC關(guān)于角平分線AD作對(duì)稱(chēng)變換得三角形ADE，

圖8

證明：在AB上取AE=AC，則E點(diǎn)和C點(diǎn)關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)。連結(jié)DE，由對(duì)稱(chēng)性得CD=ED

∠AED=∠C，但AB=AC+CD即AE+EB=AE+ED推 出EB=ED由此得出 ∠EDB=∠B?∠C=∠AED=∠B+∠EDB=2∠B。

例10：這種對(duì)證題途徑的概括性認(rèn)識(shí)既有予見(jiàn)；又恰好可能，難道不是解題策略使作題者產(chǎn)生愉悅的心理感受嗎？！當(dāng)然是策略美。

如圖1，在 ?ABC中，∠C=90°,以AB、BC、CA為邊分別在形外作正方形ABDE、BKHC、CFGA，（1）求證：G E2+K D2=5A B2。（2）求證：S?BDK=S?AEG=S?ABC。

如何用幾何畫(huà)版作旋轉(zhuǎn)呢?首先點(diǎn)擊自定義工具中的一級(jí)菜單中的三角形到二級(jí)菜單中的直角三角形，得Rt⊿ABC，其次點(diǎn)擊自定義工具中的一級(jí)菜單中的四邊形到二級(jí)菜單中的正方形，按由C到B、由A到C、由A到B的順序作三個(gè)正方形，連結(jié)KD、EG。作旋轉(zhuǎn)時(shí)要特別注意，將Rt⊿ABC塗上陰影，再用左鍵雙擊A點(diǎn)（選中旋轉(zhuǎn)中心），再用鼠標(biāo)點(diǎn)擊“變換欄目”，再點(diǎn)擊旋轉(zhuǎn)變換，出現(xiàn)你要求的旋轉(zhuǎn)角-90°，后點(diǎn)擊旋轉(zhuǎn)得Rt⊿AME，同樣可得Rt⊿BND，注意旋轉(zhuǎn)角是+90°，為什么?

∠CBA=π?∠KBD?sin∠CBA=sin ∠KBD?S?ABC=S?BDK同理可得：S?AEG=S?ABC。所以S?BDK=S?AEG=S?ABC。

圖1

對(duì)于（1）可用旋轉(zhuǎn)變換，將三角形ABC分別繞A，B兩點(diǎn)按順，逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至⊿AEM，⊿DBN的位置，其旋轉(zhuǎn)角度分別是的大小，GM=2b，BN=EM=a，NK=2a依勾股定理有

綜上所述，首先，各種數(shù)學(xué)美是相互聯(lián)系的；其次，挖掘新穎、獨(dú)特的策略美、奇妙曲線的思維美、出奇制勝的奇異美、類(lèi)比聯(lián)想的方法美、廣泛聯(lián)系的和諧美、結(jié)構(gòu)形式的對(duì)稱(chēng)美、復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)潔美、鋪墊，激活的教學(xué)美與積極創(chuàng)新的探索美，學(xué)生一定會(huì)興趣十足、充滿(mǎn)激情地與數(shù)學(xué)教師共同探討數(shù)學(xué)規(guī)律和解題的思維途徑，遇到是最難的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，學(xué)生也會(huì)不感到有壓力.

[1]傅世球著數(shù)學(xué)教學(xué)藝術(shù)導(dǎo)論（M）西安陜西人民教育出版社2000年5月p156

[2]戴再平著數(shù)學(xué)習(xí)題理論（M）上海上海教育出版社1997年版