比較二次函數(shù)值的大小

薛秋萍

比較二次函數(shù)值的大小

薛秋萍

二次函數(shù)值的比較大小類試題一直是中考熱點問題.這類問題一方面凸顯了對二次函數(shù)的圖像性質(zhì)的基本知識、核心知識的考查，另一方面體現(xiàn)了對數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要思想方法的考查.

【引例】

已知點A（2，y1），B（-1，y2）在拋物線y=（x-1）2+1上，則比較y1，y2的大小關(guān)系_______.

【常規(guī)思路】

從代數(shù)的角度，我們可以根據(jù)二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，將A（2，y1），B（-1，y2）代入二次函數(shù)分別計算出y1，y2的值，然后再比較它們的大??；從函數(shù)的角度，我們可以先利用二次函數(shù)的對稱性，將對稱軸異側(cè)兩點A（2，y1），B（-1，y2）轉(zhuǎn)化到對稱軸的同一側(cè)兩點A（2，y1），B′（3，y2），再根據(jù)二次函數(shù)的增減性比較大小.

【題后反思】

從解題中我們發(fā)現(xiàn)代數(shù)法的本質(zhì)即利用圖像上點的坐標特征把二次函數(shù)值的比較大小轉(zhuǎn)化為代數(shù)式值的比較大小.而函數(shù)法的本質(zhì)即結(jié)合二次函數(shù)的圖像，利用函數(shù)增減性把二次函數(shù)值的比較大小轉(zhuǎn)化為比較A、B兩點到對稱軸距離的遠近.

代數(shù)法是順其自然的解答，函數(shù)法是數(shù)形結(jié)合的方法，直觀簡單.這兩種方法時刻貫穿于我們二次函數(shù)的值比較大小的問題中，如何準確熟練使用好這兩種方法呢？下面我們一起看三個例題分析.

【應(yīng)用實例】

例1二次函數(shù)y=mx2-2mx+m2+1（m＜0）的圖像經(jīng)過點A（2，y1），B（-1，y2），則比較y1，y2的大小關(guān)系_______.

【思路分析】順其自然我們會想到代數(shù)法，利用代入法算出y1=m2+1，y2=m2+3m+1，然后利用作差法得出y1-y2=-3m＞0即y1＞y2.由于函數(shù)法取決于開口方向與對稱軸，只有找出“隱形”對稱軸x=1，進一步判斷出A點到對稱軸的距離比B點到對稱軸距離要近，再根據(jù)開口向下，離對稱軸越近函數(shù)值越大進而得出y1＞y2.

【題后反思】

一般情況下，若點的橫坐標已知，我們易用代數(shù)法解決問題；若對稱軸以及開口方向顯然可知，用函數(shù)法相對比較簡單.

例2已知拋物線y=（x-3）2+2經(jīng)過點A（m，y1），B（n，y2），且|m-3|＜|n-3|，則比較y1，y2的大小關(guān)系________.

【思路分析】此題中非常清晰可知二次函數(shù)的對稱軸與開口方向，函數(shù)法應(yīng)該優(yōu)先考慮.再根據(jù)|m-3|＜|n-3|，不難得出A點到對稱軸的距離比B點到對稱軸的距離要近，再根據(jù)“開口向上，離對稱軸越遠函數(shù)值越大”進而得出y1＜y2.代數(shù)法也可以，我們利用代入法算出y1，y2，然后利用作差法得y1-y2=（m-3）2-（n-3）2＜0，即y1＜y2.

【題后反思】用函數(shù)法處理問題時我們僅需關(guān)注二次函數(shù)的對稱軸與開口方向以及已知點與對稱軸的距離的遠近，與已知點在對稱軸的同側(cè)還是異側(cè)關(guān)系不大。

例3已知點A（m，y1），B（m+1，y2），在拋物線y=（x-1）2+1上，則比較y1，y2的大小關(guān)系________.

【思路分析】代數(shù)法，常規(guī)做法利用代入法算出y1，y2，然后利用作差法得y1-y2=-2m+1，由于m的取值未知，故而對-2m+1的正負性討論，最后得出：當m=0.5時，y1=y2；當m＞0.5時，y1＜y2；當m＜0.5時，y1＞y2.二次函數(shù)的對稱軸與開口方向都易知，函數(shù)法應(yīng)該也是可以的.但從題目中難以確定A點到對稱軸的距離與B點到對稱軸距離的遠近，于是必須對此進行討論，即|m+1-1|與|m-1|比大小.當A點與B點到對稱軸距離一樣時，m=0.5，此時y1=y2；當A點到對稱軸較近時，m＞0.5，此時y1＜y2；當A點到對稱軸較遠時，m＜0.5，此時y1＞y2.

【題后反思】此題中無法判斷兩點與對稱軸的距離的遠近，似乎用函數(shù)法不易理解，下面我們把它簡化為判斷AB中點與對稱軸的位置.

【變式】若二次函數(shù)y=a（x-h）2+k（a＞0）經(jīng)過A（m，y1），B（n，y2）兩點，且m＜n，求y1，y2的大小關(guān)系.

【方法總結(jié)】

二次函數(shù)的函數(shù)值比較大小的方法：

（1）代數(shù)法.具體步驟：①代入求值；②作差比較.

（2）函數(shù)法.具體步驟：①找對稱軸與開口方向畫出簡圖；②求AB中點的橫坐標；③判斷AB中點與對稱軸的位置（點在對稱軸上、左、右）；④根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)得出結(jié)論.

（作者單位：江蘇省太倉市第二中學）