套管井井壁附近地層橫波速度徑向分布反演

王兵， 馬明明， 劉鶴， 劉志軍

1 油氣資源與探測國家重點實驗室， 中國石油大學(北京)， 北京 102249 2 中國石油冀東油田勘探開發(fā)研究院， 河北唐山 063004

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套管井井壁附近地層橫波速度徑向分布反演

王兵1， 馬明明2， 劉鶴1， 劉志軍2

1 油氣資源與探測國家重點實驗室， 中國石油大學(北京)， 北京 102249 2 中國石油冀東油田勘探開發(fā)研究院， 河北唐山 063004

套管外地層受異常地應力、油氣開采的影響，在徑向上表現(xiàn)出非均質性；采用聲波測井可以對該非均質性進行探測，利用偶極子橫波測井數(shù)據(jù)可以對橫波速度的徑向分布進行反演.本文建立了套管井外地層橫波速度徑向分層參考模型，采用修正的微擾法計算了該模型的偶極彎曲波頻散曲線，建立了橫波速度徑向分布反演目標函數(shù)，采用高斯牛頓法和快速模擬退火法對目標函數(shù)進行了求解，得到了套管井外地層橫波速度的徑向分布.分析了偶極彎曲波頻段、套管橫波速度對反演結果的影響，對比了高斯牛頓法和快速模擬退火法對反演過程的影響.分析對比結果表明，采用偶極彎曲波激發(fā)強度較高的頻段與采用全頻段的反演結果相近；套管的橫波速度準確度越高，反演結果越準確；高斯牛頓法和快速模擬退火法計算精度相同，都可以得到高精度的橫波速度徑向分布；快速模擬退火法的計算效率略低于高斯牛頓法，但其收斂性對初始值依賴更小，實際處理中應選擇快速模擬退火法.

套管井; 橫波速度; 徑向分布反演; 快速模擬退火法

1 引言

對套管井外地層進行有效的評價在油氣藏開發(fā)的中后期非常重要，套管外地層受異常地應力的影響而遭到損壞(李剛，2005; 唐曉明等，2015；陳雪蓮等，2015；曹景記等，2014)，導致地層在徑向上表現(xiàn)出非均質性，在聲波測井中即為地層速度的徑向變化.確定套管井外地層速度徑向變化剖面對井眼穩(wěn)定性評價及獲取有效的生產動態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)具有重要的意義.近年來，國內外學者對利用聲波測井數(shù)據(jù)反演裸眼井地層橫波速度徑向分布進行了大量的研究.Sinha等提出了結合微擾法和Backus-Gilbert理論的反演算法(Bruridge and Sinha，1966；Backus and Gilbert，1970；Sinha and Bruridge，2011；Sinha and Ascadurov，2004；馬明明等，2013)，微擾法精度較低，而且逐點反演地層橫波速度的徑向分布，計算效率也較低.Tang和Patterson(2010)建立了參量化的、高頻約束條件下的反演方法，在反演的過程中對彎曲波進行高頻約束，但高頻彎曲波的激發(fā)強度較小，易受噪聲的干擾.Yang等(2012)建立了套管井模型的參量化的目標函數(shù)，假定地層剪切模量是徑向距離r的指數(shù)函數(shù)，將橫波速度徑向分布反演問題轉換成三個控制參數(shù)的反演，用高斯牛頓法求解了關于這三個參數(shù)的非線性方程組.

本文基于Yang等(2012)建立的參量化的目標函數(shù)，選擇雙層參考模型，采用修正的微擾法計算了套管井地層橫波速度徑向分層模型的彎曲波頻散曲線，驗證了該計算方法的準確性.采用高斯牛頓(Gill et al.，1981)和快速模擬退火法(何峰江和陶果，2005)求解反演目標函數(shù)，得到了地層剪切模量參數(shù)，進而得到地層橫波速度的徑向分布，計算結果與理論模型誤差較小.分析了偶極彎曲波頻段、套管橫波速度對反演結果的影響，發(fā)現(xiàn)采用偶極彎曲波激發(fā)強度較高的頻段與采用全頻段的反演結果相近；套管的橫波速度準確度越高，反演結果越準確.對采用高斯牛頓法和快速模擬退火法的計算結果進行對比發(fā)現(xiàn)：兩種方法有相近的計算精度；高斯牛頓法具有較高的計算效率，對反演參數(shù)初始值的選取要求較高；快速模擬退火方法的計算效率略低于高斯牛頓方法，但受初始值的選取影響較小，實際處理中應選擇快速模擬退火法.針對地層橫波速度徑向分層模型，理論模擬了不同中心頻率聲源的偶極全波列，對理論模擬數(shù)據(jù)進行處理得到了地層橫波速度的徑向分布，結果與模型一致.此外，通過對結果分析還得出反演結果受聲源中心頻率影響較小.

2 套管井中偶極模式波的頻散方程

建立同心圓柱層狀模型模擬套管井幾何結構，如圖1所示.從內到外依次為井內流體、套管、速度變化帶、原狀地層.此模型下，研究的問題為同心圓柱層介質在軸向中的多極聲場分布和聲波傳播問題.井內、外的位移勢在波數(shù)-頻率域(時間因子eiω t)的表達式為(Schmitt，1988)：

(1)

(2)

利用位移分量，可得柱坐標系下的應變分量：

(3)

由應變分量，利用胡克定律，可得到應力分量：

(4)

其中λ為拉梅系數(shù)、μ為剪切模量，對于井內流體，取μ=0，e=(er r+eθ θ+ez z)是體應變；i=j時δij=1否則δij=0，下標i，j分別代表r，θ，z，在r=a處，徑向位移和徑向正應力連續(xù)，切向位移為零，如(5)式：

(5)

如果在半徑rm(下標m表示徑向的第m層)處的界面兩側都是固體，在界面上膠結良好，則界面上的位移和應力分量連續(xù)，即

(6)

層與層之間的聲場由湯姆森-哈斯克(Thomson-Hanskell)傳播矩陣來連接，反復利用各層介質的傳遞矩陣和邊界條件，得到如下的矩陣方程：

(7)

(8)

式中det表示矩陣的行列式，矩陣Mij是余矩陣，是矩陣M去掉第i行、第j列得到的，式(8)中的極點由(9)式確定

(9)

方程(9)稱為頻散方程.該方程是相對于k的非線性方程，常用牛頓-拉夫森方法來進行求解，得到彎曲波相速度隨頻率變化的方程.

(10)

圖1 套管井模型Fig.1 Model of cased borehole

3 套管井中偶極模式波頻散分析

套管井高速地層的偶極彎曲波已被深入研究過，套管的存在對地層參數(shù)反演的影響研究較少，尤其是套管外存在地層變化帶的情況.本小節(jié)分析了套管參數(shù)對彎曲波頻散的影響，變化程度用靈敏度senq表示，定義如下：

(11)

下標q表示某參數(shù).

裸眼井半徑為0.080 m，地層參數(shù)見表1.套管井模型如圖1所示，套管與地層膠結良好，套管內徑a=0.080 m，套管外徑b=0.088 m，變化帶外半徑c=0.3 m，變化帶參數(shù)除地層橫波速度外其他參數(shù)與原狀地層相同，具體見表1，變化帶橫波速度隨半徑r的變化見表2.

表1 地層參數(shù)

表2 變化帶橫波速度

圖2a為裸眼井和套管井的偶極彎曲波頻散曲線的理論計算結果.圖2b是裸眼井和套管井的偶極彎曲波的激發(fā)強度曲線.圖2c是偶極彎曲波頻散對套管橫波速度、套管縱波速度、套管厚度(變化套管外半徑)、套管密度的靈敏度曲線.

由圖2c可以看出，套管縱波速度和密度對偶極彎曲波頻散的影響非常小，套管厚度對偶極彎曲波頻散的影響稍大，套管橫波速度對偶極彎曲波頻散的影響是最大的.因此利用彎曲波頻散反演套管井地層橫波速度徑向分布時，必須考慮套管橫波速度的影響.

圖2 (a) 套管井和裸眼井彎曲波頻散； (b) 套管井和裸眼井彎曲波激發(fā)強度； (c) 套管井彎曲波對套管參數(shù)的靈敏度Fig.2 (a) Dispersion of cased and open boreholes; (b) Trigging intensity of dipole flexural waves in cased and open holes; (c) Sensitivity of dipole flexural waves to casing parameters

4 套管井外地層橫波速度徑向分布反演

對于套管井外地層橫波速度徑向分層模型，套管參數(shù)已知時，可根據(jù)式(9)來建立反演目標函數(shù)：

(12)

其中N表示選擇的頻率點數(shù)，m為要反演的層數(shù)，要反演每個層的厚度和速度兩個參數(shù)，至少要保證N≥2m.實際計算時，有2m個參數(shù)需要確定，由于反演計算的多解性，直接求解(12)式是不可行的.井外地層變化帶的剪切模量可以表示為(Yang et al., 2012)：

(13)

其中，cμ是變化帶外徑，μF是原狀地層剪切模量，ΔμA是變化帶剪切模量相對于原狀地層剪切模量的最大擾動，σ(σ>0)是指數(shù)函數(shù)的衰減系數(shù).根據(jù)(13)式，已知變化帶參考剪切模量為μA時，相應的擾動可表示為

(14)

參數(shù)cμ、ΔμA和σ的不同組合即可以用來表征不同的橫波速度徑向分布.有效的反演算法基于準確的正演模擬結果，接下來對套管井外地層橫波速度徑向分層模型的頻散方法進行分析，目前常用的為微擾法.

4.1 微擾法計算偶極彎曲波頻散

4.1.1 傳統(tǒng)計算方式

在柱坐標系下，根據(jù)微擾法的計算方式，當模型空間中有擾動發(fā)生后，模型的相速度也相應的發(fā)生變化：

(15)

(16)

(17)

4.1.2 修正計算方式

將(15)和(16)式代入該式得到：

得到等效的變化帶橫波速度

(18)

可得變化帶地層剪切模量發(fā)生的平均擾動為：

等效的變化帶地層橫波速度是：

(19)

(20)

4.1.3 偶極彎曲波頻散計算結果分析

由圖2c可知，套管橫波速度對偶極彎曲波頻散影響較大，因此利用彎曲波頻散反演地層橫波速度徑向分布時，必須考慮套管橫波速度的影響.本文選擇參考模型時假設套管的參數(shù)已知，將參考模型分單層和雙層兩種情況.單層參考模型的套管外有一個無限大均勻彈性地層，與套管膠結良好，井孔和套管參數(shù)見表1，地層橫波速度2500 m·s-1.雙層參考模型的套管外有一個變化帶，與套管和原狀地層膠結良好，變化帶橫波速度為2000 m·s-1，單、雙層參考模型和地層模型的橫波速度徑向分布見圖3a.圖3b為利用微擾法和傳播矩陣法計算的彎曲波頻散，圖3c為兩種方法計算結果的相對誤差.圖中線1和線2分別表示選擇單層參考模型時，微擾法傳統(tǒng)計算方式和改進方式計算的結果，線3和線4分別表示選擇雙層參考模型時，微擾法傳統(tǒng)計算方式和改進方式計算的結果，線5表示利用傳播矩陣計算的彎曲波頻散，為準確值.由圖3c可知采用改進的微擾法的計算結果更接近真實值，雙層參考模型的計算結果優(yōu)于單層參考模型，此外所有方法的相對誤差受頻率的影響比較明顯，在高頻時相對誤差都趨近于固定值.

圖3 (a) 參考模型和地層模型徑向剖面； (b) 偶極彎曲波頻散曲線； (c) 兩種方法計算的彎曲波頻散之間的相對誤差Fig.3 (a) Radial profile of reference and formation models; (b) Dispersion curve of dipole flexural waves; (c) Relative error of dispersion using two algorithms

4.2 地層橫波速度徑向分布反演

由前文分析結果可知，采用雙層參考模型及修正的微擾法計算的彎曲波頻散與理論計算結果最為接近；不同頻率下，地層橫波速度對彎曲波頻散的影響不同，因此可選擇多頻率點反演地層橫波速度的徑向分布.給定M組頻散曲線的組合(ωi,kzi)，i=1,2,…,M，根據(jù)方程(20)建立目標函數(shù)如下：

(21)

地層橫波速度徑向分布的反演問題，轉化成為求解cμ、ΔμA和σ的非線性最小二乘問題.

4.2.1 反演計算流程

當M≥3時，可同時求解三個未知參數(shù)cμ、ΔμA和σ，具體的計算過程為：

4.2.2 反演結果影響因素分析

(1) 頻率范圍

為了考察頻率范圍對反演結果的影響，首先選取有效激發(fā)的整個頻率段的數(shù)據(jù)進行計算.由圖2b可知該頻率范圍為fre=(2.5 kHz,13.5 kHz).分別采用高斯牛頓法和快速模擬退火法進行反演，計算結果如圖4所示.其中圖4a中點線和虛線分別是利用高斯牛頓法和快速模擬退火法得到的地層橫波速度的徑向分布；圖4b虛線和點線分別為兩種方法的相對誤差，由圖可見兩種方法的計算誤差都很小，小于4%，說明選擇整個頻率段數(shù)據(jù)進行反演計算時，兩種方法都是有效的，且具有基本相同的計算精度.

由圖2b可知，本文所采用套管井模型的偶極彎曲波的激發(fā)強度，在頻段(2 kHz,6 kHz)和(11 kHz,14 kHz)范圍內較小，容易受其他因素影響.頻段(6 kHz,11 kHz)內彎曲波的激發(fā)強度較大，故采用頻段范圍fre=(6 kHz,11 kHz)進行計算，計算結果如圖5所示.其中圖5a中的點線和虛線分別為利用高斯牛頓法和快速模擬退火法得到的地層橫波速度的徑向分布；圖5b虛線和點線為兩種方法的相對誤差.由圖可見兩種方法的計算結果的誤差都很小，都小于4%，說明選擇該頻段的數(shù)據(jù)即可進行有效的反演.

(2) 反演參數(shù)初始值

求解非線性最小二乘方程組(21)的過程中，發(fā)現(xiàn)高斯牛頓方法的收斂性對cμ、ΔμA和σ的初始值依賴較高，具體見表3，三個參數(shù)中任何一個參數(shù)的初始值發(fā)生10%以上的擾動時，都會導致迭代不收斂.采用快速模擬退火方法在計算成本上略有增加，但其收斂性受初始值的影響較小，具體見表4.對比表3和表4可知，快速模擬退火法對初始值的依賴較小，更適用于實際數(shù)據(jù)的反演處理.

(3) 套管橫波速度

本文計算了套管橫波速度誤差分別為-10%、-5%、5%、0和10%時的反演結果.圖6a和圖7a分別為采用高斯牛頓法和快速模擬退火法的計算結果.圖6b和圖7b分別為反演結果與真實地層橫波速度徑向分布的相對誤差.從相對誤差分布圖上可見，套管橫波速度誤差越大，反演結果的誤差在近井壁處越大，并且當套管橫波速度的誤差為正時(比真實值大)，近井壁處的反演誤差向負方向增大，當套管橫波速度的誤差為負時(比真實值小)，近井壁處的反演誤差向正方向增大.

圖4 頻率段為(2.5 kHz,13.5 kHz)時： (a) 反演的與實際的地層橫波速度徑向分布； (b) 反演結果相對誤差百分比徑向分布Fig.4 Inversion results and the real shear velocity radial profile for frequency range (2.5 kHz,13.5 kHz). (a) Radial profile comparison; (b) Relative error of inversion results

圖5 頻率段為(6 kHz,11 kHz)時： (a) 反演的與實際的地層橫波速度徑向分布； (b) 反演結果相對誤差百分比徑向分布Fig.5 Inversion results and the real shear velocity radial profile for frequency range (6 kHz,11 kHz). (a) Radial profile comparison; (b) Relative error of inversion results

cμ(m)ΔμA(GPa)σ結論真實值0.34.8090.9成功20.355.00.99失敗30.355.00.81失敗40.355.50.9失敗50.354.50.9失敗60.3855.00.9失敗70.3155.00.9成功

表4 快速模擬退火法參數(shù)設置和相應結論

圖6 高斯牛頓法計算的套管橫波速度存在誤差時，(a)反演的地層橫波速度徑向分布；(b)反演的與實際的地層橫波速度之間相對誤差的徑向分布Fig.6 Inversion results using GN algorithm when shear velocity is not accurate. (a) Radial profile of shear velocity; (b) Relative error of inversion results and real values

圖7 快速模擬退火法計算的套管橫波速度存在誤差時，(a)反演的地層橫波速度徑向分布；(b)反演的與實際的地層橫波速度之間相對誤差的徑向分布Fig.7 Inversion results using VFSA algorithm when shear velocity is not accurate. (a) Radial profile of the shear velocity; (b) Relative error of inversion results and real values

5 結論

本文采用雙層參考模型，應用修正的微擾法得到了準確的彎曲波頻散曲線.分別采用高斯牛頓法與快速模擬退火進行反演目標函數(shù)求解，得到了橫波速度徑向剖面的分布.通過模型試算，反演結果與理論模型一致.經(jīng)過對比分析得到如下結論：

(1) 利用激發(fā)強度較高的頻段內的彎曲波數(shù)據(jù)進行反演，與利用全頻段范圍的彎曲波數(shù)據(jù)進行反演無明顯的差異，在實際應用中可選擇激發(fā)強度較高的頻段內的數(shù)據(jù)進行處理，以提高信噪比.

(2) 套管參數(shù)對反演結果的影響不可忽略，套管橫波速度的影響最大，套管橫波速度誤差越大，近井壁處的地層橫波速度反演結果誤差越大.

(3) 高斯牛頓方法的收斂性對初始值依賴性較大，而快速模擬退火方法對初始值依賴性較小，在實際應用中應選擇快速模擬退火法進行反演.

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(本文編輯 何燕)

Inversion of the shear velocity radial profile in a cased borehole

WANG Bing1, MA Ming-Ming2, LIU He1, LIU Zhi-Jun2

1StateKeyLaboratoryofPetroleumResourcesandProspecting,ChinaUniversityofPetroleum(Beijing)，Beijing102249,China2ExplorationandDevelopmentResearchInstitutionofPetroChinaJidongOilfield,HebeiTangshan063004,China

Formation evaluation in cased boreholes is becoming more and more important to the exploitation of oil reservoirs. Formations outside the steel casing are often affected by the stress which leads to the radial heterogeneity. As one of the well logging methods that can measure the formation property outside the casing, the acoustic well logging tool can be used to acquire the velocity information of the formation. And the shear velocity radial profile of the formation can be inverted from dipole acoustic well logging data. A radial layered model of shear velocity in a cased borehole is established in this work. The modified perturbation method is used to calculate the dispersion curve of this model. Inversion cost function is constructed based on the dispersion curve. The Gauss-Newton (GN) algorithm and Very Fast Simulated Annealing (VFSA) algorithm are employed to solve the cost function. And the radial shear velocity profile is determined in the cased hole. The influences of frequency range and casing shear velocity on the inversion results are analyzed. The inversion results using the GN algorithm are compared with those using the VSFA algorithm. The analysis shows that the dipole flexural data of the dominant excitation frequency range can be used to do the inversion. The more accurate casing shear velocity the better inversion results can be obtained. The GN and VFSA algorithms have the same calculation accuracy while VFSA has less dependence on the initial inversion value. So VFSA algorithm should be used in real data processing.

Cased borehole； S-wave velocity； Radial profile inversion； Speed analog annealing method

10.6038/cjg20161236.

國家自然科學基金青年基金(41204094)，中國石油大學(北京)科研基金(2462015YQ0506)資助.

王兵，男，1982年生，博士，助理研究員，主要研究方向為聲波測井理論、資料處理及軟件開發(fā).E-mail:wangbing@cup.edu.cn

10.6038/cjg20161236

P631

2015-04-28，2016-10-15收修定稿

王兵， 馬明明， 劉鶴等. 2016. 套管井井壁附近地層橫波速度徑向分布反演. 地球物理學報，59(12):4782-4790,

Wang B, Ma M M, Liu H,et al. 2016. Inversion of the shear velocity radial profile in a cased borehole.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),59(12):4782-4790,doi:10.6038/cjg20161236.