單程波角度域內(nèi)壓制多次波偏移假象

鄭憶康， 王一博， 常旭， 姚振興

1 中國科學(xué)院地質(zhì)與地球物理研究所, 北京 100029 2 中國科學(xué)院大學(xué)， 北京 100049

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單程波角度域內(nèi)壓制多次波偏移假象

鄭憶康1,2， 王一博1*， 常旭1， 姚振興1

1 中國科學(xué)院地質(zhì)與地球物理研究所, 北京 100029 2 中國科學(xué)院大學(xué)， 北京 100049

多次波偏移中的假象主要來自于不同地震事件之間的互相關(guān)，由于這種互相關(guān)滿足成像條件，很難直接在偏移過程中去除.但是對于準(zhǔn)確的速度模型，真實(shí)的成像結(jié)果在角度域內(nèi)應(yīng)該是平直的.根據(jù)這個(gè)判斷準(zhǔn)則，可以在角度域內(nèi)移除多次波偏移中的假象.本文以數(shù)據(jù)自相關(guān)偏移為例，提出了在單程波多次波偏移中移除假象的主要流程：首先在在單程波偏移過程中高效地提取角度域共成像點(diǎn)道集，然后對角度域共成像點(diǎn)道集應(yīng)用高分辨率的拋物線型Radon變換，用合適的切除函數(shù)處理后，反變換回到角度域，最后疊加各個(gè)角度成分，得到偏移結(jié)果.Marmousi模型的合成數(shù)據(jù)測試表明，這種方法可以很好地壓制多次波偏移過程中產(chǎn)生的假象，有效地提高成像結(jié)果的信噪比.

高分辨率Radon變換； 角度域共成像點(diǎn)道集； 多次波偏移假象； 數(shù)據(jù)自相關(guān)偏移

1 引言

在海上數(shù)據(jù)中，多次波有可能是充分發(fā)育的.在過去的研究過程中，一般將多次波視為噪音，試圖將其去除(Verschuur et al., 1992; Weglein et al., 1997)， 但是在成像過程中也可以利用多次波信息(Liu et al., 2011；郭書娟等，2011；葉月明等，2014；劉伊克等，2015).在他們提出的多次波成像方法中，往往需要復(fù)雜的預(yù)測多次波過程，為此Wang等(2014a)提出了不需要預(yù)測多次波的同時(shí)利用一次波和多次波的偏移方法.在此基礎(chǔ)上 ，為了避免繁雜的子波預(yù)測，Wang等(2014b)和鄭憶康等(2015)提出了直接在偏移中利用多次波的數(shù)據(jù)自相關(guān)偏移方法.在這種多次波偏移過程中，上行波場和下行波場延拓的都是含有多次波的地震數(shù)據(jù).多次波偏移結(jié)果中的假象主要來自于不同地震事件之間的互相關(guān)，由于這種互相關(guān)是滿足成像原理的，導(dǎo)致在成像結(jié)果中很難將其直接去除.但是在角度域共成像點(diǎn)道集(angle domain common image gathers, ADCIGs)中, 假象的道集是不平的，可以很好地加以區(qū)分.Fei等(2015)和王一博等(2016)指出雙程波算子在偏移速度中存在劇烈變化的速度梯度時(shí)，會(huì)產(chǎn)生偏移假象，因而在數(shù)值實(shí)現(xiàn)上本文采用的是單程波偏移算法.

Sava和Guitton(2005)提出了采用拋物線Radon變換在角度道集內(nèi)壓制一次波偏移中的殘余多次波成像噪音.多次波偏移中的部分成像假象與一次波偏移中的殘余多次波成像噪音具有相同的曲率，因此也可以采用拋物線型Radon變換在角道集內(nèi)壓制多次波偏移假象.我們的壓制假象方法主要分為以下幾步： (1) 在多次波偏移過程中直接獲取ADCIGs； (2) 對獲得的ADCIGs應(yīng)用高分辨率拋物線型Radon變換，對于正確的成像事件，其能量應(yīng)集中在零值附近； (3) 切除Radon域中非零區(qū)域的成分; (4) 應(yīng)用Radon逆變換，獲得假象被壓制的ADCIGs； (5) 疊加不同角度的ADCIGs，得到最終的成像結(jié)果.

為了獲得高精度的分離結(jié)果，常規(guī)Radon變換不能滿足高分辨處理的需求，為此本文采用了高精度的拋物線型Radon變換.Zhou和Greenhalgh(1994)將拋物線型Radon變化在頻率空間域?qū)崿F(xiàn)并用最小二乘方法求解，避免了大矩陣求逆并且獲得得了高精度解，但是這種解存在低頻段的穩(wěn)定性問題.Sacchi和Ulrych(1995)提出了一種高精度的Radon變換算法，用迭代逼近的方法求解大型線性稀疏算子.這種算法更為穩(wěn)定，更適合應(yīng)用到ADCIGs去假象過程中.經(jīng)過高精度的拋物線型Radon變化，ADCIGs的假象能量會(huì)集中在Radon域的曲率非零位置，從而可以有效地被去除.

本文首先簡要介紹數(shù)據(jù)自相關(guān)偏移的原理，然后闡述在單程波多次波偏移中移除假象的主要流程，接下來在數(shù)值算例中以數(shù)據(jù)自相關(guān)偏移為例驗(yàn)證這種方法的有效性，最后給出相應(yīng)結(jié)論.

2 數(shù)據(jù)自相關(guān)偏移原理

(1)

這里x,z代表笛卡爾坐標(biāo)，ω代表頻率，xs代表震源位置，Image(x,z)代表偏移結(jié)果，下標(biāo)down表示下行波場，up表示上行波場.P(x,z,ω,xs)和M(x,z,ω,xs)分別表示一次波場和地表多次波場，上標(biāo)*表示共軛運(yùn)算.地震數(shù)據(jù)D(x,z,ω,xs)在深度域上下行延拓，同樣的的地震數(shù)據(jù)D(x,z,ω,xs)在深度域上上行延拓.

在波場延拓中利用的是傅里葉有限差分法(Fourier finite difference，F(xiàn)FD).這個(gè)方法首先是由Ristow和Rühl(1994)提出的，主要思路是把波場延拓分為背景速度和速度校正.背景速度vref取為當(dāng)前深度上的最小速度，用背景速度先進(jìn)行波場延拓后，再加上波場校正項(xiàng)，以適應(yīng)真實(shí)速度.深度z+Δz處的波場函數(shù)p(kx,ω,z+Δz)由深度z處的波場沿深度方向延拓獲得

p(kx,ω,z+Δz)=p(kx,ω,z+Δz)ejkzΔz.

(2)

在具體求解上，第一步需要在頻率波數(shù)域，利用vref完成簡單高效的相移，第二步是在頻率空間域用薄透鏡項(xiàng)(Claerbout，1985)補(bǔ)償垂向誤差，第三步也是在頻率空間域進(jìn)行，將非垂向的傳播效應(yīng)考慮進(jìn)來，用有限差分方程來進(jìn)行求解.

地表多次波能夠被分解為不同的階數(shù)成分：

M(x,z,ω,xs)=M1(x,z,ω,xs)+M2(x,z,ω,xs)

+M3(x,z,ω,xs)+M4(x,z,ω,xs)+…,

(3)

這里M(x,z,ω,xs)代表地表多次波，不同的上標(biāo)值表明了不同階數(shù)的多次波.將公式(3)代入公式(1)，展開后可以得到

Image(x,z)=

(4)

公式(4)中的第一部分是正確的成像結(jié)果，其中有兩種成像類型：(1) 下行延拓的一次波場和上行延拓的一階地表多次波場互相關(guān)； (2) 下行延拓的n階地表多次波場和上行延拓的(n+1)階多次波場互相關(guān).第二部分和第三部分會(huì)產(chǎn)生假象，包含了三種成像誤差：(1) 下行延拓的一次波場和上行延拓的m階多次波場互相關(guān)產(chǎn)生的誤差(m≥2); (2) 下行延拓的n階和上行延拓的m階多次波場互相關(guān)產(chǎn)生的誤差(m=n+2)； (3) 下行延拓一次波場和n階多次波場與上行延拓的m(m≤n)階多次波場互相關(guān)產(chǎn)生的以及下行延拓的n階和上行延拓的m階多次波場互相關(guān)產(chǎn)生的誤差(m>n+2).其中第二部分假象能量在ADCIGs中會(huì)表現(xiàn)為拋物線型，這也是我們試圖使用高精度拋物線型Radon變換去除的假象能量.使用FFD方法實(shí)現(xiàn)波場延拓和互相關(guān)成像條件之后，會(huì)得到含有假象的成像結(jié)果.為了進(jìn)一步提升成像精度，需要考慮采用合適的方法壓制假象.

3 在ADCIGs中壓制偏移假象

在偏移過程中可以用多種方法來提取ADCIGs, 例如可以在在頻率波數(shù)域求取傳播角和方位角信息，在給定的成像條件下輸出ADCIGs (Xu et al.，2011)； 或者采用矢量波動(dòng)方程進(jìn)行波場延拓，并用能流密度矢量計(jì)算反射角，輸出ADCIGs(Yoon and Marfurt，2004；王保利等，2013).Biondi和Symes(2004)提出可以先提取水平偏移距域共成像點(diǎn)道集(HOCIGs)，然后再通過轉(zhuǎn)換公式將HOCIGs由偏移距域變換到角度域，提取ADCIGs.由于數(shù)據(jù)自相關(guān)偏移是多震源波場，為了提高計(jì)算效率，可以采用與Biondi和Symes(2004)類似的方法提取ADCIGs，在單程波波場延拓中，分別計(jì)算下行波場和上行波場，應(yīng)用互相關(guān)成像條件，得到水平偏移距域共成像點(diǎn)道集(HOCIGs)，然后根據(jù)Sava和Fomel(2003)的轉(zhuǎn)換公式將HOCIGs由偏移距域變換到角度域，提取ADCIGs.

Rickett 和Sava (2002)提出在互相關(guān)成像條件中，將震源(下行)和接收(上行)波場分別添加一個(gè)對應(yīng)的水平偏移距，就可以得到水平偏移距域共成像點(diǎn)道集(HOCIGs)，也就是Image(x,z,xh)=

(5)

這里S(x,z,ω,xs)代表下行延拓的震源波場，R(x,z,ω,xs)是上行延拓的檢波器波場，xh代表的是地下水平半偏移距. 由于FFD算子是在深度方向上延拓，根據(jù)公式(5)，在計(jì)算中可以快速高效地計(jì)算出HOCIGs.

Sava和Fomel(2003)提出角度域內(nèi)的反射角γ和偏移距域內(nèi)的參數(shù)xh存在著如下的對應(yīng)關(guān)系

|t,x,

(6)

利用這個(gè)公式，就可以將HOCIGs轉(zhuǎn)化為ADCIGs，這個(gè)變換實(shí)際上就是一種傾斜疊加操作，可以表示為Image(x,z,γ)=SlantStack[Image(x,z,xh)],

(7)

(8)

(9)

這里z是角度域內(nèi)的深度，z0是拋物線變換后Radon域內(nèi)的深度,γ是反射角，q是變換曲率.g(γ)是由 Biondi和Symes (2004)給出的對原來的Radon變換的優(yōu)化，即

g(γ)=tan2γ.

(10)

為了提高Radon變換的精度，進(jìn)一步引入了高分辨率的拋物線型Radon變換.頻率域內(nèi)的Radon變換可以通過Fourier變換得到

(11)

其中j是虛數(shù)單位，x代表空間域內(nèi)的坐標(biāo)位置，q代表Radon域內(nèi)的變換曲率，ω代表頻率，對應(yīng)的逆變換為

(12)

將公式(12)離散化后得到

(13)

其中l(wèi)=0,1,…,L;k=0,1,…,K，u(xl,ω)表示每道數(shù)據(jù)，v(qk,ω)是Radon變換結(jié)果，qk是曲率參數(shù)，一般是均勻離散化的，寫成矩陣形式有

U=RV，

(14)

其中R是(L+1)(K+1)的矩陣，元素Rl k=e，標(biāo)準(zhǔn)的最小二乘法求解拋物線Radon變換，解的形式為V=(RHR)-1RHU.但是這種求解是不穩(wěn)定的，Sacchi和Ulrych(1995)為了壓制噪聲，采用最大熵分布作為約束條件，構(gòu)造了如下的求解方程

(RHR+WTW)V=RHU,

(15)

其中矩陣W為模型空間的加權(quán)矩陣，是一個(gè)對角陣.其中的元素由上次迭代的V獲得，數(shù)據(jù)分辨矩陣RHR+WTW變?yōu)镠ermit矩陣，可以通過Cholesky分解方法，將對稱正定矩陣表示為一個(gè)下三角矩陣及其轉(zhuǎn)置的乘積，進(jìn)而求逆，獲得方程組的解.高分辨率Radon變換利用稀疏約束反演，對qk選擇不同的加權(quán)系數(shù)，來提高變換的分辨率.如果偏移速度是準(zhǔn)確的，經(jīng)過高分辨率Radon變換處理后，在Radon域內(nèi)，ADCIGs中的真實(shí)成像的能量會(huì)集中于曲率為零區(qū)域，而公式(4)中第二部分假象的能量集中在非零區(qū)域內(nèi).這樣就可以很容易地切除掉假象，再做Radon逆變換就得到假象被壓制的ADCIGs.本文在波場延拓中采用的是FFD方法，沿著深度域方向進(jìn)行，相比于Wang等(2014b)采用的逆時(shí)偏移方法(RTM，reverse time migration)方法，可以快速地提取HOCIGs，計(jì)算速度可以大幅度地提升，F(xiàn)FD方法不足之處是對陡傾角成像不好，但是陡傾角是很難利用多次波，經(jīng)過數(shù)據(jù)自相關(guān)成像的.對于長時(shí)間記錄的多次波數(shù)據(jù)，使用FFD進(jìn)行數(shù)據(jù)自相關(guān)偏移處理更為合適.

圖1 添加了水層的Marmousi速度模型Fig.1 The Marmousi velocity model with water layer

圖2 含多次波的炮集記錄,紅色箭頭所示的是部分多次波Fig.2 The typical shotgathers generated by forward modeling, part of the multiples are pointed with red arrows

4 數(shù)值算例

數(shù)值算例采用的是一個(gè)添加了水層的Marmousi模型，如圖1所示.這個(gè)速度模型橫向有737個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，網(wǎng)格間距為12.5 m，縱向有950個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，網(wǎng)格間距為4 m.炮點(diǎn)間距為37.5 m，每炮有737道.檢波器間距為12.5 m，檢波點(diǎn)的間距為12.5 m.記錄數(shù)據(jù)的時(shí)間長度為6 s，采樣間隔為1 ms.圖2是正演獲得的含多次波炮集記錄，紅色箭頭標(biāo)注的是部分多次波，由于Marmousi海底層速度較低，多次波能量不強(qiáng).

只利用一次波數(shù)據(jù)的常規(guī)FFD偏移中提取的的ADCIGs如圖3所示.這里的正傳的是一個(gè)Ricker子波，而反傳的是記錄的一次波數(shù)據(jù).對于一個(gè)準(zhǔn)確的速度模型，RTM與FFD方法提取的角道集基本是一致的.但是RTM的成像精度比FFD更高，對于陡傾角的成像效果更好，表現(xiàn)在角道集上就是道集深度分辨率更高，含有更多的大角度成分.但是RTM提取ADCIGs需要的計(jì)算量遠(yuǎn)大于FFD方法.對于長時(shí)間記錄的多次波實(shí)際數(shù)據(jù)，在速度模型精度不高的條件下，為了高效率地提取ADCIGs，F(xiàn)FD方法更為實(shí)用.

圖3 一次波FFD偏移提取的角道集Fig.3 ADCIGs of the conventional FFD migration using primaries only

圖4 一次波FFD偏移結(jié)果Fig.4 The migration result of the conventional FFD migration using primaries only

圖5 數(shù)據(jù)自相關(guān)FFD偏移角道集Fig.5 ADCIGs of data to data migration

圖6 數(shù)據(jù)自相關(guān)偏移結(jié)果Fig.6 The preliminary migration result of data to data migration

圖7 數(shù)據(jù)自相關(guān)偏移角道集變化到Radon域內(nèi)道集Fig.7 The ADCIGs in Radon domain after the parabolic Radon transform

圖8 Radon域內(nèi)去噪后變換回角度域內(nèi)的道集Fig.8 The ADCIGs after muting procedure and the adjoint Radon transform

圖9 角度域內(nèi)去噪后數(shù)據(jù)自相關(guān)偏移結(jié)果Fig.9 The final image after eliminating the migration artifacts in ADCIGs

圖10 圖6與圖9的殘差剖面Fig.10 The residual image of Fig.6 and Fig.9

為了壓制偏移中的低頻噪聲，在角度域內(nèi)切除掉大角度成分，然后將其疊加，得到的偏移結(jié)果如圖4所示.可以看到圖4的成像結(jié)果中低頻噪音被很好地壓制，值得注意的是圖4中是沒有假象的.

數(shù)據(jù)自相關(guān)偏移的ADCIGs如圖5所示，包含有多次波成分的地震數(shù)據(jù)正傳作為下行波場，而同樣的數(shù)據(jù)反傳作為上行波場.采用和圖4一致的窗函數(shù)濾除大角度成分，疊加結(jié)果如圖6所示，可以看到成像結(jié)果中是包含假象的，這就是公式(3)中誤差部分互相關(guān)所帶來的.由于多次波能量不強(qiáng)，假象能量較弱.

圖7是將圖5中獲得的ADCIGs經(jīng)過高分辨率拋物線型Radon變換后的結(jié)果，正確的偏移圖像其能量在經(jīng)過拋物線型Radon變換后應(yīng)當(dāng)聚焦到零值附近，也就是q=0這條直線附近，而假象能量會(huì)聚焦到遠(yuǎn)離零值的區(qū)域.加以一個(gè)簡單的窗函數(shù)加以去除，然后應(yīng)用Radon逆變換回角度域，得到的ADCIGs如圖8所示.疊加各個(gè)角度結(jié)果，最后得到的自相關(guān)偏移結(jié)果如圖9所示.顯然，相比于圖6，圖9偏移結(jié)果的信噪比大幅度的提升了.圖10所示的是圖6和圖9的殘差剖面.本文使用的高分辨率Radon變換并不完全保幅，圖6與圖9量級并不一致，圖10中不僅僅只有假象能量，還有其他噪聲和振幅不一致帶來的成像能量損失.尋求一種高分辨率的保幅拋物線型Radon變換是下一步的工作目標(biāo).

5 結(jié)論

5.1 多次波偏移通過角度域內(nèi)壓制假象的辦法可以得到與常規(guī)FFD方法相近的偏移結(jié)果，并且不需要預(yù)測子波.對于實(shí)際采集數(shù)據(jù)，這有著重要意義.因?yàn)閷?shí)際數(shù)據(jù)中震源函數(shù)的估計(jì)是相當(dāng)難以處理的.FFD算子沿著深度方向進(jìn)行延拓，因而在計(jì)算中它可以快速高效的計(jì)算出HOCIGs.在提取長時(shí)間記錄的多次波數(shù)據(jù)的ADCIGs時(shí)，內(nèi)存消耗少，計(jì)算速度快的FFD更為適用.

5.2 而數(shù)據(jù)自相關(guān)偏移結(jié)果中的假象能夠被近似視為兩部分的結(jié)合，第一部分也就是公式(4)中的第二項(xiàng)產(chǎn)生了深部的假象，第二部分也就是公式(4)中的第三項(xiàng)產(chǎn)生了淺層的假象.第一部分的假象，比如由一次波和高階的地表多次波產(chǎn)生的假象，經(jīng)過本文提出的的假象壓制策略處理之后，可以得到很好的壓制. Marmousi模型的數(shù)值算例驗(yàn)證了這一點(diǎn).然而如何壓制第二部分互相關(guān)產(chǎn)生的假象還需要進(jìn)一步的探討.本文中由于這一部分的假象是產(chǎn)生在設(shè)置的水層中，所以可以很容易地將其去除.但是對于水層較淺的實(shí)際數(shù)據(jù)這種處理方式就不再適用了.可能需要采用寬方位角采集的方式來部分減少假象.另一個(gè)需要考慮的是盡管FFD方法可以快速高效地計(jì)算HOCIGs，但是如果需要提取垂直偏移距域共成像點(diǎn)道集(VOCIGs)，與HOCIGs結(jié)合生成更穩(wěn)定的ADCIGs時(shí)，F(xiàn)FD方法可能就不再適用，需要做進(jìn)一步的修正處理.

致謝 感謝審稿專家和編輯部的鼎力支持和幫助.

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(本文編輯 劉少華)

Eliminating migration artifacts in angle domain based on one-way wave equation migration of multiples

ZHENG Yi-Kang1,2, WANG Yi-Bo1*, CHANG Xu1, YAO Zhen-Xing1

1InstituteofGeologyandGeophysics,ChineseAcademyofSciences,Beijing100029,China2UniversityofChineseAcademyofSciences,Beijing100049,China

The migration artifacts are mainly introduced by the crosscorrealtion of different seismic events. As they honor the imaging condition, they are difficult to be eliminated directly. However, only the traces of the true events are flat in angle domain common image gathers (ADCIGs) and the artifacts can be identified. To separate signal from noise more explicitly, high resolution parabolic Radon transform is applied. In numerical examples, we show that ADCIGs can be extracted from Fourier finite difference (FFD) migration more effectively than in reverse time migration (RTM).We followed the workflow proposed by Biondi and Symes (2004) to extract ADCIGs. In one-way wave equation migration, the crosscorrelation imaging condition is applied and the subsurface item is added to upgoing and downgoing wavefields. Then all the shots are stacked to obtain horizontal offset common image gathers (HOCIGs). Using the formula proposed by Sava and Fomel (2003), we can transform HOCIGs from offset domain to angle domain and obtain ADCIGs. Then the ADCIGs are processed with high resolution parabolic Radon transform. It takes maximum entropy distribution as the constraint condition and uses sparse constrained inversion to improve the resolution. If the migration velocity is correct, the energy of true seismic events is concentrated in the vicinity of zero curvature in the Radon domain, while the energy of artifacts is mapped to nonzero area. Save and Guitton (2005) present their method to suppress multiples in image domain. We modify the method in data to data migration and divide it into five steps: (1) Extract ADCIGs directly from data to data migration; (2) Apply high resolution parabolic Radon transform to ADCIGs; (3) Mute the nonzero components in the Radon domain; (4) Obtain ADCIGs without artifacts using adjoint Radon transform; (5) Stack all different angles to get the final image.In the numerical example, the result of conventional FFD migration using primaries only has no artifacts. It can be improved by muting the low frequency components at large angles. In data to data migration the same muting technique works while the artifacts still exist. After the application of our proposed workflow, most migration artifacts are eliminated and the signal-to-noise ratio of the imaging result is improved effectively. We also show that compared to RTM, FFD is much faster and more efficient to extract ADCIGs.Through the proposed method, the artifacts in the image of data to data migration are mostly eliminated. The final result is comparable to conventional FFD migration. As multiples prediction and wavelet estimation are not needed in data to data migration, it can be significant for real data. The proposed method is mainly aimed at one type of undesired crosscorrelation. How to eliminate the other type of artifacts needs further study. The possible solutions include wide azimuth acquisition technology, least squares migration method and so on. Another point to be addressed is that FFD is suitable to calculate HOCIGs fast while it cannot offer vertical offset common image gathers (VOCIGs). If we need to combine HOCIGs and VOCIGs to generate stable ADCIGs, the FFD operator should be modified.

High-resolution Radon transform; Angle domain common image gathers; Migration artifacts of multiples; Data to data migration

10.6038/cjg20161220.

國家科技重大專項(xiàng)子課題(2011ZX05030-004-001)資助.

鄭憶康，男，博士研究生，主要從事地震波成像與速度建模方法研究.E-mail:zhengyk@mail.iggcas.ac.cn

*通訊作者 王一博，研究員.E-mail:wangyibo@mail.iggcas.ac.cn

10.6038/cjg20161220

P631

2015-03-15, 2016-03-13收修定稿

鄭憶康， 王一博， 常旭等. 2016. 單程波角度域內(nèi)壓制多次波偏移假象. 地球物理學(xué)報(bào)，59(12):4584-4593,

Zheng Y K, Wang Y B, Chang X,et al. 2016. Eliminating migration artifacts in angle domain based on one-way wave equation migration of multiples.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),59(12):4584-4593,doi:10.6038/cjg20161220.