揭示考查本質(zhì)，提升解題能力

☉浙江省紹興市第一中學(xué)　宣　泳

揭示考查本質(zhì)，提升解題能力

☉浙江省紹興市第一中學(xué)宣泳

高考是一個(gè)無(wú)形的指揮棒，牽動(dòng)著千千萬(wàn)萬(wàn)家長(zhǎng)和學(xué)生的心.在現(xiàn)行的江蘇高考模式下，數(shù)學(xué)學(xué)科的重要性是不言而喻的，教師和學(xué)生都十分關(guān)注與重視數(shù)學(xué)學(xué)科.從高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容上來(lái)看，數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，一直受到命題專家的青睞，是高考必考的內(nèi)容之一，隨著新課改的不斷深化發(fā)展，在全國(guó)各地的高考模擬試題和高考真題中，關(guān)于數(shù)列知識(shí)的考查形式出現(xiàn)了較大的變化，一種“新型”數(shù)列的考查形式成為一道特別靚麗的風(fēng)景線，這類試題通常是比較陌生的新概念和新特征，要求學(xué)生靈活運(yùn)用這些新概念與特征處理實(shí)際問題，這種新形式的考查讓不少學(xué)生感覺很棘手.本文對(duì)這類新穎試題進(jìn)行合理的歸類、探究與剖析，有效揭示新型數(shù)列考查的本質(zhì)特征，逐步揭開這類新試題的“神秘面紗”，進(jìn)而尋求高效處理這類問題的具體方法與手段，最終推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的快速提升.

一、“新型”數(shù)列之“和等比”數(shù)列

例1若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和Sn滿足為非零常數(shù)（n∈N*），則該數(shù)列稱為“和等比”數(shù)列.

（Ⅰ）若數(shù)列{2bn}是首項(xiàng)是2，公比是4的等比數(shù)列，請(qǐng)判斷數(shù)列{bn}是否為“和等比”數(shù)列？

（Ⅱ）若等差數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式cn=c1+（n-1）d（d≠0），數(shù)列{cn}同時(shí)也是“和等比”數(shù)列，試探究首項(xiàng)c1與公差d之間的關(guān)系？

解析：（Ⅰ）根據(jù)題意可得2bn=2·4n-1=22n-1，即bn=2n-1.令Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之和，則Tn=n2，T2n=4n2，即=4，則數(shù)列{bn}為“和等比”數(shù)列.

（Ⅱ）令Rn為等差數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)之和，根據(jù)題意可得且則k對(duì)于n∈N*均成立，即nd（k-4）+（k-2）（2c1-d）=0，則只有

點(diǎn)評(píng)：本題源于蘇北四市調(diào)研考試的一道試題，題目難點(diǎn)在于“新型”數(shù)列的融入，學(xué)生只有認(rèn)真讀懂題目給出的重要信息，真正理解“和等比”數(shù)列的內(nèi)涵，發(fā)現(xiàn)新型數(shù)列與常見數(shù)列（等差、等比）之間的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別，利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化與變形，將其轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí)與規(guī)律，從而進(jìn)行有效求解；題目中準(zhǔn)確解題的關(guān)鍵是針對(duì)于新型數(shù)列的本質(zhì)特征，得出n∈N*恒成立的等式，借助于恒等式成立的思想進(jìn)行求解.

二、“新型”數(shù)列之“H數(shù)列”

例2已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和，若對(duì)任意正整數(shù)n，總有正整數(shù)m使得Sn=am，則數(shù)列{an}稱為“H數(shù)列”.

（Ⅰ）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和Sn=2n（n∈N*），試求證：{an}為“H數(shù)列”；

（Ⅱ）若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為d（d<0）的等差數(shù)列，同時(shí)也是“H數(shù)列”，試求公差d的值；

（Ⅲ）求證：對(duì)于任意的等差數(shù)列{an}，總是存在兩個(gè)“H數(shù)列”{bn}和{cn}使得an=bn+cn（n∈N*）成立.

解析：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1= 2n-2n-1=2n-1；對(duì)于任意的n∈N*，總有m=n+1，Sn=an+1，則數(shù)列{an}是“H數(shù)列”.

（Ⅱ）根據(jù)題意可得an=1+（n-1）d，

由于{an}是“H數(shù)列”，則存在k∈N*使得1+（k-1）d，即

（Ⅲ）若數(shù)列{dn}的通項(xiàng)公式dn=bn（b為常數(shù)），則前n項(xiàng)之和與數(shù)列{dn}中的第項(xiàng)，則{dn}為“H數(shù)列”.對(duì)于任意的等差數(shù)列an=a1+（n-1）d，令bn= na1，cn=（d-a1）（n-1），則an=bn+cn（{bn}和{cn}均為“H數(shù)列”）.

點(diǎn)評(píng)：本題是2014年江蘇高考第20題，是一道以“新型”數(shù)列為背景的創(chuàng)新試題，給不少考生帶來(lái)困難，究其本質(zhì)進(jìn)行思考分析，我們不難發(fā)現(xiàn)：第（Ⅰ）（Ⅱ）問處理的手段是抓住“H數(shù)列”的本質(zhì)內(nèi)涵進(jìn)行求解；第（Ⅲ）問題的實(shí)質(zhì)是存在性問題的探討，求證等差數(shù)列可以利用兩個(gè)“H數(shù)列”之和表示，處理問題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造滿足題意的兩個(gè)等差數(shù)列，這也提醒一線教師在平時(shí)的教學(xué)中，注重培養(yǎng)學(xué)生的構(gòu)造創(chuàng)新能力.

三、“新型”數(shù)列之“M數(shù)列”

例3數(shù)列{cn}滿足cn+1=pcn+q（p，q為實(shí)常數(shù)）對(duì)于任意n∈N*都成立，則數(shù)列{cn}稱為“M數(shù)列”.

（Ⅰ）若數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=2n，bn= 3·2n（n∈N*），試判斷它們是否為“M數(shù)列”，若是，求出對(duì)應(yīng)的常數(shù)p和q；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（Ⅱ）試求證：如果數(shù)列{an}是“M數(shù)列”，則數(shù)列{an+ an+1}也是“M數(shù)列”.

（Ⅲ）如果數(shù)列{an}滿足：a1=2，an+an+1=3t·2n（n∈N*，t為常數(shù)），試求t的值，使數(shù)列{an}為“M數(shù)列”.

解析：（Ⅰ）根據(jù)題意可得an+1=2（n+1）=2n+2=an+2，則p=1，q=2，則{an}是“M數(shù)列”.bn+1=3·2n+1=2bn，則p=2，q=0，則{bn}也是“M數(shù)列”.

（Ⅱ）證明：由于{an}是“M數(shù)列”，則an+1=pan+q，an+2= pan+1+q，則an+2+an+1=p（an+1+an）+2q，則數(shù)列{an+an+1}是“M數(shù)列”.

（Ⅲ）假設(shè)數(shù)列{an}為“M數(shù)列”，令an+1=pan+q，

則an+an+1=p（an+an-1）+2q，

即（3tp-6t）2n-1+2q=0對(duì)于任意的n∈N*恒成立，

當(dāng)p=2，q=0時(shí)，an+1=2an，此時(shí){an}是“M數(shù)列”，即t=1；

當(dāng)t=0，q=0時(shí)，an+1=-an，此時(shí){an}是“M數(shù)列”.故t=0或1.

點(diǎn)評(píng)：本題求解的關(guān)鍵在于認(rèn)真審題，從中理解“M數(shù)列”的本質(zhì)內(nèi)涵，將陌生、新穎的數(shù)列難題轉(zhuǎn)化成平時(shí)熟悉的數(shù)列問題；在第（Ⅲ）問中處理的手段是借助于第（Ⅱ）問的結(jié)論進(jìn)行的，即將an+an+1=p（an+an-1）+2q轉(zhuǎn)化成（3tp-6t）2n-1+2q=0，再運(yùn)用恒等式成立的性質(zhì)進(jìn)行解決.

總而言之，“新型”數(shù)列問題的出現(xiàn)給教師和學(xué)生帶來(lái)了挑戰(zhàn)和機(jī)遇，作為一線教師可以借助于探究“新型”數(shù)列性質(zhì)內(nèi)涵的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生將以前所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、解題方法與技能、思想方法等進(jìn)行有效整合，將“新型”數(shù)列的難點(diǎn)有效轉(zhuǎn)化為熟悉的問題進(jìn)行處理，在分析與探究的過(guò)程中學(xué)生體會(huì)到這類問題并不是“深不可測(cè)、無(wú)法逾越”的，只要善于觀察、閱讀、捕捉題設(shè)中的價(jià)值信息，掌握其解題策略，難題即可“迎刃而解”.