高中數(shù)學(xué)教學(xué)策略——復(fù)習(xí)課的視角

☉廣西柳州高級中學(xué)　吳佐慧

☉湖北大學(xué)　劉合國

高中數(shù)學(xué)教學(xué)策略——復(fù)習(xí)課的視角

☉廣西柳州高級中學(xué)吳佐慧

☉湖北大學(xué)劉合國

一、引言

波利亞認(rèn)為數(shù)學(xué)課的目的是教會年輕人思考，不僅要教學(xué)生證明問題、提出問題，甚至也要教他們猜想問題.我們作為一線數(shù)學(xué)教師，更應(yīng)該貫徹這種思想.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，注重各種知識內(nèi)在聯(lián)系的同時也要注重教學(xué)策略.在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略對知識進(jìn)行加工重組，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識并激起學(xué)生的求知欲，以引起學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)而不斷提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效率.

本文將從復(fù)習(xí)課的視角對如何注重教學(xué)策略加以解讀.在日常教學(xué)中，很多老師覺得復(fù)習(xí)課很難上，關(guān)鍵是復(fù)習(xí)課上的知識點(diǎn)都是已經(jīng)學(xué)過的，教學(xué)設(shè)計(jì)得不好就很難激起學(xué)生的興趣及求知欲.所以復(fù)習(xí)課上，我們的主要任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)數(shù)學(xué)知識進(jìn)行系統(tǒng)的歸納整理.通過問題引入、題型設(shè)計(jì)建立起不同題型、知識的聯(lián)系，讓學(xué)生有全新的認(rèn)識，不斷提高他們分析問題、提出問題、解決問題的能力，并有意識地培養(yǎng)他們科研、創(chuàng)新的能力，為更高層次的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

復(fù)習(xí)課不是死記硬背課，不是機(jī)械重復(fù)課，不是表演課.所以我們在教學(xué)時，要準(zhǔn)確地把握教學(xué)要求，循序漸進(jìn)地教學(xué)，不能搞一步到位，要追求通性通法，不追求特技.“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”同時我們更應(yīng)該注重教學(xué)策略，注重“數(shù)學(xué)情境與提出問題”的教學(xué)，找好問題，把更多的注意力放在核心概念、基本數(shù)學(xué)思想方法上，不斷地提高中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)效率與教學(xué)質(zhì)量.但只有教育工作者自身真正地理解好數(shù)學(xué)，才能不斷地使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)簡潔、自然的特性，才能使學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.

二、實(shí)例

本部分通過對遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的教學(xué)設(shè)計(jì)，具體地展示應(yīng)如何應(yīng)用合適的教學(xué)策略引導(dǎo)學(xué)生去思考問題，去進(jìn)行總結(jié)歸納.

關(guān)于遞推數(shù)列的教學(xué)，高中老師常見做法是歸納題型、總結(jié)技巧、印發(fā)學(xué)案，讓學(xué)生被動接受，以后再生搬硬套.這樣歸納題型，誠然有其應(yīng)試的好處，但學(xué)生并不知道其來龍去脈，并不能弄清楚為什么要這樣出題.所以在教學(xué)中，如果沒有以思想方法為主線，就會顯得雜亂無章.學(xué)生只能死記硬背，若題型稍微有些變化，很多學(xué)生就沒有思路，沒有方法了.

數(shù)列題型很多，大部分學(xué)生不知道其來歷，只是一味地死記硬背，這樣的效果可想而知.所以在教學(xué)過程中，要追根溯源，講解每種方法的來歷及其相互關(guān)聯(lián).不要怕花時間，也只有在這上面花的時間到位了，學(xué)生的理解就會更透徹，記憶就會更長久.

達(dá)到這樣效果的重要前提就是授課教師能理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，并發(fā)現(xiàn)問題之間的相互關(guān)聯(lián).只有這樣才能使學(xué)生學(xué)得輕松，才能使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)自然、簡潔的魅力.接下來就以數(shù)列遞推關(guān)系式為例給出教學(xué)設(shè)計(jì).

數(shù)列可以看作一個定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時，對應(yīng)的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是對應(yīng)函數(shù)的解析式.所以在數(shù)列教學(xué)過程中要不斷體現(xiàn)并強(qiáng)化這種函數(shù)的思想.用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識數(shù)列，通過化歸來分析處理數(shù)列問題.

先引導(dǎo)學(xué)生回顧中學(xué)階段所學(xué)過的函數(shù)類型：常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、高次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等.在后面的教學(xué)中我們會發(fā)現(xiàn)幾乎所有題型都是在這些函數(shù)中變形.

問題A1若數(shù)列{an}滿足an-an-1=1（n≥2），a1=1，求通項(xiàng)公式an.

解：因?yàn)閍n-an-1=1（n≥2），所以a2-a1=1，a3-a2=1，…，an-an-1=1.由累加法可得an-a1=（n-1）×1，則an=n.

因?yàn)閍1=1也滿足上式，所以an=n.

本題的方法很多，可直接把數(shù)列{an}當(dāng)成等差數(shù)列來求解，我們也可以用上面的方法，通過這種方法再次回顧等差數(shù)列通項(xiàng)公式的一種推導(dǎo)方法：累加法.

接下來引導(dǎo)學(xué)生思考，在問題A1中an=an-1+1（n≥2），其中“1”是常函數(shù)，那我們能不能把它換成已經(jīng)學(xué)過的其他函數(shù)？比如一次、二次、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)等.

問題A2若數(shù)列{an}滿足an=an-1+n（n≥2），a1=1，求通項(xiàng)公式an.

解：因?yàn)閍n-an-1=n（n≥2），所以a2-a1=2，a3-a2=3，…，an-an-1=n.由累加法可得an-a1=2+3+…+n，

問題A3若數(shù)列{an}滿足an=an-1+n2（n≥2），a1=1，求通項(xiàng)公式an.

解：因?yàn)閍n-an-1=n2（n≥2），所以a2-a1=22，a3-a2=32，…，an-an-1=n2.由累加法可得an-a1=22+32+…+n2，

問題A4若數(shù)列{an}滿足an=an-1+n3（n≥2），a1=1，求通項(xiàng)公式an.

解：因?yàn)閍n-an-1=n3（n≥2），所以a2-a1=23，a3-a2=33，…，an-an-1=n3.由累加法可得an-a1=23+33+…+n3，

注1：通過問題A3和問題A4，復(fù)習(xí)一下an=n2以及an=n3的前n項(xiàng)和公式.

問題A5若數(shù)列{an}滿足1，求通項(xiàng)公式an.

又因?yàn)閍1=1也滿足上式，所以

注2：通過問題，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)裂項(xiàng)相消法，例如：

問題A6若數(shù)列{an}滿足an=an-1+2n（n≥2），a1=1，求通項(xiàng)公式an.

解：因?yàn)閍n-an-1=2n（n≥2），所以a2-a1=22，a3-a2=23，…，an-an-1=2n.由累加法可得an-a1=22+23+…+2n，

所以an=1+22+23+…+2n=2n+1-3.

又因?yàn)閍1=1也滿足上式，所以an=2n+1-3.

小結(jié)1：能用累加法的數(shù)列{an}要滿足an=an-1+f（n）（n≥2）的形式，且f（n）在現(xiàn)有知識水平下能求和.同學(xué)們自己也可以編出很多類似的習(xí)題.

在類型A中，an與an-1前的系數(shù)均為1，如果an與an-1前的系數(shù)不相等，又該如何處理？

問題B1若數(shù)列{an}滿足an+1=2an+1，a1=1，求通項(xiàng)公式an.

解：因?yàn)閍n+1=2an+1，所以an+1+1=2（an+1），因此數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an+1=2n，故an=2n-1.

問題B2若數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3，a1=1，求通項(xiàng)公式an.

解：因?yàn)閍n+1=2an+3，，所以an+1+3=2（an+3），因此數(shù)列{an+3}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，所以an+3=4·2n-1= 2n+1，故an=2n+1-3.

注3：在問題B1與B2中，an前面的系數(shù)是2，則可以通過“拼湊”轉(zhuǎn)化為一個新的等比數(shù)列再進(jìn)行求解，但是如果不是2，拼湊就有些煩瑣.

（3）對數(shù)裂項(xiàng)：

問題B3若數(shù)列{an}滿足an+1=3an+1，a1=1，求通項(xiàng)公式an.

在解決這個問題之前，我們注意觀察：在問題B1與B2的解答過程中，拼湊得到的結(jié)構(gòu)有什么共性？對解決問題B3有什么啟發(fā)？

問題B1與B2均可轉(zhuǎn)化為an+1+t=2（an+t），那么問題B3能不能也應(yīng)用類似的思想？不難發(fā)現(xiàn)：若an+1+t=3（an+t），則an+1=3an+2t與原等式an+1=3an+1比較可得2t=1，所以原等式變?yōu)橐虼藬?shù)列｝是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，所以·3n-1，故an=

以上方法即為待定系數(shù)法.我們通過引入一個參數(shù)t，就把問題轉(zhuǎn)化成基本的等比數(shù)列求解，其中用到了化歸的思想，即把一個新的問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為我們所熟悉的問題加以求解.

小結(jié)2：形如an+1=pan+d（p≠1）均可用待定系數(shù)法來求解.上式中的d是常數(shù)，沿用前面的思路，d能否換成類似的一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)呢？

問題B4若數(shù)列{an}滿足an+1=4an-3n+1，，a1=2，求通項(xiàng)公式an.

解：應(yīng)用待定系數(shù)法，令an+1+a（n+1）+t=4（an+an+t），即an+1=4an+3an+3t-a，與an+1=4an-3n+1比較系數(shù)可得a= -1，t=0，所以數(shù)列{an-n}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，則an-n=4n-1，即an=4n-1+n.

問題B5若數(shù)列{an}滿足an+1=3an+2n，a1=-1，求通項(xiàng)公式an.

解：應(yīng)用待定系數(shù)法，令an+1+k2n+1=3（an+k2n），整理并比較系數(shù)可得an+1+2n+1=3（an+2n），

所以數(shù)列{an+2n}是首項(xiàng)1，公比為3的等比數(shù)列，則an+2n=3n-1，即an=3n-1-2n.

問題B6若數(shù)列{an}滿足an+1=2an+2n，a1=1，求通項(xiàng)公式an.

若按照問題B5的方法，則求不出相應(yīng)的k，所以其解法如下：

解：將an+1=2an+2n兩邊同時除以2n+1，得則

同理，對于問題B5，也可以將an+1=3an+2n兩邊同時除以2n或3n+1分別得到再加以求解.顯然除以3n+1再用累加法求解相對簡潔.

小結(jié)3：形如an+1=pan+dn（p≠1，d≠1），兩邊同時除以dn或pn+1后再進(jìn)行求解.

在前面的例題中，an+1、an或an-1的次數(shù)均為1次，如果換成-1或2，又該如何解決？將問題B1中的an+1與an換成于是有下面的問題：

問題C1若數(shù)列{an}滿足求通項(xiàng)公式an.

前面的問題，不管是整式型還是分式型，遞推關(guān)系式均為一次，且只有an+1與an兩項(xiàng)，如果遞推關(guān)系式為二次或者有an+2、an+1與an三項(xiàng)，又該如何解決呢？

問題D1若數(shù)列{an}滿足an+1=，a1=5，求通項(xiàng)公式an.

解：因?yàn)閍n+1=，所以兩邊同時取以5為底的對數(shù)得log5an+1=2log5an，則{log5an}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an=52n-1.

小結(jié)5：對于高次問題，我們主要的思想是降次，通過取對數(shù)或因式分解一般均能達(dá)到預(yù)期的效果.對于二階常系數(shù)線性齊次遞推數(shù)列，即形如an+2=pan+1+qan（其中p，q為常數(shù)，且q≠0），常用特征根法求解.課堂上只引導(dǎo)學(xué)生提出此類問題，課外興趣小組再進(jìn)行深入探討與研究.課堂教學(xué)要讓學(xué)生學(xué)會思考問題，知道知識的來龍去脈，能夠提出問題.這比單純地教會學(xué)生做幾道題，死記一些解題技巧更有意義.

前幾類問題中都只有an，但有些問題會出現(xiàn)an與Sn的關(guān)系，對于這類問題通常應(yīng)用的是an=Sn-Sn-1（n≥2）.

問題E1若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn=2an+ n2-4n，求通項(xiàng)公式an.

解：由Sn=2an+n2-4n，可得a1=3，且Sn-1=2an-1+（n-1）2-4（n-1）（n≥2），

兩式相減并整理可得an=2an-1-2（n-1）+3.

再由待定系數(shù)法得

an-2n+1=2［an-1-2（n-1）+1］，

所以數(shù)列{an-2n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an=2n+2n-1，驗(yàn)證n=1也滿足.所以an=2n+2n-1.

問題E2若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1且滿足an+1=

則Sn=n·2n-1（n≥2），當(dāng)n=1時，S1=a1=1也滿足等式，所以Sn=n·2n-1.

小結(jié)6：對于出現(xiàn)an與Sn的問題，要看題目的最終目標(biāo)是什么.通過E1和E2不難發(fā)現(xiàn)，在E1中求an，則用升降足標(biāo)法作差，即把Sn消掉；在E2中求Sn，則利用an+1=Sn+1-Sn把a(bǔ)n+1消掉.所以這類題的主要思想是消元.

三、結(jié)束語

構(gòu)建主義認(rèn)為學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者主動通過新舊知識間反復(fù)的、雙向的相互作用，而建構(gòu)自己的經(jīng)驗(yàn)體系的過程.教學(xué)中，教師要在充分做好“雙基”復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，選擇一些基礎(chǔ)性、啟發(fā)性以及綜合性的例題.不要脫離基礎(chǔ)而搞所謂的拔高題，不過分地追求技巧教學(xué).教師要引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度對知識進(jìn)行建構(gòu)、分析、理解，形成良好的教學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

教學(xué)過程中教師不能無視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)以及思維習(xí)慣，而要把學(xué)生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗(yàn)、思維能力作為新知識的出發(fā)點(diǎn)，通過啟發(fā)與引導(dǎo)，讓學(xué)生不斷充實(shí)與完善自己的知識結(jié)構(gòu).我們要清楚地認(rèn)識到教學(xué)過程不僅僅是知識、經(jīng)驗(yàn)的傳遞，而是新舊知識間的轉(zhuǎn)換以及結(jié)構(gòu)重組處理的過程.所以在中小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)中我們要注意“數(shù)學(xué)情境與提出問題”.提出數(shù)學(xué)問題和解決數(shù)學(xué)問題是相互引發(fā)的，在解決數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)應(yīng)用的過程中，已解決的問題和應(yīng)用中的成果又可以作為提出新問題的數(shù)學(xué)情境，引發(fā)學(xué)生深一層次的探究與思考．

因此在上復(fù)習(xí)課時，教師不能以題海代復(fù)習(xí)，不能機(jī)械地羅列知識點(diǎn)以及例題.要注意教學(xué)策略，要選擇好題，并發(fā)現(xiàn)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系；并要做到例題之間過渡自然，通過設(shè)立數(shù)學(xué)情境與提出問題，促進(jìn)學(xué)生在課堂上積極地去思考，盡量做到學(xué)有所思，學(xué)有所悟.通過學(xué)習(xí)體會到數(shù)學(xué)的自然與美，使學(xué)生能夠舉一反三、觸類旁通，不斷提高學(xué)習(xí)效率.同時通過課堂教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，不斷提高學(xué)生提出問題與解決問題的能力，使學(xué)生形成對知識主動探究的態(tài)度，這樣的教學(xué)方式對于培養(yǎng)、提高學(xué)生的思維能力、數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.這些都充分體現(xiàn)新課程改革的核心思想.本文也正是基于這樣的教學(xué)理念，選擇了一個具體的課程內(nèi)容（遞推數(shù)列通項(xiàng)公式），做了一些嘗試，并取得了一些實(shí)質(zhì)性的教學(xué)效果.同時也希望我們的這些思考能引發(fā)更多教育研究者對數(shù)學(xué)教學(xué)策略改進(jìn)與提高的關(guān)注和研究.

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2.李邦河.數(shù)學(xué)概念的發(fā)展［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)（8），2009.

3.呂傳漢，汪秉彝．再論中小學(xué)“數(shù)學(xué)情境與提出問題”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002，11（4）．