在構(gòu)造中發(fā)現(xiàn)，在合作中提煉——高一“分段函數(shù)”教學(xué)嘗試

☉浙江省象山縣第二中學(xué)　呂增鋒

☉浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)裘燕娜

在構(gòu)造中發(fā)現(xiàn)，在合作中提煉——高一“分段函數(shù)”教學(xué)嘗試

☉浙江省象山縣第二中學(xué)呂增鋒

☉浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)裘燕娜

一方面，教材（人教A版）中介紹分段函數(shù)的篇幅少得可憐，只給了兩道例題，分段函數(shù)處于“被遺忘的邊緣”；另一方面，針對(duì)分段函數(shù)的考查層出不窮，并且呈現(xiàn)難度逐漸加大的趨勢(shì)，分段函數(shù)成了“高考的寵兒”.面對(duì)這一現(xiàn)實(shí)，我們不得不重新審視“分段函數(shù)”的教學(xué).

一、前期的思考

（一）教學(xué)時(shí)機(jī)的把握

在教材中，分段函數(shù)被安排在“函數(shù)的表示法”這一節(jié)中，其目的是通過(guò)具體的例子，使學(xué)生對(duì)分段函數(shù)有一個(gè)初步的了解，包括實(shí)際背景、結(jié)構(gòu)特征、定義等.但僅僅具備這些認(rèn)識(shí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，學(xué)生還需要進(jìn)一步了解分段函數(shù)的性質(zhì)，比如單調(diào)性、奇偶性、最值等，而這些性質(zhì)是后面章節(jié)探討的內(nèi)容，因此，對(duì)于分段函數(shù)的系統(tǒng)教學(xué)宜晚不宜早.我們是在學(xué)生學(xué)完了這個(gè)章節(jié)的所有知識(shí)后再進(jìn)行分段函數(shù)的教學(xué).這樣做的好處：一是學(xué)生具備了進(jìn)一步研究分段函數(shù)性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)；二是通過(guò)分段函數(shù)的學(xué)習(xí)，可以對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行進(jìn)一步回顧和梳理.

（二）教學(xué)素材的選取

眾所周知，分段函數(shù)通常是以習(xí)題的形式“碎片化”地分布在各地的試卷、練習(xí)當(dāng)中.從分段函數(shù)的“題?！敝袛X取相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，然后加以分類整理打造新課.這樣做似乎很“對(duì)路”，但也容易產(chǎn)生不良的后果.比如，純粹的習(xí)題講解，容易導(dǎo)致枯燥、無(wú)趣，這不是“新授課”該呈現(xiàn)的風(fēng)格；分段函數(shù)題目綜合性較強(qiáng)，選題不當(dāng)很容易超出高一學(xué)生的能力范圍.如何既能讓學(xué)生深入理解分段函數(shù)，又能使課堂教學(xué)自然生動(dòng)，這使得我們不得不仔細(xì)斟酌.

一般情況下，復(fù)雜的函數(shù)都是由若干個(gè)簡(jiǎn)單的基本初等函數(shù)組合而成，分段函數(shù)也不例外.對(duì)學(xué)生而言，最熟悉的函數(shù)莫過(guò)于這三個(gè)函數(shù).能不能通過(guò)這三個(gè)函數(shù)構(gòu)造出符合條件的分段函數(shù)呢？若學(xué)生能夠熟練構(gòu)造分段函數(shù)，那么對(duì)于分段函數(shù)的理解必然也不在話下.

二、教學(xué)過(guò)程

（一）認(rèn)識(shí)分段函數(shù)

提示：直接選擇上述函數(shù)構(gòu)造分段函數(shù)；選上述若干個(gè)函數(shù)通過(guò)加減運(yùn)算得到新的函數(shù)，以這些新函數(shù)構(gòu)造分段函數(shù).

意圖：通過(guò)“構(gòu)造”這個(gè)思維活動(dòng)既可以體現(xiàn)學(xué)生對(duì)分段函數(shù)的原有認(rèn)知，又可以進(jìn)一步明確分段函數(shù)的定義與特征.

由于構(gòu)造具有隨意性，部分學(xué)生一不小心就會(huì)構(gòu)造“錯(cuò)誤”.

錯(cuò)誤主要集中在兩點(diǎn)：一是各段之間的定義域出現(xiàn)交叉重疊，二是分段中出現(xiàn)了解析式相同的情景.這兩點(diǎn)也是學(xué)生常犯的錯(cuò)誤.通過(guò)展示錯(cuò)誤，分析錯(cuò)誤原因，教師再進(jìn)行針對(duì)性的糾錯(cuò)，從而使分段函數(shù)的概念得到了明晰.

（二）探究單調(diào)性

學(xué)生從未接觸過(guò)分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題思維要求顯然相對(duì)較高，所以，教師采取了小組合作的探究方式，并且要求每個(gè)小組舉出兩個(gè)符合要求的分段函數(shù).

意圖：學(xué)生在構(gòu)造中主動(dòng)發(fā)現(xiàn)分段函數(shù)單調(diào)性的實(shí)質(zhì)；小組合作學(xué)習(xí)方式有利于集中群體智慧，快速完成學(xué)習(xí)任務(wù).

下面是部分小組的研究成果：

通過(guò)小組合作，學(xué)生發(fā)現(xiàn)分段函數(shù)要具備單調(diào)性，每段必須單調(diào).比如，要使分段函單調(diào)遞增，每段首先必須要遞增.但這樣的認(rèn)識(shí)還不全面，比如，以下幾個(gè)函數(shù)雖然每一段都是遞增的，但它們?cè)诙x域上卻不單調(diào).這到底是為什么呢？

教師畫(huà)出這幾個(gè)分段函數(shù)的圖像，很容易就給出了清晰的解釋.于是，通過(guò)簡(jiǎn)單的引導(dǎo)，學(xué)生自然提煉出使分段函數(shù)具有單調(diào)性的另一個(gè)條件：在各段銜接處函數(shù)值的變化與函數(shù)的整體單調(diào)性保持一致.例如，f（x）=盡管兩段都遞增，但當(dāng)x→0時(shí)+∞，這顯然與單調(diào)遞增矛盾.

圖1

學(xué)生在構(gòu)造函數(shù)過(guò)程中，“盲目拼湊”的現(xiàn)象嚴(yán)重，這直接影響了構(gòu)造的效率.若把這些“原料”函數(shù)畫(huà)在同一坐標(biāo)系下，借助圖像，選擇合適的圖形片段就很容易構(gòu)造出符合要求的分段函數(shù).如圖1所示，若同樣以y=x2與y=-作為基本函數(shù)，只要在選擇的圖形片段上注意保持總體遞增的趨勢(shì)，也能構(gòu)造單調(diào)遞增的分段函數(shù)，比如借助圖像不僅可以達(dá)到“快速判斷”的效果，而且能夠構(gòu)造出更多符合要求的分段函數(shù).

（三）探究奇偶性

同樣采用小組合作的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生寫(xiě)出盡可能多的符合要求的分段函數(shù).

意圖：通過(guò)增加“原料”函數(shù)的數(shù)量進(jìn)一步豐富分段函數(shù)的類型，有利于歸納分段函數(shù)奇偶性的特點(diǎn).

有了構(gòu)造單調(diào)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，再加上圖像的輔助作用，學(xué)生得到了很多具有奇偶性的分段函數(shù).列舉部分如下所示：

思考：觀察上述函數(shù)，發(fā)現(xiàn)構(gòu)成這些分段函數(shù)的各段函數(shù)本身也具有奇偶性，比如其中y=本身都是奇函數(shù)，難道這是普遍規(guī)律嗎？

這就化歸為已知分段函數(shù)其中一段的解析式，根據(jù)奇偶性求另一段的解析式問(wèn)題.容易求得當(dāng)x<0時(shí)，f（x）= x2-x，則顯然，這個(gè)分段函數(shù)的兩段本身并不具有奇偶性.

不僅如此，教師可以趁熱打鐵，指導(dǎo)學(xué)生不通過(guò)圖像，直接通過(guò)解析式，根據(jù)定義證明分段函數(shù)的奇偶性.這樣就實(shí)現(xiàn)了從“數(shù)與形”兩個(gè)方面揭示分段函數(shù)奇偶性特征的目的.

（1）若f（x）是奇函數(shù)，求a的值；

（2）當(dāng)a>0時(shí)，求f（x）在［-2，2］上的最小值.

三、教學(xué)反思

（一）讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為自主發(fā)現(xiàn)的過(guò)程

數(shù)學(xué)發(fā)展歷史表明，數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程，從某種意義上講就是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程.數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)的心搏，沒(méi)有數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，便沒(méi)有數(shù)學(xué)生命.新課程也強(qiáng)調(diào)要讓學(xué)生的“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為再創(chuàng)造，再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程”.當(dāng)然，數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程實(shí)際上也是明確問(wèn)題、提出猜想的過(guò)程.通常從具體的問(wèn)題入手，通過(guò)觀察、試驗(yàn)、分析、綜合、抽象概括等思維過(guò)程，達(dá)到發(fā)現(xiàn)新知的目的.本節(jié)課最大的亮點(diǎn)就是充分給予了學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，通過(guò)由易到難、逐層遞進(jìn)的方式“構(gòu)造”豐富多樣的分段函數(shù)，從而自然而然地發(fā)現(xiàn)分段函數(shù)的特征與性質(zhì).正所謂“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”，這種以“自主發(fā)現(xiàn)”式的課堂應(yīng)該成為教學(xué)的主旋律.

（二）讓合作學(xué)習(xí)成為課堂教學(xué)的常態(tài)

合作學(xué)習(xí)可以解決個(gè)體無(wú)法解決的疑難，通過(guò)小組討論、互相啟發(fā)，達(dá)到優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，共同解決疑難.合作學(xué)習(xí)使學(xué)生思維的火花得到完美的綻放，實(shí)現(xiàn)了教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生、教師與教師的多邊互動(dòng)，從而使課堂呈現(xiàn)百家爭(zhēng)鳴的新氣象.本節(jié)課的很多“構(gòu)造”都是通過(guò)合作學(xué)習(xí)才得以實(shí)現(xiàn)，否則僅憑“單槍匹馬”很難完成探究任務(wù)，并且很多有價(jià)值的發(fā)現(xiàn)和規(guī)律的提煉靠的也是集體的智慧.當(dāng)然，對(duì)于從來(lái)沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)“小組合作，討論交流”的學(xué)生來(lái)說(shuō)，很難在“偶爾”的幾次合作學(xué)習(xí)中取得預(yù)期的成果.“合作”應(yīng)該是一種意識(shí)，一種習(xí)慣，需要長(zhǎng)期的培養(yǎng)與完善.只有使合作學(xué)習(xí)成為課堂教學(xué)的常態(tài)，合作學(xué)習(xí)才能取得應(yīng)有的成效.