剪切模量隨深度呈指數(shù)函數(shù)增大地基中錨桿彈塑性分析

陳昌富，湯宇，梁冠亭

(湖南大學(xué) 巖土工程研究所，湖南 長(zhǎng)沙，410082)

剪切模量隨深度呈指數(shù)函數(shù)增大地基中錨桿彈塑性分析

陳昌富，湯宇，梁冠亭

(湖南大學(xué) 巖土工程研究所，湖南 長(zhǎng)沙，410082)

考慮地基土體力學(xué)性質(zhì)隨深度變化特性，假定土體剪切模量、彈性極限抗剪強(qiáng)度以及抗剪強(qiáng)度殘余系數(shù)均隨深度按指數(shù)函數(shù)增大，錨固界面采用一次跌落軟化模型，基于剪切位移法推導(dǎo)錨固段周邊土體處于彈、塑性階段時(shí)錨桿位移、軸力、剪應(yīng)力解析式，并以工程實(shí)例檢驗(yàn)該方法及基本假設(shè)的合理性。最后，基于該方法分析錨固段周邊土體剪切模量、彈性極限抗剪強(qiáng)度、抗剪強(qiáng)度殘余系數(shù)隨深度分布參數(shù)以及錨固段彈性模量對(duì)錨桿受力變形特性的影響。研究結(jié)果表明：土體力學(xué)性質(zhì)隨深度增加呈指數(shù)函數(shù)增大有利于改善錨桿工作性狀，在計(jì)算中給予合理考慮，可更加真實(shí)地反映錨桿荷載傳遞過(guò)程。

錨桿；荷載傳遞；剪切模量

由于巖土性質(zhì)的復(fù)雜性以及錨固方式的多樣性，錨桿荷載傳遞機(jī)理一直是國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)[1]。尤春安[2]利用Mindlin半空間問(wèn)題的位移解導(dǎo)出了全長(zhǎng)黏結(jié)式錨桿應(yīng)力分布的彈性解；張季如等[3]通過(guò)建立錨桿荷載傳遞雙曲函數(shù)模型獲得了錨桿摩阻力和剪切位移沿錨固體長(zhǎng)度的分布規(guī)律。KIM等[4]通過(guò)數(shù)值模擬和試驗(yàn)方法對(duì)錨桿荷載傳遞過(guò)程進(jìn)行了研究分析。為了反映巖土體的彈塑性特點(diǎn)，XIAO等[5]考慮錨固體周?chē)馏w應(yīng)變軟化特性，基于剪切位移法，探討了拉力型錨桿的荷載傳遞機(jī)理；郭銳劍等[6]在此模型假定基礎(chǔ)上，分析了在不同拉拔荷載作用下，錨桿剪應(yīng)力分布模式；同樣基于三階段線(xiàn)性黏滑模型，REN等[7]分5個(gè)階段研究了錨桿荷載傳遞全過(guò)程；段建等[8]則認(rèn)為土層錨界面服從黏滑模型，建立了錨桿拉拔臨界松動(dòng)荷載和拉拔極限荷載理論解。將地基視為均質(zhì)體是大多數(shù)巖土工程研究工作的重要前提。但是，根據(jù)土體基本性質(zhì)和大量的現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，土在正常固結(jié)或超固結(jié)條件下，其力學(xué)性質(zhì)隨深度增加有所提高[9?11]。針對(duì)此工程特性，GUO等[12?13]假設(shè)樁側(cè)土體剪切模量和極限抗剪強(qiáng)度均隨深度按冪函數(shù)增長(zhǎng)，得到了單樁彈塑性解析式；陳明中等[14]推導(dǎo)了考慮樁周土體極限摩阻力隨深度線(xiàn)性變化的單樁沉降解析式；而洪鑫等[15]在此基礎(chǔ)上提出了同時(shí)考慮樁側(cè)極限摩阻力隨深度線(xiàn)性變化和土體軟化的單樁荷載沉降關(guān)系統(tǒng)一解；王旭東等[9]則推導(dǎo)了軸向荷載作用下考慮樁側(cè)極限摩阻力和剪切剛度系數(shù)隨深度線(xiàn)性變化的單樁彈塑性解析解。然而，在國(guó)內(nèi)外錨桿研究領(lǐng)域關(guān)于考慮地基土體力學(xué)性質(zhì)隨深度變化特性的研究成果較少。但隨著巖土錨固技術(shù)的發(fā)展，其應(yīng)用領(lǐng)域越來(lái)越廣泛，錨固形式也趨于多樣化。在實(shí)際工程中錨桿垂直穿越地基或者與地基表面交角較大的情形并不罕見(jiàn)，其中最為典型就是抗浮錨桿。盡管錨桿與基樁荷載傳遞機(jī)理存在一定的相似性，因其功能、結(jié)構(gòu)、施工工藝等差異，其受力變形存在較大區(qū)別。因此，有必要研究考慮巖土體力學(xué)性能隨深度變化特性的錨桿荷載傳遞機(jī)理。本文作者考慮土體力學(xué)性質(zhì)隨深度變化，假定土體剪切模量、彈性極限抗剪強(qiáng)度以及抗剪強(qiáng)度殘余系數(shù)均隨深度按指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)，錨固界面采用一次跌落軟化模型，推導(dǎo)錨桿承載力和變形的彈塑性解析式，并在此基礎(chǔ)上分析土體力學(xué)性質(zhì)隨深度增長(zhǎng)對(duì)錨桿受力變形特性的影響，以期更真實(shí)合理地反映錨桿荷載傳遞過(guò)程。

1　錨固段力學(xué)模型建立

以錨固段頂面為坐標(biāo)原點(diǎn)沿深度方向建立坐標(biāo)系，并取深度z處的微小錨固段dz為研究對(duì)象(圖1)，根據(jù)其豎向力平衡條件有：

式中：U為錨固段周長(zhǎng)；τ(z)為深度z處錨固段周邊剪應(yīng)力；N(z)為軸力。

由錨固段拉伸變形w(z)與軸力之間的關(guān)系得：

式中：Ea為錨固段彈性模量；Aa為錨固段截面面積。

由式(1)和(2)可得錨固體荷載傳遞微分方程為

圖1　錨桿計(jì)算模型Fig. 1 Calculation model of bolt

2　錨固界面力學(xué)模型及基本假定

為了能夠反映錨固段周邊土體的軟化特性，錨固界面τ?w關(guān)系采用一次跌落軟化模型(圖2(a))，其中，λ(z)為深度z處錨固界面彈性剪切剛度；τf(z)為彈性極限抗剪強(qiáng)度；wu(z)為彈性極限位移；η(z)為抗剪強(qiáng)度殘余系數(shù)。

考慮到錨固段周邊土體剪切模量、彈性極限抗剪強(qiáng)度、抗剪強(qiáng)度殘余系數(shù)隨深度變化特性，假設(shè)：

1) 錨固段為彈性材料，截面面積為常數(shù)，錨桿軸線(xiàn)與地基表面夾角為90°。

2) 隨著深度增加，土體力學(xué)性質(zhì)越來(lái)越好，并且所受約束力也不斷增大。綜合以上特性，假設(shè)土體剪切模量隨深度按指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)[16]：G(z)=G0emz，見(jiàn)圖2(b)。其中，G0為錨固段頂部周邊土體剪切模量；m為土體剪切模量隨深度變化系數(shù)。

圖2　錨固界面簡(jiǎn)化力學(xué)模型Fig. 2 Simplified mechanical model of anchorage interface

3) 由于土體性質(zhì)和約束力隨深度增大，在拉拔荷載作用下，錨固界面因剪脹作用而引起的抗剪強(qiáng)度明顯增加，因此，假設(shè)錨固段周邊土體彈性極限抗剪強(qiáng)度τf隨深度增加也是按指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)：τf(z)=τf0enz，見(jiàn)圖2(c)。其中，τf0為錨固段頂部周?chē)馏w彈性極限抗剪強(qiáng)度；n為彈性極限抗剪強(qiáng)度隨深度變化系數(shù)。

4) 隨著深度的增加，土體所受?chē)鷫阂膊粩嘣龃螅粌H極限抗剪強(qiáng)度隨深度增加，而且殘余抗剪強(qiáng)度與極限抗剪強(qiáng)度之比亦增大[17]。于是，假設(shè)錨固段周邊土體抗剪強(qiáng)度殘余系數(shù)η隨深度變化形式如圖2(d)所示。其中，1?η0為錨固段頂部周?chē)馏w抗剪強(qiáng)度殘余系數(shù)；k為抗剪強(qiáng)度殘余系數(shù)隨深度變化系數(shù)。

基于以上基本假定，錨固界面荷載傳遞模型數(shù)學(xué)表達(dá)式為

為更好地反映土(巖)體力學(xué)性質(zhì)隨深度變化特性，本文建立的模型待定參數(shù)相對(duì)較多。針對(duì)剪切模量的確定，可取不同深度處的原狀土樣進(jìn)行室內(nèi)試驗(yàn)(三軸壓縮試驗(yàn)、快速壓縮試驗(yàn)等)，也可以進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)原位試驗(yàn)(靜力觸探、旁壓試驗(yàn)等)[18]。通過(guò)上述試驗(yàn)方法可測(cè)得土體的彈性模量，并根據(jù)彈性力學(xué)理論推算出土體剪切模量，從而確定剪切模量隨深度分布形式。而對(duì)于錨固界面荷載傳遞模型類(lèi)型及其參數(shù)的確定，可以進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)拉拔試驗(yàn)，即在錨固體內(nèi)埋設(shè)應(yīng)變片，再通過(guò)錨固體位移、軸力、周邊剪應(yīng)力之間的關(guān)系來(lái)確定荷載傳遞模型和參數(shù)[19]；也可以通過(guò)取不同深度處的原狀土樣進(jìn)行室內(nèi)剪切試驗(yàn)而確定[20]；還可以借鑒靜觸探估算單樁豎向極限承載力的方法來(lái)確定。

3　錨固段彈塑性分析

3.1彈性階段

當(dāng)作用于錨桿頂部荷載P0較小時(shí)，錨固段周邊土體全部處于彈性階段，錨固段與土體處于黏結(jié)狀態(tài)。根據(jù)剪切位移法理論[21]，錨固段豎向位移與剪應(yīng)力之間的關(guān)系為

式中：r0為錨固段半徑；rm為土體變形可以忽略不計(jì)的最大半徑，一般rm=10 r0[22]。

由式(4)和(5)可知：λ(z)=G( z)/(r0ln(rm/r0))。令ξ=ln(rm/r0)，由式(3)和(5)可得錨固段控制微分方程為

式(6)所示為非常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程，需將其變換成可求解的特殊函數(shù)，令α=UG0/(EaAar0ξm2)，，式(6)可整理成變型的Bessel方程形式：

求解式(7)可得錨固段位移的通解形式為

其中：A和B為待定系數(shù)；I和K分別為第1類(lèi)和第2類(lèi)變型的Bessel函數(shù)[23]。

由式(2)和式(8)可得錨固段軸力N(z)的通解為

式中：β=?EaAam 。

當(dāng)錨桿頂部荷載P0增加到使錨固段頂面周邊土體達(dá)到極限抗剪強(qiáng)度τf0，若荷載繼續(xù)增大，則錨固段周邊土體將由彈性階段進(jìn)入塑性階段，定義此荷載為錨桿彈性極限荷載Pe，由式(10)可求得：

深度z處錨固段周邊土體彈性極限位移wu(z)的表達(dá)式為

由式(12)可知，彈性極限位移wu(z)隨深度變化特性主要由m和n決定。當(dāng)m=n時(shí)，wu(z)為常數(shù)；當(dāng)m

3.2塑性階段

根據(jù)錨桿荷載傳遞特性可知，塑性區(qū)長(zhǎng)度zc(圖3)從錨固段頂面開(kāi)始沿深度逐漸向下發(fā)展。當(dāng)0≤z≤zc時(shí)，錨固段周邊土體處于塑性階段；當(dāng)zc≤z≤La時(shí)，錨固段周邊土體仍然處于彈性階段。C截面為塑性區(qū)與彈性區(qū)的界限截面，wc為C截面處錨固段豎向位移。所以，在0≤z≤zc范圍內(nèi)，錨固段位移wp、軸力Np和錨固段周邊剪應(yīng)力τp的表達(dá)式為

圖3　錨固段周邊土體進(jìn)入塑性階段Fig. 3 Soil in plastic stage around anchorage segment

對(duì)式(13)進(jìn)行積分求解得：

對(duì)于彈性區(qū)求解，由于邊界條件發(fā)生變化，所以錨固段主要力學(xué)性狀表達(dá)式也將發(fā)生變化。需重新考察邊界條件：Ne(La)=0，we(zc)=wc，可得彈性區(qū)錨固段位移we、軸力Ne和周邊剪應(yīng)力τe的表達(dá)式為

由于塑性區(qū)底面和彈性區(qū)頂面軸力相等，即Np(zc)=Ne(zc)，可得錨桿拉拔荷載P0與塑性區(qū)長(zhǎng)度zc(zc≥0)之間的關(guān)系式為

由式(16)可知：當(dāng)zc=0時(shí)，拉拔荷載P0即為錨桿彈性極限荷載Pe，且將zc=0代入式(16)所得結(jié)果與式(11)右邊相等，從而也相互驗(yàn)證了其正確性。

4　工程實(shí)例

為了檢驗(yàn)本文方法及基本假設(shè)的合理性，現(xiàn)以某工程5號(hào)抗浮錨桿[24]為例進(jìn)行計(jì)算。該錨桿錨固于強(qiáng)風(fēng)化鈣質(zhì)板巖中，錨固段長(zhǎng)度La=5 m，半徑r0=65 mm，采用全長(zhǎng)注漿，錨固段彈性模量Ea=18 GPa。根據(jù)工程地質(zhì)條件及相關(guān)工程經(jīng)驗(yàn)，確定錨固段周邊土體力學(xué)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1　5號(hào)錨固段周邊土體力學(xué)參數(shù)Table 1 Mechanical parameters of soil around 5th anti-floating anchor

采用本文方法和基本假定，按照表1所列土體力學(xué)參數(shù)，對(duì)錨桿加載過(guò)程進(jìn)行計(jì)算，所得荷載?位移曲線(xiàn)(P?s曲線(xiàn))如圖4所示。

圖4　錨桿P?s曲線(xiàn)Fig. 4 Curve of P?s for anchor

現(xiàn)場(chǎng)拉拔試驗(yàn)采用單調(diào)加載方式，每級(jí)讀數(shù)3次，每級(jí)讀數(shù)穩(wěn)定后方可進(jìn)行下一級(jí)加載。錨桿抗拔力由拉壓傳感器和應(yīng)變儀測(cè)定，錨桿位移由百分表測(cè)量。由圖4表明：本文方法計(jì)算曲線(xiàn)與實(shí)測(cè)曲線(xiàn)發(fā)展趨勢(shì)相吻合，計(jì)算所得錨桿極限承載力Pult為432 kN，實(shí)測(cè)值為420 kN，相對(duì)誤差為2.85%。

而將地基視為均質(zhì)體(不考慮巖土體力學(xué)性質(zhì)隨深度變化，參考文獻(xiàn)[8]的計(jì)算方法)所得曲線(xiàn)與實(shí)測(cè)曲線(xiàn)誤差相對(duì)較大，此時(shí)錨桿Pult僅為311 kN，與實(shí)測(cè)值相比，其相對(duì)誤差達(dá)26%。由此可知，如果不考慮地基土(巖)體力學(xué)性質(zhì)隨深度變化特性，可能低估錨桿的極限承載力，在實(shí)際工程中造成不必要的浪費(fèi)。

5　參數(shù)分析

為了分析計(jì)算參數(shù)(Ea，m，n，k)對(duì)錨桿受力變形特性的影響，現(xiàn)以某抗浮錨桿為例進(jìn)行分析，該錨桿錨固段長(zhǎng)度La=8 m，彈性模量Ea=20 GPa，半徑r0=65 mm，垂直錨固于地基中。錨固段周邊土體力學(xué)參數(shù)如表2所示。

表2　錨固段周邊土體力學(xué)參數(shù)Table 2 Mechanical parameters of soil around anti-floating anchor

5.1Ea和m對(duì)錨桿彈性極限荷載Pe的影響

彈性極限荷載Pe是錨桿受力變形特性的一個(gè)重要指標(biāo)，當(dāng)錨桿所承受拉拔荷載小于Pe時(shí)，錨固段周邊土體處于彈性階段，錨固段與周邊土體無(wú)相對(duì)位移，錨桿頂部位移與所受拉拔力呈線(xiàn)性關(guān)系。當(dāng)錨桿頂部拉拔荷載大于Pe時(shí)，雖然尚未達(dá)到錨桿極限承載力，但是錨桿頂部位移隨荷載增大而迅速增加，直接影響到錨固工程的正常工作。所以，在實(shí)際工程中，應(yīng)該盡量增大錨桿彈性極限荷載，使錨桿處于彈性階段。

圖5所示為錨固體彈性模量不同的情況下土體剪切模量非均勻分布參數(shù)m與Pe的關(guān)系。由圖5可知：在Ea一定時(shí)，Pe隨m增大而增大，呈明顯的線(xiàn)性關(guān)系；在其他條件不變的情況下，Ea越大錨桿所對(duì)應(yīng)的Pe越大，且Pe隨m增長(zhǎng)的幅度也越大。所以，在對(duì)錨桿進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)，應(yīng)合理考慮土體剪切模量隨深度變化特性，以期更加準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)錨桿彈性極限荷載。特別是對(duì)變形要求比較嚴(yán)格的錨固工程，需要使錨桿獲得較大的彈性極限荷載，一方面可以通過(guò)增加水泥砂漿強(qiáng)度等級(jí)來(lái)提高錨固段彈性模量；另一方面還可以考慮通過(guò)控制錨固段長(zhǎng)徑比來(lái)增加其剛度，將有利于頂部荷載往深部傳遞，充分發(fā)揮深部巖土體力學(xué)性能。

圖5　Ea和m對(duì)Pe的影響Fig. 5 Influence of Eaand m on Pe

5.2m對(duì)錨固段周邊剪應(yīng)力分布形式的影響

錨固段周邊剪應(yīng)力是錨桿重要的力學(xué)性狀之一，其分布形式也直接決定了錨桿錨固段長(zhǎng)度以及極限承載力。圖6所示為拉拔荷載P0=200 kN(此時(shí)錨固段周邊土體全部處于彈性階段)，m對(duì)錨固段周邊剪應(yīng)力分布形式的影響。

圖6表明：與不考慮土體剪切模量隨深度變化(m=0)的情況相對(duì)比，考慮剪切模量隨深度增加對(duì)應(yīng)的錨固段周邊剪應(yīng)力隨深度增加衰減速率較小，且m越大衰減速率越小。當(dāng)m足夠大時(shí)，由于在靠近錨桿底部，隨深度增加土體剪切模量(錨固界面彈性剪切剛度)增長(zhǎng)速率可能大于錨固段剪切位移的減小速率，使得剪應(yīng)力在錨固段底部反而增大，且m越大剪應(yīng)力增大越早也越明顯。

圖6　m對(duì)剪應(yīng)力分布形式的影響Fig. 6 Influence of m on shear stress curves

5.3n和k對(duì)錨桿受力變形的影響

同時(shí)考慮錨固段周邊土體剪切模量、極限抗剪強(qiáng)度、軟化系數(shù)隨深度變化的特性，根據(jù)前面所推導(dǎo)解析式可知，m對(duì)錨桿的影響主要體現(xiàn)在彈性工作階段，而n和k主要影響錨桿塑性工作階段，圖7所示為n和k取值不同的情況下錨桿荷載?位移曲線(xiàn)(即P?s曲線(xiàn))。

圖7　n和k對(duì)錨桿P?s曲線(xiàn)的影響Fig. 7 Influence of n and k on P?s curves

由圖7可知：當(dāng)錨桿進(jìn)入塑性工作階段，在其他條件相同的情況下，n和k越大，錨桿頂部位移越小，且錨桿的極限承載力也越大。這是由于當(dāng)錨桿進(jìn)入塑性工作階段，n和k較小時(shí)，隨深度的增加錨固段周邊土體彈性極限抗剪強(qiáng)度和抗剪強(qiáng)度殘余系數(shù)增長(zhǎng)不明顯，隨著拉拔荷載進(jìn)一步增大，塑性區(qū)迅速向下發(fā)展，并很快達(dá)到極限承載力，最后錨桿被拔出。而當(dāng)n和k較大時(shí)，隨深度的增加土體彈性極限抗剪強(qiáng)度和抗剪強(qiáng)度殘余系數(shù)增長(zhǎng)明顯，能夠有效延緩錨固段塑性區(qū)向深部發(fā)展速率，使錨桿獲得較大的極限承載力和相同荷載作用下較小的頂部位移。

6　結(jié)論

1) 對(duì)錨固界面τ?w關(guān)系采用一次跌落軟化模型，建立了基于考慮地基土體力學(xué)性質(zhì)隨深度變化的錨桿彈塑性解析式，更加真實(shí)合理地反映了錨桿荷載傳遞過(guò)程，對(duì)錨桿設(shè)計(jì)計(jì)算具有一定的參考價(jià)值。

2) 在考慮土體剪切模量隨深度增加而增長(zhǎng)的情況下，可以通過(guò)提高水泥砂漿強(qiáng)度等級(jí)來(lái)增加錨固段彈性模量，控制長(zhǎng)徑比來(lái)提高錨固段剛度，使深部巖土體力學(xué)潛能得到充分發(fā)揮，以進(jìn)一步改善錨桿彈性極限荷載和位移。

3) 剪切模量隨深度增長(zhǎng)的特性使錨固段周邊剪應(yīng)力隨深度增加衰減速率變小，且m越大衰減速率越小。當(dāng)m足夠大時(shí)，剪應(yīng)力在錨固段底部隨深度增加反而增大，且m越大剪應(yīng)力增大越早也越明顯。

4) 針對(duì)本文待定參數(shù)較多的問(wèn)題，提供了幾種常用的參數(shù)確定方法。但由于巖土介質(zhì)復(fù)雜多變，各方法的適用性尚有待驗(yàn)證，需要積累更多的經(jīng)驗(yàn)以供實(shí)際工程參考。

5) 本文基于錨桿垂直地基表面布置的情形進(jìn)行計(jì)算分析，對(duì)于非垂直但交角較大的情形，只需將土體力學(xué)參數(shù)隨深度分布函數(shù)稍作變換即可。

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(編輯 趙俊)

Elastic-plastic analysis for bolts in ground with shear modulus increasing following an exponential function with depth

CHEN Changfu, TANG Yu, LIANG Guanting
(Geotechnical Engineering Institute, Hunan University, Changsha 410082, China)

Considering the characteristics of mechanical properties of the ground soil varying with depth, it is assumed that soil’s shear modulus, shear strength in the elastic limit state and residual coefficient of shear strength increase following exponential functions with depth. Based on the shear displacement method, analytic formulas of the displacement, axial force and shear stress of bolts were derived by using the dropping softening mode for anchorage interface when the surrounding soil is in elastic or plastic stress state. The good agreement of the engineering project with the present method confirmed the rationality of the proposed approach and basic assumptions. Finally, influences of distribution parameters with depth of soil’s shear modulus, shear strength in the elastic limit state, residual coefficient of shear strength and elastic modulus of anchorage segment on mechanical and deformation characteristics of bolts were also analyzed. The results indicate that mechanical properties of soil increasing following exponential functions with the increase of depth have benefits on working traits of bolts, meanwhile, reasonable consideration in the calculation can more truly reflect the load transfer process of bolts.

bolt; load transfer; shear modulus

TU476

A

1672?7207(2016)03?0905?08

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.03.025

2015?03?23；

2015?06?10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41572298) (Project(41572298) supported by the National Natural Science Foundation of China)

陳昌富，博士，教授，從事邊坡工程及軟土地基處理研究；E-mail: cfchen@163.com