基于提升小波的機械振動信號自適應(yīng)壓縮感知

王懷光，張培林，吳定海，范紅波

(軍械工程學(xué)院 車輛與電氣工程系，河北 石家莊，050003)

基于提升小波的機械振動信號自適應(yīng)壓縮感知

王懷光，張培林，吳定海，范紅波

(軍械工程學(xué)院 車輛與電氣工程系，河北 石家莊，050003)

針對復(fù)雜裝備狀態(tài)監(jiān)測所面臨的海量數(shù)據(jù)采樣與傳輸問題，提出一種基于提升小波的自適應(yīng)壓縮感知方法。針對方法中提升小波信號處理中最優(yōu)參數(shù)確定問題，利用稀疏度作為控制因子對提升小波濾波器和分解層數(shù)進(jìn)行優(yōu)選，并結(jié)合分塊閾值降噪方法實現(xiàn)對機械振動信號的最佳稀疏分解。基于分塊壓縮感知的思想和滿足RIP條件下觀測次數(shù)下限的指導(dǎo)原則，解決提升小波分解各節(jié)點信號觀測數(shù)據(jù)量的確定問題，構(gòu)建基于提升小波的自適應(yīng)壓縮感知的機械狀態(tài)監(jiān)測體系。研究結(jié)果表明：該方法能夠有效地減少壓縮感知觀測數(shù)據(jù)量，提高信號的重構(gòu)速度和重構(gòu)質(zhì)量。

自適應(yīng)壓縮感知；稀疏度；提升小波；數(shù)據(jù)壓縮；機械振動；狀態(tài)監(jiān)測

為了實時掌握裝備運行狀態(tài)信息，應(yīng)用了基于CAN(controller area network)總線的分布式狀態(tài)監(jiān)測網(wǎng)絡(luò)，其前端分布式節(jié)點通過傳感器采集各關(guān)鍵部件的響應(yīng)信息，所測數(shù)據(jù)不僅包含慢變信號，如油溫、水溫、油壓、轉(zhuǎn)速等，還包含機械振動等快變信號，機械振動信號多為動態(tài)復(fù)雜非平穩(wěn)信號，傳統(tǒng)的以Shannon或Nyquist采樣定理為基礎(chǔ)的信息獲取對信號的采樣頻率要求越來越高，常常會造成海量數(shù)據(jù)，給數(shù)據(jù)通信帶來一定的困難。壓縮感知(compressed sensing)是近年來提出的一種集采樣與壓縮為一體的新的信息獲取與信息處理理論[1?2]，以遠(yuǎn)低于信號Nyquist頻率的采樣率對信號進(jìn)行采樣，可大大減少狀態(tài)監(jiān)測時所采集數(shù)據(jù)量。然而壓縮感知與信號的最高頻率無關(guān)，而與信號的稀疏性密切相關(guān)，而工程實測信號并非都是稀疏的，因此，首先需要將信號轉(zhuǎn)換到具有稀疏特性的某已知變換域，利用信號在該域上的稀疏逼近來表示。信號的稀疏性是進(jìn)行壓縮感知準(zhǔn)確重建的前提條件。文獻(xiàn)[3?6]應(yīng)用離散余弦變換、小波稀疏分解特性，對圖像、語音等信號進(jìn)行壓縮感知，特別是文獻(xiàn)[7]結(jié)合傳統(tǒng)小波的多尺度分解，對高頻系數(shù)進(jìn)行壓縮感知，以稀疏度的4倍來確定觀測次數(shù)，并不具有廣泛的適用性，常常導(dǎo)致數(shù)據(jù)的溢出，不適合機械振動監(jiān)測領(lǐng)域等復(fù)雜信號的應(yīng)用。本文作者針對機械狀態(tài)監(jiān)測信號的特點，利用提升小波變換提出了一種集信號降噪和數(shù)據(jù)壓縮為一體的機械振動信號自適應(yīng)多尺度壓縮感知方法，分析了濾波器和分解層數(shù)對提升小波分解的稀疏度的影響，并結(jié)合分塊閾值方法對分解系數(shù)進(jìn)行降噪，提高了信號的稀疏度，借鑒分塊壓縮感知的思想并基于稀疏系數(shù)觀測次數(shù)下界的指導(dǎo)原則，確定各層分解系數(shù)的壓縮感知觀測次數(shù)，能夠在有效減少觀測數(shù)據(jù)量，實現(xiàn)對振動信號數(shù)據(jù)壓縮效果的同時預(yù)制噪聲干擾，保留有用信息，提高壓縮感知重構(gòu)速度和重構(gòu)質(zhì)量，通過仿真信號和實測信號的對比分析驗證了其有效性和良好的應(yīng)用前景。

1　基于提升小波變換的信號稀疏表示

1.1提升小波變換

提升小波變換能夠?qū)崿F(xiàn)信號的稀疏分解，從而有利于信號的壓縮等后續(xù)處理，數(shù)據(jù)長度為2M的提升小波分解過程為[8]：

1) 分裂。尺度j下低頻系數(shù)cj[k]分裂為奇樣本和偶樣本。

提升小波繼承了經(jīng)典小波多分辨率特性，運算速度快，占用空間小，并且變換后數(shù)據(jù)長度不變。

1.2稀疏度控制因子

信號的稀疏程度直接關(guān)系到后續(xù)信號處理的質(zhì)量，所分析的信號并非都是稀疏信號，這就需要先對信號進(jìn)行稀疏分解。信號的稀疏表示具有很多的優(yōu)良特性，能有效進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮和特征提取。

信號分解一般是基于完備正交基分解，設(shè)n維Hilbert空間中存在一組完備正交基{?i}，則對任意一個n維信號s，下信號分解形式為

提升小波變換采用尺度濾波器和細(xì)節(jié)濾波器組成完備的小波基，提升小波對信號的分解，將信號在小波基上展開，其實是運用濾波器組去匹配原信號，若所選擇的濾波器形貌與所要分析的信號最相似，則匹配效果好，分解變換后的小波系數(shù)的稀疏性更好，小波分解后，大的細(xì)節(jié)系數(shù)幾乎都是成塊出現(xiàn)的，體現(xiàn)了“稀疏簇聚”特征。由于小波濾波器有Haar，Daubechies，Symlet和Coiflets系列等，它們形態(tài)各異，不同濾波器的選擇對信號分解的稀疏程度密切相關(guān)，分解層數(shù)越多，分解越細(xì)，分解層數(shù)也是需要考慮的另一個重要參數(shù)。

為合理確定濾波器和分解層數(shù)，定義了稀疏度來對信號分解的稀疏程度進(jìn)行定量描述。

定義1 對于一個離散的真實信號x∈RN×1，信號的稀疏度K為

結(jié)合小波閾值處理的信噪分離原理，達(dá)到有效計算分解后提升小波系數(shù)的稀疏度，假設(shè)確定的閾值為T，則可計算分析信號S0的稀疏度：

提升小波分解信號的稀疏度等于各節(jié)點小波系數(shù)稀疏度之和。為實現(xiàn)對信號的最佳稀疏分解，便于后續(xù)的壓縮感知，以稀疏度控制因子作為控制指標(biāo)，優(yōu)選提升小波變換的濾波器和分解層數(shù)，從而提高信號稀疏分解的效果。

1.3提升小波系數(shù)分塊閾值降噪處理方法

狀態(tài)監(jiān)測信號難免含有噪聲，為進(jìn)一步提高信號稀疏度，抑制噪聲干擾，將信號降噪融合于數(shù)據(jù)壓縮過程，提高壓縮感知的效果。分塊閾值在閾值估計時考慮鄰域小波系數(shù)的影響，提高了估計精度和收斂速度，具有較好自適應(yīng)性、漸近最優(yōu)性和均方誤差特性，分塊閾值具體算法如下[9]：

1) 對提升小波分解節(jié)點系數(shù)ωi進(jìn)行分塊bi，取塊長度為L0=[(logn)/2]，邊界處的塊長度取實際長度。

2) 對塊長度進(jìn)行擴展L=L0+2L1(其中L1=max(1,[L0/2])，為擴展塊Bi)。

3) 利用擴展分塊來估計塊bi的收縮閾值

4) 對所有系數(shù)塊bi，采用軟閾值方法處理。

其中：kib∈ω。

2　提升小波自適應(yīng)多尺度壓縮感知

2.1壓縮感知原理

在監(jiān)測系統(tǒng)中，傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)壓縮模式是先采樣，編碼壓縮后進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸，接收數(shù)據(jù)后進(jìn)行解壓縮，而壓縮感知的核心思想是將壓縮和采樣合并進(jìn)行，先對采集信號的非自適應(yīng)線性投影(測量值)，再根據(jù)相應(yīng)重構(gòu)算法由測量值重構(gòu)原始信號。壓縮傳感理論主要包括信號的稀疏表示、觀測采樣和重構(gòu)算法等3個方面[10?12]。

1) 稀疏信號。待測信號并非都是稀疏的，對于非稀疏信號需要進(jìn)行稀疏變換，給定一組基，對于信號x可以表示為Ψ的線性組合形式：

2) 觀測采樣。對于在適當(dāng)選擇的基Ψ上具有稀疏描述的信號x∈RN，構(gòu)建一個觀測矩陣(M ＜＜ N)，獲得信號x在觀測矩陣Φ上的投影：

式中：y為測量向量；Φ為測量基，ΦΨ稱為傳感系統(tǒng)，從而實現(xiàn)對原信號的壓縮采樣，常用的觀測矩陣有隨機矩陣和確定性觀測矩陣兩大類。

3) 信號重構(gòu)。信號的重建本身是一個欠采樣條件(M ＜＜ N)病態(tài)的求逆問題，結(jié)合信號稀疏性的優(yōu)勢，通過尋找滿足y中的M個測量向量的最稀疏信號，即信號x是下列l(wèi)0最小化問題的解：

為了方便求解，一般將上述NP-hard問題轉(zhuǎn)化為最小化l1問題進(jìn)行求解，目前信號重構(gòu)已有很多算法，主要包括凸優(yōu)化方法、貪婪算法和組合算法3類。

2.2自適應(yīng)多尺度壓縮感知

提升小波對信號進(jìn)行分解后，各層節(jié)點的信號的稀疏度是不同的，采用同樣的觀測次數(shù)顯然不合適，為了保證信號能夠精確重構(gòu)，必然要采用較高的觀測次數(shù)，這對于稀疏度較大的節(jié)點信號來說，造成計算資源的浪費。因此，本文提出一種提升小波自適應(yīng)多尺度壓縮感知，如圖1所示。

圖1　提升小波自適應(yīng)多尺度壓縮感知Fig. 1 Adaptive multiscale compressed sensing of lifting wavelet transform

圖1所示為基于提升小波自適應(yīng)多尺度壓縮感知的分布式機械狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)采集傳輸過程。首先，前端的智能節(jié)點對信號進(jìn)行多層提升小波分解，計算各層節(jié)點信號的稀疏度，并反饋控制提升小波濾波器和分解層數(shù)的優(yōu)化選擇，同時，節(jié)點信號的稀疏度也正好指導(dǎo)下一步壓縮感知的觀測次數(shù)的確定，從而在保證信號重構(gòu)精度的條件下，實現(xiàn)對測試信號的最大限度壓縮，減少后續(xù)CAN總線所需傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量。CAN總線將觀測數(shù)據(jù)傳輸?shù)缴衔粰C后，利用上位機強大計算能力，重構(gòu)出各節(jié)點的細(xì)節(jié)或近似信號，再利用提升小波重構(gòu)得到原測試信號，進(jìn)而進(jìn)行相關(guān)的信號處理，實現(xiàn)對機械運行狀態(tài)的實時監(jiān)測和故障診斷。

對于稀疏度為k的節(jié)點信號，需要知道觀測次數(shù)的下限，才能夠合理確定觀測次數(shù)。

2.3觀測次數(shù)下限

對于k稀疏信號x可以實現(xiàn)精確重構(gòu)的充分條件是觀測矩陣Φ對于任意和常數(shù)δk∈(0,1)有k階約束等距性，即

對于觀測矩陣Am×n滿足以上RIP準(zhǔn)則時，如果k

結(jié)合觀測矩陣的RIP準(zhǔn)則和上述特性，可以得出：

進(jìn)而推導(dǎo)出滿足精確重構(gòu)條件下的觀測數(shù)下限為[13]

其中，0.28C≈。

因此，對于本文所提的基于提升小波自適應(yīng)多尺度的機械振動信號壓縮感知各節(jié)點觀測次數(shù)取值如下：

在合理選取閾值，確定稀疏度的條件下，為保證重構(gòu)質(zhì)量，其中：C1取1.1C～1.5C，C2可取1.0～1.2。

3　計算結(jié)果分析

3.1仿真信號分析

下面運用仿真信號來驗證上述方法的有效性。產(chǎn)生含噪信號Blocks信號，長度為4 096，信噪比為18，如圖2所示。

圖2　含噪仿真信號Fig. 2 Simulated signal containing noise

為確定提升小波變換各參數(shù)，對含噪信號進(jìn)行提升小波分解，以稀疏度因子為控制指標(biāo)，試驗中所選用的濾波器為Matlab庫函數(shù)中常用的提升cdf4.6，haar，db7，sym6，bs3和9/7小波，分解層數(shù)設(shè)置為1～8層分解，對分解信號各節(jié)點進(jìn)行的分塊閾值降噪，計算其稀疏度，如圖3所示。

圖3　濾波器與分解層數(shù)對分解信號稀疏度的影響Fig. 3 Signal sparsity influence factors of filters and decomposition layers

從圖3可見：不同的濾波器對分析信號的表現(xiàn)差異較大，有的濾波器隨小波分解數(shù)的增加，稀疏度幾乎不變，另外，也并非分解數(shù)越多就越稀疏，為了達(dá)到定量描述，表1所示為不同濾波器和分解數(shù)下的信號稀疏度?？梢姡簩τ贐locks信號，haar濾波器能夠?qū)崿F(xiàn)對分析信號的最佳匹配，實現(xiàn)最佳稀疏分解，從分解層數(shù)和計算量綜合考慮，4層分解便可實現(xiàn)稀疏度高、效果好的稀疏分解。

表1　不同濾波器和分解數(shù)的信號稀疏度Table 1 Signal sparsity of different filters and decomposition layers

圖4　重構(gòu)信號效果比較Fig. 4 Comparison of signal reconstruction of different methods

從圖4可以看出：傳統(tǒng)的壓縮感知方法重構(gòu)的信號還存在許多毛刺，平滑性差，而本文壓縮感知方法的重構(gòu)信號更好地保留了原信號的特征，有效地抑制了噪聲的影響。

表2所示為傳統(tǒng)壓縮感知方法與本文方法對仿真信號的分析結(jié)果。由表2可見：同樣采用haar濾波器進(jìn)行4層分解，本文采用的自適應(yīng)多尺度壓縮感知，提高了分解后信號的稀疏度，結(jié)合觀測數(shù)下限的估計，自適應(yīng)確定觀測數(shù)，在較小的觀測數(shù)下，能夠更好地重構(gòu)出原信號。

表2　仿真信號壓縮感知效果比較Table 2 Compressed sensing results of simulated signal

3.2實測信號分析

實測齒輪振動信號來自于一個二級傳動齒輪箱，包含2對齒輪副，齒數(shù)分別為25/50和18/91，輸入軸轉(zhuǎn)速為1 491 r/min，采樣頻率為6.4 kHz。實驗中采集了齒輪5種狀態(tài)下的振動加速度信號，即正常狀態(tài)、中間軸齒輪齒根裂紋、中間軸齒輪齒面磨損、輸出軸齒輪齒根裂紋和輸出軸齒輪齒面磨損。本文以中間軸齒輪齒面磨損為例，振動信號取自相應(yīng)齒輪軸的軸承座上方。計算可以得到齒輪嚙合頻率為621 Hz，中間軸齒輪故障頻率為12.5 Hz。如圖5(a)所示為故障信號的時域波形?？梢姡簩崪y信號雖然能夠看出機械沖擊特征，但是被背景噪聲干擾較為嚴(yán)重。

根據(jù)本文的方法，經(jīng)過優(yōu)選的濾波器為提升db5小波，能夠很好地匹配機械振動信號沖擊衰減特性，并確定最佳分解數(shù)為5層，獲得各節(jié)點數(shù)據(jù)為[128,128,256,512,1 024,2 048]，經(jīng)提升小波分解后總稀疏度為3 126，由本文方法得到各小波樹節(jié)點觀測數(shù)為[82,80,169,352,706,797]，即觀測數(shù)據(jù)點數(shù)僅為2 186，由標(biāo)準(zhǔn)的匹配追蹤重構(gòu)算法重構(gòu)得到原信號如圖5(b)所示。從圖5可知：壓縮感知重構(gòu)信號在大幅度壓縮信號長度的情況下仍有效地保留了原信號的沖擊形貌特征，抑制了噪聲的干擾。

圖5　齒輪箱實測信號及壓縮感知重構(gòu)信號Fig. 5 Reconstruction of gear box vibration signal

為進(jìn)一步驗證該壓縮感知方法重構(gòu)信號的質(zhì)量，對重構(gòu)信號進(jìn)行進(jìn)一步分析，在機械狀態(tài)監(jiān)測領(lǐng)域，主要是分析齒輪箱的頻譜，查看相應(yīng)的故障頻率，因此，在本文中由于故障頻率主要在于低頻，故取其保留信號作頻譜圖局部放大如圖 6(b)所示。從圖6可以看出：在頻域上軸承外圈故障特征頻率12.5 Hz及倍頻非常明顯，壓縮感知信號有效地保留了原信號的故障信息，體現(xiàn)了本文方法的有效性。

圖6　壓縮感知重構(gòu)信號的包絡(luò)及其頻譜Fig. 6 Envelope curve and frequency spectrum of signal reconstruction

4　結(jié)論

1) 從信號稀疏分解的角度出發(fā)，結(jié)合分塊閾值自適應(yīng)降噪方法，提出了稀疏度控制因子，解決了提升小波分解中濾波器選擇和最佳分解層數(shù)的難題。

2) 以利用觀測次數(shù)下限為指導(dǎo)，結(jié)合提升小波多尺度分解特性，自適應(yīng)確定提升小波各節(jié)點的觀測數(shù)，在減少觀測數(shù)據(jù)量的同時，提高了重構(gòu)的速度和精度。

3) 仿真信號和實測信號驗證了本文方法的有效性以及良好的抗噪性能，在機械狀態(tài)監(jiān)測和數(shù)據(jù)通訊等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。

[1] 戴瓊海, 付長軍, 季向陽. 壓縮感知研究[J]. 計算機學(xué)報, 2011, 34(3): 425?435. DAI Qionghai, FU Changjun, JI Xiangyang. Research on compressed sensing[J]. Chinese Journal of Computers, 2011, 34(3): 425?435.

[2] DONOHO D, TSAIG Y. Extensions of compressed sensing[J]. Signal Processing, 2006, 86(3): 533?548.

[3] 郭海燕, 王天荊, 楊震. DCT域的語音信號自適應(yīng)壓縮感知[J]. 儀器儀表學(xué)報, 2010, 31(6): 1262?1268. GUO Haiyan, WANG Tianjing, YANG Zhen. Adaptive speech compressed sensing in the DCT domain[J]. Chinese Journal of Scientific Instrument, 2010, 31(6): 1262?1268.

[4] 王偉偉, 廖桂生, 吳孫勇, 等. 基于小波稀疏表示的壓縮感知SAR成像算法研究[J]. 電子與信息學(xué)報, 2011, 33(6): 1440?1447. WANG Weiwei, LIAO Guisheng, WU Sunyong, et al. A compressive sensing imagine approach based on wavelet sparse representation[J]. Journal of Electronics and Information Technology, 2011, 33(6): 1440?1447.

[5] 羅武駿, 陶文鳳, 左加闊, 等. 自適應(yīng)語音壓縮感知方法[J].東南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2012,42(6): 1027?1031. LUO Wujun, TAO Wenfeng, ZUO Jiakuo, et al. Adaptive compressed sensing method for speech[J]. Journal of Southeast University (Natural Science Edition), 2012, 42(6): 1027?1031.

[6] 王楠, 孟慶豐, 鄭斌. 振動信號無線傳輸?shù)臄?shù)據(jù)壓縮編碼算法[J]. 振動、測試與診斷, 2013, 33(2): 236?241. WANG Nan, MENG Qingfeng, ZHENG Bin. Data compression and coding algorithm used in wireless transmission of vibration signal[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2013, 33(2): 236?241.

[7] 孫林慧, 楊震, 葉蕾. 基于自適應(yīng)多尺度壓縮感知的語音壓縮與重構(gòu)[J]. 電子學(xué)報, 2011, 39(1): 40?46. SUN Linhui, YANG Zhen, YE Lei. Speech compression and reconstruction based on adaptive multiscale compressed sensing theory[J]. Acta Electronica Sinica, 2011, 39(1): 40?46.

[8] 季忠, 黃捷, 秦樹人. 提升小波在齒輪箱故障診斷中的應(yīng)用[J]. 振動、測試與診斷, 2010, 30(3): 291?294. JI Zhong, HUANG Jie, QIN Shuren. Application of gear box fault diagnosis based on lifting wavelet transform[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2010, 30(3): 291?294.

[9] LI Linyuan. On the block thresholding wavelet estimators with censored data[J]. Journal of Multivariate Analysis, 2008, 99(8): 1518?1543.

[10] BARANIUK R G. Compressive sensing[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2007, 24(4): 118?121.

[11] 吳光文, 張愛軍, 王昌明. 一種用于壓縮感知的投影矩陣優(yōu)化算法[J]. 電子與信息學(xué)報, 2015, 37(7): 1681?1687. WU Guangwen, ZHANG Aijun, WANG Changming. Novel optimization method for projection matrix in compress sensing theory[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2015, 37(7): 1681?1687.

[12] 荊楠, 畢衛(wèi)紅, 胡正平, 等. 動態(tài)壓縮感知綜述[J]. 自動化學(xué)報, 2015, 41(1): 22?37. JING Nan, BI Weihong, HU Zhengping, et al. A survey on dynamic compressed sensing[J]. Acta Automatica Sinica, 2015, 41(1): 22?37.

[13] MARK A D. Random observations on random observations: sparse signal acquisition and processing[D]. Houston: Rice University. School of Electrical and Computer Engineering, 2010: 29?99.

(編輯 趙俊)

Adaptive compressed sensing of machinery vibration based on lifting wavelet transform

WANG Huaiguang, ZHANG Peilin, WU Dinghai, FAN Hongbo
(Department of Vehicle and Electrical Engineering, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003, China)

In order to solve the problem of mass data acquisition and transmission of complicated equipment condition monitoring, a method of adaptive compressed sensing of machinery vibration based on lifting wavelet transform was put forward. Taking account of optimal parameters selection problem of lifting wavelet signal process, the lifting wavelet filter and layer numbers were optimally chosen by considering the factor of sparseness, then combined with block threshold noise reduction method to implement the sparseness decomposition of machinery vibration signal. Based on the block compressed sensing and the least quantity of measured data, which satisfy the restricted isometry property, the problem of measured data quantity of node signal based on lifting wavelet transform was solved, and the machine condition monitoring system of adaptive compressed sensing based on lifting wavelet transform was built. The results show that the proposed method can reduce the quantity of measured data and enhance the reconstruction speed and performance.

adaptive compressed sensing; sparseness; lifting wavelet transform; data compression; machinery vibration; condition monitoring

TN919.3；TP277；TN911.72

A

1672?7207(2016)03?0771?06

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.03.009

2015?03?06；

2015?06?20

國家自然科學(xué)基金資助項目(51305454) (Project(51305454) supported by the National Natural Science Foundation of China)

張培林，博士，教授，博士生導(dǎo)師，從事機械維修理論與技術(shù)的研究；E-mail: ZPL1955@163.com