關于GC-平坦維數(shù)

張文匯,李雪妍

(西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,甘肅蘭州 730070)

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關于GC-平坦維數(shù)

張文匯,李雪妍

(西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,甘肅蘭州 730070)

在任意結合環(huán)上引入了模的覆蓋GC-平坦維數(shù),對GC-平坦模類的投射可解性給出刻畫.證明了模的GC-平坦維數(shù)不超過其覆蓋GC-平坦維數(shù),并且在GFC閉環(huán)上二者相等.

GC-平坦維數(shù);GFC閉環(huán);覆蓋GC-平坦維數(shù)

0 引言

Gorenstein 同調(diào)代數(shù)是 Auslader 和 Bridger 等創(chuàng)立并發(fā)展起來的,半對偶模的概念首先是由 Foxby 等于1972 年在交換的 Noether 環(huán)上引入的[1-3].2007 年,Holm 等在任意結合環(huán)上引入了半對偶模的定義[4].目前,相對于半對偶模的 Gorenstein 同調(diào)理論的研究已取得了許多重要的研究成果[5-6].

2004 年,Holm 證明了在右凝聚環(huán)上 Gorenstein 平坦模類是投射可解類[7].2015 年,Bouchiba 引入了覆蓋 Gorenstein 平坦維數(shù)的定義[8],它是 Gorenstein 平坦維數(shù)的推廣.借助這種維數(shù),文獻[8]在任意結合環(huán)上給出了 Gorenstein 平坦模類是投射可解類的一個等價刻畫.2006 年,Hom等引入了GC-平坦模的定義[9].稱R-模M是GC-平坦模,如果存在IC(R)?R-正合的正合列

使得M?coker(F1→F0),其中所有的Fi和Fi都是平坦模.2010年,Yang等證明了在Noether環(huán)上GC-平坦模類是投射可解類[10].受以上文獻啟發(fā),我們引入模的覆蓋GC-平坦維數(shù),對 GC-平坦模類的投射可解性給出刻畫.

文中所提到的環(huán)均指有單位元的交換環(huán),除特殊說明,模均指酉模,C總表示半對偶模.N*表示正整數(shù)集,I(R)(F(R),GI(R),GF(R))表示內(nèi)射R-模類(平坦R-模類,Gorenstein內(nèi)射R-模類,Gorenstein平坦R-模類),FC-fd(M)表示模M的C-平坦維數(shù),M+表示M的示性模HomZ(M,Q/Z).設X是一個R-模類.稱序列F=…→F1→F0→F-1→F-2→…是X?R-(HomR(X,-))正合的,如果對任意E∈X,復形E?RF(HomR(E,F))正合.稱X是投射可解類,如果X包含所有的投射R-模,并且在任意正合列0→M1→M2→M3→0中,若M3∈X,則M1∈X當且僅當M2∈X.稱X關于擴張封閉,如果在任意正合列0→M1→M2→M3→0中,M1,M3∈X蘊含M2∈X.未說明的概念及記號可參照文獻[11-12].

1 預備知識

定義1[1]稱R-模C是半對偶模,若滿足以下條件:

(1)C有有限生成的投射分解;

(2)R?HomR(C,C);

C-內(nèi)射模類和C-平坦模類定義為

定義2[9]稱R-模M是GC-內(nèi)射模,如果存在HomR(IC(R),-)正合的正合列

使得M?ker(I0→I1)，其中所有的Ii和Ii都是內(nèi)射模.

稱R-模M是GC-平坦模,如果存在IC(R)?R-正合的正合列

使得M?coker(F1→F0),其中所有的Fi和Fi都是平坦模.

把GC-內(nèi)射模類和GC-平坦模類分別記作GIC(R)和GFC(R).當C=R時,GIC(R)=GI(R),GFC(R)=GF(R).

模的GC-內(nèi)射維數(shù)和GC-平坦維數(shù)的定義為

若上述n不存在,則規(guī)定Gc-id(M)=+∞;

若上述n不存在,則規(guī)定GC-fd(M)=+∞.

引理1[13]設M是R模.則以下等價:

(1)M是GC-平坦模;

(3)存在R-模的正合列0→M→F→G→0,其中F是C-平坦模,G是GC-平坦模.

2 覆蓋GC-平坦維數(shù)

注:(1)當C=R時,余純C-內(nèi)射(強余純C-內(nèi)射)模即為余純內(nèi)射(強余純內(nèi)射)模[14],余純C-平坦(強余純C-平坦)模即為余純平坦(強余純平坦)模.

定義4 設M是R-模.如下定義模M的余純C-內(nèi)射維數(shù)和余純C-平坦維數(shù):

關于余純 C-平坦維數(shù),我們有如下結論:

命題1 (1)設M是R-模,n是非負整數(shù).則以下等價:

( i )在R-模的正合列0→K→En-1→…→E1→E0→M→0中,若Ei(0≤i≤n-1)是強余純C-平坦模,則K是強余純C-平坦模;

( ii )cc-fd(M)≤n;

(iii)在R-模的正合列0→K→Fn-1→…→F1→F0→M→0中,若Fi(0≤i≤n-1)是C-平坦模,則K是強余純C-平坦模;

(2)設0→N→E→M→0是R-模的正合列.則以下成立:

( i )若E是強余純C-平坦模,且cc-fd(M)≥1,則cc-fd(M)=1+cc-fd(N).

( ii )cc-fd(M)≤1+max{cc-fd(N),cc-fd(E)}.

(iii)cc-fd(E)≤max{cc-fd(M),cc-fd(N)}.

證明 (1)(i)?(ii).設0→K→En-1→…→E1→E0→M→0是R-模的正合列,其中Ei(0≤i≤n-1)是強余純C-平坦模.令K0?ker(E0→M),對任意C-內(nèi)射模I,以函子I?R-作用正合列0→K0→E0→M→0,可得長正合列:

(ii)?(iii).設0→K→Fn-1→…→F1→F0→M→0是R-模的正合列,其中Fi(0≤i≤n-1)是C-平坦模.令K0?ker(F0→M),對任意C-內(nèi)射模I,以函子I?R-作用正合列0→K0→F0→M→0,可得長正合列:

(2)由同調(diào)代數(shù)方法驗證可知. 】

下面引入模的覆蓋GC-平坦維數(shù).

定義5 設M是R-模,n是非負整數(shù).如果存在R-模的正合列0→M→E→G→0,其中FC-fd(E)=n,G是GC-平坦模,則定義模M覆蓋GC-平坦維數(shù)為n,記為CGC-fd(M)=n.

如果滿足上述條件的正合列不存在,則規(guī)定CGC-fd(M)=+∞.

由引理1易見,CGC-fd(M)=0當且僅當M是GC-平坦模.GC-平坦維數(shù)與覆蓋GC-平坦維數(shù)具有如下關系:

命題2 設R是環(huán),M是R-模.則

由文獻[10]定理3.1知GC-id(M+)≤GC-fd(M).

設CGC-fd(M)=n<+∞,則存在正合列0→M→E→G→0,其中FC-fd(E)=n,G是GC-平坦模.由文獻[4]的命題5.3知C-投射模類是預覆蓋類,故考慮如下行正合交換圖:

GC-fd(M)≤n=CGC-fd(M).

文獻[9]中,作者在Noether環(huán)上對GC-平坦維數(shù)給出等價刻畫,在任意結合環(huán)上得到如下結論:

定理1 設R是環(huán),M是R-模,n是非負整數(shù).

若CGC-fd(M)=n,則存在R-模的正合列0→K→H→M→0,其中FC-fd(K)=n-1,H是GC-平坦模(若n=0,則K=0).

反之,若存在R-模的正合列0→K→H→M→0,其中FC-fd(K)=n-1,H是GC-平坦模(若n=0,則K=0),則CGC-fd(M)≤n.

證明 設CGC-fd(M)=n.當n=0時,M是GC-平坦模,結論成立.

現(xiàn)設n≥1.由定義知存在正合列0→M→E→G→0,其中FC-fd(E)=n,G是GC-平坦模.由FC-fd(E)=n知存在正合列0→K→E→F→0,其中FC-fd(K)=n-1,F是C-平坦模.考慮拉回圖

對中間行應用引理1知H是GC-平坦模.正合列0→K→H→M→0即為所求.

反之,考慮推出圖

其中F是C-平坦模,G是GC-平坦模.由FC-fd(K)=n-1知FC-fd(E)≤n.由最右列知CGC-fd(M)≤n. 】

命題3 在R-模的正合列0→N→E→M→0中,若M和N是GC-平坦模,則CGC-fd(E)≤1.

證明 由M是GC-平坦模知,存在正合列0→G→F→M→0,其中F是C-平坦模,G是GC-平坦模.考慮拉回圖

及推出圖

其中D是C-平坦模,H是GC-平坦模.由文獻[4]中命題5.2知，C-平坦模關于擴張封閉,故Q是C-平坦模.再對中間列應用引理1知L是GC-平坦模.考慮正合列0→G→L→E→0,因為G和L是GC-平坦模,所以CGC-fd(E)≤1. 】

定義6 設R是環(huán),稱R是GFC閉環(huán),如果GFC(R)關于擴張封閉.

由文獻[13]知若R是凝聚環(huán),則GFC(R)關于擴張封閉,故凝聚環(huán)是GFC閉環(huán).

由文獻[15]知,R是GF-閉環(huán)當且僅當GF(R)投射可解類.在GFC閉環(huán)上,我們有如下結論：

命題4 設R是環(huán),則R是GFC閉環(huán)當且僅當GFC(R)是投射可解類.

證明 充分性 顯然.

必要性 設0→K→N→M→0是R-模的正合列,其中M和N是GC-平坦模.下證K是GC-平坦模.

由N是GC-平坦模知存在正合列0→N→F→H→0,其中F是C-平坦模,H是GC-平坦模.考慮推出圖

由R是GFC閉環(huán)知，G是GC-平坦模.又F是C-平坦模,對中間行應用引理1知K是GC-平坦模. 】

在命題2中,我們證明了對任意R-模M,GC-fd(M)≤CGC-fd(M).在GFC閉環(huán)上,有如下結論：

定理2 設R是GFC閉環(huán),M是R-模.則GC-fd(M)=CGC-fd(M).

證明 由命題2知GC-fd(M)≤CGC-fd(M).下證CGC-fd(M)≤GC-fd(M).

設GC-fd(M)=n<+∞,對n進行數(shù)學歸納.若n=0,則M是GC-平坦模,結論成立.若n=1則存在正合列0→G1→G0→M→0,其中G1和G0是GC-平坦模.故存在正合列0→G1→G0→M→0,其中F是C-平坦模,H是GC-平坦模.考慮推出圖

由R是GFC閉環(huán)知N是GC-平坦模.又FC-fd(F)=0,對中間行應用定理1知CGC-fd(M)≤1=GC-fd(M).

現(xiàn)設n>1,由GC-fd(M)=n可知存在正合列0→Gn→…→G1→G0→M→0,其中Gi(0≤i≤n)是GC-平坦模.考慮正合列0→N→G0→M→0,其中GC-fd(N)=n-1,G0是GC-平坦模.由歸納假設得,CGC-fd(N)≤GC-fd(N)=n-1,于是存在正合列0→N→D→G→0,其中FC-fd(D)=n-1,G是GC-平坦模.考慮推出圖

由R是GFC閉環(huán)知E是GC-平坦模.又FC-fd(D)=n-1,對中間行應用定理1知，CGC-fd(M)≤n=GC-fd(M). 】

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(責任編輯 陸泉芳)

On GC-flat dimension

ZHANG Wen-hui,LI Xue-yan

(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China )

The coverGC-flat dimension ofR-modules over an associative ring is introduced.It is characterized that the class ofGC-flat modules is projectively resolving.We show that theGC-flat dimension ofR-modules is less than or equal to its coverGC-flat dimension,and they are equivalent over a GFCclosed ring.

GC-flat dimension;GFCclosed ring;coverGC-flat dimension

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.06.001

2016-05-10;修改稿收到日期:2016-07-23

國家自然科學基金資助項目(11201376)

張文匯(1977—)，女，甘肅天水人，副教授，博士，碩士研究生導師.主要研究方向為環(huán)的同調(diào)理論.

E-mail:zhangwh@nwnu.edu.cn

O 154.2

A

1001-988Ⅹ(2016)06-0001-05