RLN衰落下D-MIMO系統(tǒng)遍歷容量上邊界

王詠平,曹漢強(qiáng),王安穩(wěn)

(1.華中科技大學(xué)電子信息與通信學(xué)院,湖北武漢 430074; 2.海軍工程大學(xué)理學(xué)院,湖北武漢 430033)

RLN衰落下D-MIMO系統(tǒng)遍歷容量上邊界

王詠平1,曹漢強(qiáng)1,王安穩(wěn)2

(1.華中科技大學(xué)電子信息與通信學(xué)院,湖北武漢 430074; 2.海軍工程大學(xué)理學(xué)院,湖北武漢 430033)

針對(duì)空域雙邊相關(guān)同時(shí)存在、收發(fā)天線數(shù)量不受限制的RLN衰落下的分布式多輸入多輸出系統(tǒng),分析和提出了解析的系統(tǒng)遍歷容量的上邊界.通過(guò)子矩陣展開(kāi)等方法構(gòu)造出新的不等式,在對(duì)上述系統(tǒng)模型的遍歷容量邊界分析中,解決了對(duì)大尺度衰落矩陣和小尺度衰落矩陣的統(tǒng)計(jì)分析無(wú)法分離的問(wèn)題.當(dāng)系統(tǒng)接收端天線數(shù)量大于或小于等于發(fā)送端時(shí),在低信噪比到高信噪比的范圍內(nèi),上邊界均非常接近遍歷容量.這一結(jié)論由不同空域相關(guān)系數(shù)下的仿真試驗(yàn)所證實(shí).當(dāng)分布式系統(tǒng)的收發(fā)端站點(diǎn)數(shù)量均為1時(shí),模型退化為點(diǎn)對(duì)點(diǎn)多輸入多輸出系統(tǒng),該上邊界變?yōu)榭沼螂p邊相關(guān)Rayleigh衰落下多輸入多輸出系統(tǒng)遍歷容量的上邊界.

通信系統(tǒng);衰落信道;多輸入多輸出;分布式系統(tǒng);遍歷容量

目前,基于不同的空域相關(guān)性假設(shè)和不同的衰落類型假設(shè),眾多研究[1-2]廣泛探討了點(diǎn)對(duì)點(diǎn)多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)系統(tǒng)的信道容量.近來(lái),關(guān)于分布式多輸入多輸出(Distributed Multiple-Input Multiple-Output,D-MIMO)系統(tǒng)的研究正在增加.該系統(tǒng)同時(shí)具有MIMO系統(tǒng)的微觀分集增益(空間多路增益)和分布式天線系統(tǒng)的宏觀分集增益.D-MIMO系統(tǒng)與點(diǎn)對(duì)點(diǎn)MIMO系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別在于它將MIMO無(wú)線信道一端的天線劃分為空間上分離的多個(gè)無(wú)線端口.于是,經(jīng)由不同傳播路徑,各無(wú)線連接具有不同的路徑損耗及陰影效應(yīng)(大尺度衰落).這一點(diǎn)與傳統(tǒng)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)MIMO系統(tǒng)不同,對(duì)D-MIMO系統(tǒng)的分析帶來(lái)困擾.由此,只有少量研究工作分析組合衰落(小尺度衰落和大尺度衰落)對(duì)D-MIMO系統(tǒng)信道容量的影響[3-8].

為了便于分析D-MIMO系統(tǒng)遍歷容量,一些研究采用Gamma分布或逆高斯(Inverse-Gaussian,IG)分布作為經(jīng)典lognormal分布的近似[3-5]來(lái)刻畫陰影效應(yīng).但是,這些近似方法并不能精確描述lognormal分布.為了更精確地描述D-MIMO系統(tǒng)的Rayleigh/lognormal信道模型,文獻(xiàn)[8]使用Gauss-Hermite多項(xiàng)式求出了系統(tǒng)傳輸總速率的數(shù)值近似解.文獻(xiàn)[6]給出了接收端使用迫零(Zero Fording,ZF)接收器、僅接收端空間相關(guān)性存在并且接收天線數(shù)量不小于發(fā)送天線數(shù)量時(shí),系統(tǒng)傳輸總速率的上下邊界.當(dāng)空域雙邊相關(guān)同時(shí)存在時(shí),文獻(xiàn)[7]僅給出了接收與發(fā)送天線數(shù)量相等時(shí)的遍歷容量下邊界.

與文獻(xiàn)[6-8]不同,筆者提出的系統(tǒng)模型為任意收發(fā)天線數(shù)量下空域雙邊相關(guān)(接收相關(guān)與發(fā)送相關(guān))同時(shí)存在時(shí)Rayleigh/Lognormal衰落下的D-MIMO系統(tǒng).并且在該模型中,收發(fā)端天線數(shù)量的對(duì)比關(guān)系不受限制.文中通過(guò)子矩陣展開(kāi)等方法,構(gòu)造出一個(gè)新的不等式,再通過(guò)對(duì)復(fù)二次型分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析,給出了解析的遍歷容量上邊界.由于采用了以上方法,筆者解決了文獻(xiàn)[6-8]沒(méi)有解決的關(guān)于雙邊相關(guān)同時(shí)存在且收發(fā)端天線數(shù)量不受限制時(shí),信道容量邊界分析中對(duì)大尺度衰落矩陣和小尺度衰落矩陣的統(tǒng)計(jì)分析無(wú)法分離的問(wèn)題.

1　系統(tǒng)模型

設(shè)定一個(gè)D-MIMO系統(tǒng),系統(tǒng)接收端有NR根天線,發(fā)送端有L個(gè)發(fā)送節(jié)點(diǎn),每個(gè)節(jié)點(diǎn)有NT根天線.系統(tǒng)中輸入輸出關(guān)系表示為

其中,HW的元素獨(dú)立同分布(independent identically distributed,i.i.d.),而且HW的元素服從均值為0、方差為1的正態(tài)分布(CN(0,1)).RR和RT為接收相關(guān)矩陣與發(fā)送相關(guān)矩陣,這兩個(gè)矩陣均為復(fù)對(duì)稱的正定矩陣.由于L個(gè)發(fā)送節(jié)點(diǎn)在空間上分離,發(fā)送相關(guān)僅存在于同一節(jié)點(diǎn)的天線之間.這一模型稱為Kronecker模型.在式(1)所表示的系統(tǒng)中,僅接收端已知信道狀態(tài)信息(Channel Statement Information,CSI),因此發(fā)送功率被平均分配到每根發(fā)送天線.

其中,Dm(m=1,…,L)表示發(fā)送端第m個(gè)節(jié)點(diǎn)與接受端的距離.而v是路徑損失指數(shù),其取值范圍通常為2至6.在文中,Ξ表示的大尺度衰落服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布[6-8],ξm的概率密度函數(shù)為

其中,η=10/ln10,μm/η為lnξm的均值,σm/η為lnξm的標(biāo)準(zhǔn)差.

2　遍歷容量上邊界

2.1遍歷容量

在式(1)所表示的系統(tǒng)中,僅接收端已知信道狀態(tài)信息,因此發(fā)送功率被平均分配到每根發(fā)送天線.于是,根據(jù)式(1)、(2)和文獻(xiàn)[1]給出的結(jié)論可知,D-MIMO系統(tǒng)式(1)的遍歷容量為

2.2行列式的展開(kāi)

其中,τk={l1,…,lk}∈{1,…,n},且l1＜…＜lk.k階矩陣Sτk由位于矩陣S第l1,…,lk行l(wèi)1,…,lk列的元素構(gòu)成.

2.3當(dāng)NR＞LNT時(shí)的上邊界

當(dāng)收端天線數(shù)量大于發(fā)端,即NR＞LNT時(shí),由式(6)給出的行列式展開(kāi)式,文中將信道遍歷容量式(5)展開(kāi),再由log(1+x)的凹凸性,和Jensen不等式推導(dǎo)出下列不等式: k

2.4當(dāng)NR≤LNT時(shí)的上邊界

當(dāng)接收端天線數(shù)量小于等于發(fā)端,即NR≤LNT時(shí),根據(jù)式(6)給出的行列式展開(kāi)式,將信道遍歷容量式(5)展開(kāi),再由不等式的凹凸性及Jensen不等式得出

其中,ζk={h1,…,hk}∈{1,…,NR},且h1＜…＜hk.式(9)中,E分別由下文式(12)、(15)和(17)給出,將其代入式(9),求出NR≤LNT時(shí)信道遍歷容量上邊界為

其中,nki為中屬于集合{(i-1)NT+1,…,iNT}的元素的數(shù)量,,超幾何函數(shù)21(·)的值由下文式(18)給出.

3　遍歷容量上邊界的分量

由文獻(xiàn)[10]可知,若矩陣x∈Cp×n滿足x～Np,n(0,Σ?In),n≥p,則S=XXH服從Wishart分布,其概率密度函數(shù)為

由文獻(xiàn)[10]知,若矩陣X∈Cp×n滿足X～Np,n(0,Σ?In),n≥p,則二次型S=XA XH概率密度函數(shù)為

超幾何函數(shù)定義為

由于ξm服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布,根據(jù)式(4)給出的概率密度函數(shù),ξam的期望值為

將集合τk={l1,…,lk}∈{1,…,LNT},l1＜…＜lk中屬于集合{1,…,NT},{NT+1,…,2NT},…, {(L-1)NT+1,…,LNT}的元素的數(shù)量,分別記為nk1,nk2,…,nkL.于是,由式(4)、(16)導(dǎo)出

3.4關(guān)于超幾何函數(shù)的推論

根據(jù)超幾何函數(shù)的定義及性質(zhì),文中導(dǎo)出式(8)、(10)和式(15)中的超幾何函數(shù)的計(jì)算方法[11]為

4　仿真試驗(yàn)

通過(guò)一組Monte-Carlo仿真來(lái)驗(yàn)證前文理論分析的正確性.首先,按式(2)和式(3)分別產(chǎn)生10 000組小尺度衰落矩陣H和大尺度衰落矩陣Ξ的實(shí)現(xiàn).然后,按式(5)進(jìn)行仿真以獲得遍歷容量.

前文已經(jīng)說(shuō)明,發(fā)送相關(guān)僅存在于同一節(jié)點(diǎn)的天線之間.因此有,其中RT,m描述第m個(gè)發(fā)送節(jié)點(diǎn)天線間的空域相關(guān)性.RT,m的i行j列元素,其中ρT,m=exp(-d),d表示相鄰天線之間經(jīng)由波長(zhǎng)歸一化后的距離.接收相關(guān)矩陣RR的i行j列元素{RR}i,j=.仿真試驗(yàn)中,取θT,m=0(m=1,…,L),θR=0[6-7].該設(shè)置與文獻(xiàn)[7]中的相同.上述模型稱為指數(shù)模型.

仿真試驗(yàn)中,大尺度衰落矩陣Ξ的參數(shù)設(shè)定為:μm=2 d B,σm=2 dB,D1=1 200 m,D2=1 500 m, D3=1 800 m.

仿真試驗(yàn)中,3組仿真結(jié)果分別在圖1至圖4中給出.

圖1　Monte-Carlo仿真的遍歷容量和上邊界1

圖2　Monte-Carlo仿真的遍歷容量和上邊界2

(1)在圖1對(duì)應(yīng)的仿真試驗(yàn)中,設(shè)定ρT,m=ρR=0.3.發(fā)送端天線數(shù)量L=3,NT=3.接收端天線數(shù)量分別取NR=2,NR=6,NR=12,它們分別對(duì)應(yīng)NR＜NT,NT≤NR≤LNT,NR＞LNT的情況.

(2)在圖2、圖3對(duì)應(yīng)的仿真試驗(yàn)中,取L=3,NT=3,NR=6,ρT,m=ρR=0.3/0.1.再取L=3,NT=3, NR=12,ρT,m=ρR=0.6/0.1,以驗(yàn)證不同接收端相關(guān)系數(shù)下遍歷容量上邊界的正確性.圖3是圖2的局部放大,兩圖具有相同的仿真設(shè)置,區(qū)別僅在于顯示的信噪比范圍不同.

圖3　Monte-Carlo仿真的遍歷容量和上邊界3

圖4　Monte-Carlo仿真的遍歷容量和上邊界4

在圖1至圖4中,實(shí)線描述的是用Monte-Carlo方法得到的遍歷容量;虛線描述的是文中在式(8)、(10)中給出的遍歷容量上邊界.從試驗(yàn)結(jié)果中可以看到,隨著相關(guān)性的增加,信道容量相應(yīng)降低,這對(duì)應(yīng)了分集效率的降低.隨天線數(shù)量增加,信道容量上升,這對(duì)應(yīng)了分集效應(yīng)的增強(qiáng).從圖1至圖4可以看出,在各種情況下,容量上邊界均非常接近遍歷容量.從圖4可以看出,當(dāng)系統(tǒng)退化為空域雙邊相關(guān)Rayleigh衰落下的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)MIMO時(shí),即Ξ=I時(shí),文中給出的上邊界依然精確.從而驗(yàn)證了文中給出的遍歷容量上邊界的有效性.

5　結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于空域雙邊相關(guān)同時(shí)存在時(shí),Rayleigh/Lognormal衰落下分布式MIMO系統(tǒng)的遍歷容量,文中給出了一個(gè)解析的上邊界.當(dāng)接收端天線數(shù)量大于或小于等于發(fā)送端時(shí),在不同的收發(fā)端空域相關(guān)程度下,在低信噪比到高信噪比的全范圍內(nèi),文中推導(dǎo)出的容量上邊界均非常接近遍歷容量.這一結(jié)論由仿真試驗(yàn)得以證實(shí).當(dāng)發(fā)送節(jié)點(diǎn)數(shù)量為1時(shí),系統(tǒng)退化為點(diǎn)對(duì)點(diǎn)MIMO系統(tǒng),容量上邊界變?yōu)榭沼螂p邊相關(guān)Rayleigh衰落下點(diǎn)對(duì)點(diǎn)MIMO系統(tǒng)的遍歷容量上邊界.此時(shí),結(jié)果依然精確.

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(編輯:王 瑞)

Upper bound on the ergodic capacity of D-MIMO systems in double-sidedcorrelated Rayleigh/Lognormal fading channels

WANG Yongping1,CAO Hanqiang1,WANG Anwen2
(1.School of Electronic Information and Communications,Huazhong Univ.of Science&Technology, Wuhan 430074,China;2.College of Science,Naval Univ.of Engineering,Wuhan 430033,China)

An analytical upper bound is presented for the ergodic capacity of distributed multiple-input multiple-output(D-MIMO)systems operating in Rayleigh/Lognormal fading with double-sided spatial correlation.A new inequality is constructed by sub-matrix expansion,and then the difficulty in averaging the channel eigen-statistics over the shadowing distribution is resolved.The proposed upper bound is applicable for the arbitrary number of receive and transmit antennas and remains tight over the entire Signalto-Noise regime.The validity of the conclusion is verified by compu-ter simulation.When the number of receive and transmit nodes is one,the lower bound reduces to the bound on the ergodic capacity of point to point MIMO systems operating in Rayleigh/Lognormal fading with double-sided spatial correlation.

communication systems;fading channels;MIMO;distributed system;ergodic capacity

TN928

A

1001-2400(2016)04-0111-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.04.020

2015-03-31 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2015-10-21

王詠平(1975-),華中科技大學(xué)博士研究生,E-mail:wang__yongping@163.com.

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20151021.1046.040.html