兩連架桿垂直位形直線導(dǎo)路機(jī)構(gòu)綜合及分析

錢衛(wèi)香，崔建鵬

(1. 西安科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，西安 710054；2. 航天四院41所，西安 710025)

?

兩連架桿垂直位形直線導(dǎo)路機(jī)構(gòu)綜合及分析

錢衛(wèi)香，崔建鵬

(1. 西安科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，西安 710054；2. 航天四院41所，西安 710025)

當(dāng)兩連架桿處于垂直位形時(shí)，在給定機(jī)架長度和欲逼近直線上的點(diǎn)及方向角的條件下，采用解析幾何法并結(jié)合計(jì)算機(jī)可視化技術(shù)建立機(jī)構(gòu)綜合模型求解滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)要求的具有三階密切直線機(jī)構(gòu)全解。針對(duì)無窮多近似直線機(jī)構(gòu)尋優(yōu)難問題，分析綜合機(jī)構(gòu)的直線性能及其它感興趣的運(yùn)動(dòng)學(xué)屬性并實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)屬性的圖形可視化，施加運(yùn)動(dòng)學(xué)約束，計(jì)算可行機(jī)構(gòu)圖形解域，從中尋找全局最優(yōu)機(jī)構(gòu)解，最后通過設(shè)計(jì)示例驗(yàn)證綜合模型與分析方法的正確性和可行性。

直線導(dǎo)路機(jī)構(gòu)；機(jī)構(gòu)綜合；鮑爾點(diǎn)；曲率駐點(diǎn)曲線

0 引言

基于運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)理論[1]，鮑爾點(diǎn)是拐點(diǎn)圓(連桿平面上瞬時(shí)曲率半徑為無窮大的點(diǎn)集合)與曲率駐點(diǎn)曲線(連桿平面上瞬時(shí)曲率為駐點(diǎn)的點(diǎn)集合)在極點(diǎn)之外的交點(diǎn)。鮑爾點(diǎn)(Ball點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)軌跡與直線間至少具有三階的密切，因此鮑爾點(diǎn)常用于綜合高精度直線導(dǎo)路機(jī)構(gòu)[2-4]。當(dāng)機(jī)構(gòu)處于特定位形時(shí)，三次曲率駐點(diǎn)曲線可退化為二次曲線和直線。本文在一般位形含鮑爾點(diǎn)直線機(jī)構(gòu)綜合問題[5]的研究基礎(chǔ)上，探討當(dāng)兩連架桿處于垂直位形時(shí)，在給定機(jī)架長度和欲逼近直線上的點(diǎn)及方向角的條件下，采用解析幾何法并結(jié)合計(jì)算機(jī)可視化技術(shù)求解滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)要求的具有三階密切直線機(jī)構(gòu)全解的綜合方法，分析綜合機(jī)構(gòu)的直線性能及其它感興趣的運(yùn)動(dòng)學(xué)屬性并實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)屬性的圖形可視化，有效地解決無窮機(jī)構(gòu)尋優(yōu)難問題。

1 機(jī)構(gòu)綜合模型

在圖1所示直角坐標(biāo)系中，給定機(jī)架長度r，欲逼近直線上的點(diǎn)C(xC，yC)(鮑爾點(diǎn))及其方向角β(β∈[-π/2,+π/2]，由垂直方向逆時(shí)針轉(zhuǎn)至欲逼近直線CC′時(shí)β角取正值，反之β角取負(fù)值，圖1所示位置β角為正)，要求綜合直線導(dǎo)路機(jī)構(gòu)使機(jī)構(gòu)的初始位形處于兩連架桿垂直位置。

待確定的量為直線導(dǎo)引機(jī)構(gòu)兩個(gè)定鉸點(diǎn)A0(xA0，yA0)、B0(xB0，yB0)和兩個(gè)動(dòng)鉸點(diǎn)A(xA，yA)、B(xB，yB)。

動(dòng)點(diǎn)A和B繞各自定鉸點(diǎn)作圓弧運(yùn)動(dòng)，為曲率不變點(diǎn)，同時(shí)連桿點(diǎn)C是鮑爾點(diǎn)，故動(dòng)點(diǎn)A、B、C均應(yīng)滿足曲率-駐點(diǎn)曲線方程：

1/R=1/(Msinα)+1/(Ncosα)

(1)

其中，α、R分別為動(dòng)點(diǎn)所在極射線與極切線Pt的夾角和極點(diǎn)P到動(dòng)點(diǎn)之矢量長，M、N為瞬時(shí)不變量。

圖1 數(shù)學(xué)模型

當(dāng)兩連架桿處于垂直位形時(shí)，欲滿足A、B、C三點(diǎn)均在曲率-駐點(diǎn)曲線上，該駐點(diǎn)曲線需退化分解成一條與極切線Pt重合的直線和一條與極法線Pn重合的直線，退化后的駐點(diǎn)曲線方程(1)簡化為：

(2)

此時(shí)， A、C點(diǎn)位于極法線Pn上，B點(diǎn)位于極切線Pt上，由式(2)得cosα1=cosαa=0，sinαb=0，則有：

(3)

其中，α1、αa和αb分別表示動(dòng)點(diǎn)所在極射線PC、PA和PB與極切線Pt的夾角。

連桿點(diǎn)C位于拐?qǐng)A上，由拐?qǐng)A方程[6-7]得：

1/PC=1/(dsinα1)

(4)

拐?qǐng)A圓心位于極法線Pn上，且鮑爾點(diǎn)C與拐極W重合，故拐?qǐng)A直徑d=PC。

定鉸點(diǎn)A0位于過C點(diǎn)理想直線的法線上，定義定鉸點(diǎn)A0距離鮑爾點(diǎn)C的相對(duì)偏距s=CA0/r(s∈(-∞,+∞)，即CA0=s·r，如圖1所示)，則有：

(5)

由機(jī)架長度計(jì)算定鉸點(diǎn)B0(xB0，yB0)坐標(biāo)，且極點(diǎn)P與定鉸點(diǎn)B0重合：

(6)

由Euler-Savary方程得其幾何表達(dá)式[8-9]：

AA0×AJA=PA2

(7)

式(7)中，PA是AA0與AJA線段的比例中項(xiàng)，且點(diǎn)A0、點(diǎn)JA始終位于A點(diǎn)同側(cè)，其中拐點(diǎn)JA與鮑爾點(diǎn)C重合。由式(7)推導(dǎo)出：

(8)

由式(8)可知，當(dāng)s=-2時(shí)，連架桿AA0趨向于無窮長，動(dòng)點(diǎn)A趨向于無窮遠(yuǎn)，機(jī)構(gòu)方案不可行；當(dāng)s=-1時(shí)，A0A=A0C=r，連桿平面上動(dòng)點(diǎn)A與鮑爾點(diǎn)C重合，連桿曲線為圓或圓弧，機(jī)構(gòu)直線性能差，設(shè)計(jì)者在方案甄選時(shí)宜避開s=-1值附近的機(jī)構(gòu)解。

在A0、P和JA點(diǎn)(即C點(diǎn))位置確定后可計(jì)算動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)：

(9)

動(dòng)鉸點(diǎn)B可在極切線Pt所在直線上任意選取，定義動(dòng)點(diǎn)B距離極點(diǎn)P的相對(duì)偏距e=BP/r(考慮機(jī)構(gòu)對(duì)稱性，e∈(0,+∞)，即BP=BB0=e·r，見圖1)，則B點(diǎn)坐標(biāo)為：

(10)

2 綜合示例

已知機(jī)架長度r=80，欲逼近直線上的點(diǎn)C(70，90)及方向角β=40°，且兩連架桿A0A與B0B所在直線相互垂直，要求設(shè)計(jì)滿足如上位形的直線導(dǎo)引機(jī)構(gòu)。

機(jī)構(gòu)綜合模型中含兩個(gè)獨(dú)立設(shè)計(jì)變量：定鉸點(diǎn)A0距離鮑爾點(diǎn)C的相對(duì)偏距s和動(dòng)點(diǎn)B距離極點(diǎn)P的相對(duì)偏距e。對(duì)于任意給定的參數(shù)s、e(s>0，e>0)的取值可綜合出一個(gè)機(jī)構(gòu)。通過改變參數(shù)s、e值將得到無窮多直移機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方案。

(a)e=0.4，s=-0.2、1.0

(b)s=0.5，e=0.2、1.3圖2 綜合所得機(jī)構(gòu)及連桿曲線

3 機(jī)構(gòu)屬性分布圖

按綜合模型設(shè)計(jì)所得無窮多機(jī)構(gòu)并不都是工程實(shí)用的，甚至大部分為不可行機(jī)構(gòu)，而直觀準(zhǔn)確的機(jī)構(gòu)屬性圖能幫助設(shè)計(jì)者從無窮多方案中高效快捷地甄選出滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)要求的高精度直線機(jī)構(gòu)。

文中涉及到的主要機(jī)構(gòu)屬性包括：機(jī)構(gòu)類型、桿長比lmin/lmax、最小傳動(dòng)角γmin、近似直線長度L、直線偏離度δ，其中后兩個(gè)屬性反映機(jī)構(gòu)直線性能，作如下定義：近似直線長度L是連桿曲線上的軌跡點(diǎn)與理想直線間的距離不超過允許偏差Δ時(shí)，連桿曲線沿理想直線方向的最大連續(xù)長度；直線偏離度δ是在給定的機(jī)構(gòu)直移區(qū)段l內(nèi)，連桿曲線上的軌跡點(diǎn)與理想直線間的最大距離，如圖3所示。

圖3 近似直線長度和直線偏離度

建立機(jī)構(gòu)解域直角坐標(biāo)系，橫縱坐標(biāo)分別取綜合模型中的兩個(gè)設(shè)計(jì)變量：偏距s和e。任意給定兩個(gè)設(shè)計(jì)變量值均對(duì)應(yīng)解域平面內(nèi)一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，計(jì)算解域內(nèi)各坐標(biāo)點(diǎn)綜合所得機(jī)構(gòu)感興趣的機(jī)構(gòu)屬性，并實(shí)現(xiàn)圖形繪制。

圖4所示為機(jī)構(gòu)類型及最小傳動(dòng)角分布圖，其中用粗實(shí)線分割不同類型的機(jī)構(gòu)，數(shù)字1～5分別表示曲柄搖桿機(jī)構(gòu)、雙曲柄機(jī)構(gòu)、外外擺動(dòng)、內(nèi)外擺動(dòng)和內(nèi)內(nèi)擺動(dòng)三搖桿機(jī)構(gòu)[10]；在曲柄存在區(qū)域用等值線圖反映最小傳動(dòng)角變化趨勢，等值線(細(xì)實(shí)線)上數(shù)值為機(jī)構(gòu)最小傳動(dòng)角γmin，其中雙曲柄機(jī)構(gòu)區(qū)域，最小傳動(dòng)角等值線由外圈10°向內(nèi)逐漸遞增，梯度為10°。圖5所示為桿長比lmin/lmax(A0B0、A0A、AB、B0B、AC、BC六桿件中最小桿長與最大桿長之比)三維mesh圖。

圖4 機(jī)構(gòu)類型及最小傳動(dòng)角分布圖

圖5 桿長比lmin/lmax分布圖

圖6所示為給定機(jī)構(gòu)直移區(qū)段(例如取直移距離l=40，并取鮑爾點(diǎn)C為直移段中點(diǎn))的直線偏離度δ三維mesh圖，其總體變化趨勢為當(dāng)s值趨向-1時(shí)偏離度大；遠(yuǎn)離-1時(shí)偏離度值快速下降。圖7所示為給定直線允許偏差Δ(例如取Δ=0.1)的近似直線長度L等值線圖。圖6、圖7均反映出大部分解域e值的變化對(duì)偏直線性能影響較小。

圖6 直線偏離度δ(l=40)

圖7 近似直線長度L(Δ=0.1)

4 方案甄選

若考慮施加如下運(yùn)動(dòng)學(xué)約束條件：桿長條件：單個(gè)桿件長度不超過200；桿長比lmin/lmax≥0.1；機(jī)構(gòu)類型：曲柄搖桿或雙曲柄機(jī)構(gòu)，最小傳動(dòng)角不小于30°；給定直線允許偏差Δ=0.1，希望直移距離不小于40。設(shè)計(jì)要求尋找滿足以上約束條件的高精度直線導(dǎo)路機(jī)構(gòu)。

計(jì)算過程：

(1)設(shè)計(jì)者根據(jù)機(jī)構(gòu)裝配空間條件及計(jì)算精度要求設(shè)定感興趣的設(shè)計(jì)變量取值范圍及計(jì)算步長。本例中取值范圍：-5≤s≤5，s≠-2，0≤e≤5；計(jì)算步長：Δs=Δe=0.01。

(2)在取值區(qū)間內(nèi)按計(jì)算步長改變?cè)O(shè)計(jì)變量取值，計(jì)算兩兩組合綜合所得機(jī)構(gòu)的各項(xiàng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和性能參數(shù)，包括最大桿長、桿長比、機(jī)構(gòu)類型、最小傳動(dòng)角；逐項(xiàng)檢查各約束條件，滿足全部約束條件的機(jī)構(gòu)為可行機(jī)構(gòu)解，只要有一個(gè)約束條件不滿足，該機(jī)構(gòu)解為不可行方案，后續(xù)計(jì)算不再考慮。

(3)根據(jù)設(shè)計(jì)要求確定評(píng)價(jià)函數(shù)，可以在給定直線允許偏差內(nèi)追求盡可能大的直移長度，也可以是在一定的機(jī)構(gòu)直移區(qū)段內(nèi)希望有盡可能小的直線偏離度，改變?cè)u(píng)價(jià)函數(shù)，所述尋優(yōu)方法同樣適用。本例以在給定直線允許偏差Δ=0.1的范圍內(nèi)具有最長直移距離為尋優(yōu)目標(biāo)。

(4)繪制由可行機(jī)構(gòu)解構(gòu)成的平面域，稱為可行機(jī)構(gòu)解域(圖7所示粗實(shí)線所包圍區(qū)域)。在可行機(jī)構(gòu)解域上依次計(jì)算各可行解的近似直線長度，比較篩選出全局最優(yōu)機(jī)構(gòu)解，如圖8所示。其性能參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

圖8 綜合所得機(jī)構(gòu)

結(jié)構(gòu)參數(shù)性能參數(shù)seA0點(diǎn)坐標(biāo)B0點(diǎn)坐標(biāo)A點(diǎn)坐標(biāo)B點(diǎn)坐標(biāo)機(jī)構(gòu)類型lmaxlminlmaxγmin近似直線長度L1．450．48(160．46，128)(229．74，168)(180．54，139．59)(248．94，134．74)曲柄搖桿199．73(BC)0．1231．9044．10

5 結(jié)論

本文采用解析幾何法并結(jié)合計(jì)算機(jī)圖形技術(shù)綜合兩連架桿處于垂直位形的直線導(dǎo)路機(jī)構(gòu)。建立機(jī)構(gòu)綜合模型求解滿足直線度要求及其它運(yùn)動(dòng)學(xué)條件的高精度直線機(jī)構(gòu)，計(jì)算分析機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)常規(guī)屬性及直線性能，實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)屬性的圖形可視化及無窮多機(jī)構(gòu)解的直觀準(zhǔn)確尋優(yōu)。方法的提出為該類機(jī)構(gòu)提供了一種先進(jìn)有效的綜合方法和手段，是對(duì)直線機(jī)構(gòu)綜合理論和方法的豐富和完善。

[1] 韓建友. 高等機(jī)構(gòu)學(xué)[M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2004.

[2] 于紅英, 王知行, 鐘詩勝. 四桿直線導(dǎo)向機(jī)構(gòu)綜合新方法的研究[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì)與研究, 2002, 18 (1): 25-28.

[3] Hodges P H, Pisano A P. On the synthesis of straight line, Constant Velocity Scanning Mechanism[J]. Transaction of the ASME, 1991, 113(12): 464-472.

[4] 李霞, 王知行. 利用鮑爾點(diǎn)求解直線導(dǎo)路機(jī)構(gòu)方法的研究[J]. 機(jī)械科學(xué)與技術(shù), 2000, 19 (2): 254-258.

[5] 錢衛(wèi)香. 利用鮑爾點(diǎn)設(shè)計(jì)液壓支架直線導(dǎo)向機(jī)構(gòu)[J]. 機(jī)床與液壓, 2013,41 (15): 140-143.

[6] 吳培芳. 利用拐點(diǎn)圓求動(dòng)點(diǎn)軌跡的曲率中心[J]. 機(jī)械科學(xué)與技術(shù), 1996, 15 (2): 255-259.

[7] 錢衛(wèi)香. 具有二階密切直線導(dǎo)路機(jī)構(gòu)最優(yōu)運(yùn)動(dòng)設(shè)計(jì)[J]. 組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù), 2013 (7): 82-85.

[8] Barton L O. A new graphical technique for solving the Euler-Savary equation[J]. Mech. Mach. Theory, 1995, 30(8): 1305-1309.

[9] Sandor G N, Erdman A G. Double-valued solutions of the Euler-Savary equation and its counterpart in bobillier's construction[J]. Mech. Mach. Theory, 1991, 20(2): 145-148.

[10] C Barker. A complete classification of planar four-bar linkages[J]. Mech. Mach. Theory, 1985, 20 (6): 535-554.

(編輯 李秀敏)

Synthesis and Analysis on Straight-line Guiding Mechanism with Two Vertical Rotating Links

QIAN Wei-xiang1，CUI Jian-peng2

(1.School of Mechanical Engineering, Xi'an University of Science and Technology, Xi'an 710054, China;2.The 41st Institute of the Fourth Academy of CASC, Xi'an 710025, China)

For given frame length, a point on the prescribed straight line and its orientation, the mathematical model under the configuration of two vertical rotating links was established by the method of analytic geometry and computer visualization technology. It can be used to solve all of possible straight-line mechanism solutions with three-order osculating straight lines which meet preset kinematic demands. But it is difficult to select desired straight-line mechanisms. Mechanism properties of interested including straightness were analyzed and the graphical visualization of the property information was implemented. Feasible solution regions adhering to design constraints were visually represented. And it can guide designers to find the global optimal mechanism. The results of synthesis examples verified the correctness and effectiveness of the proposed model and method.

straight line guiding mechanism; mechanism synthesis; ball point; curvature stagnation point curve

1001-2265(2016)11-0060-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.11.017

2016-01-18

錢衛(wèi)香(1975—)，女，河北昌黎人，西安科技大學(xué)副教授，博士，研究方向?yàn)楝F(xiàn)代設(shè)計(jì)理論與方法、機(jī)構(gòu)學(xué)，(E-mail)qianwx2003@163.com。

TH112.1;TG506

A