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    由厚到?。航處熝凶x教材的一個(gè)原則

    2016-12-05 11:17劉家良
    關(guān)鍵詞:對(duì)稱軸實(shí)數(shù)拋物線

    劉家良

    新教師大多學(xué)歷高,知識(shí)廣而深,用他們當(dāng)中的某些教師的話講,“初中的這點(diǎn)知識(shí)不用怎么去讀教材,都在肚里裝著,看兩眼就能知道課本上講的是什么”.是的,流于表面上的東西看一看就行,就能到課堂上講,但這些東西的背后往往“隱藏”著許多有價(jià)值的東西,需要教師靜下心來仔細(xì)研讀、挖掘,要讀厚教材還要讀薄教材,方能連點(diǎn)成線,道出其中的味道,揣摩編者的意圖,駕馭教材,講解起來方能游刃有余.

    一、設(shè)問

    在閱讀教材中,若能就某個(gè)關(guān)鍵的字、詞、句不斷質(zhì)疑,進(jìn)行設(shè)問、聯(lián)想、釋義、延伸,就能豐富文本的解讀,增強(qiáng)該知識(shí)點(diǎn)理解的厚度,溝通與其他知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系.

    如人教版義務(wù)教育《數(shù)學(xué)》教科書(以下簡稱《數(shù)學(xué)》)九年級(jí)上冊第10頁中有這樣一句話:“當(dāng)Δ<0時(shí),方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實(shí)數(shù)根.”如何理解“無實(shí)數(shù)根”的含義呢?在自問中聯(lián)想到了方程根的定義,根據(jù)方程根的定義,可知方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實(shí)數(shù)根是指x無論取什么實(shí)數(shù),式子ax2+bx+c(a≠0)的值都不為0,反之,亦成立.這樣的理解價(jià)值又有幾何呢?且看一題,就能知曉.

    例1 若分式對(duì)于x無論取任何實(shí)數(shù)總有意義,則a的取值范圍為 .

    分析:根據(jù)分式有意義的條件,知x無論取任何實(shí)數(shù),以x為主元的二次三項(xiàng)式x2+2x+a的值都不為0,那么其相應(yīng)的方程x2+2x+a=0就無實(shí)數(shù)根.由Δ=4-4a<0,得a>1.

    站在學(xué)生認(rèn)知的層面上,對(duì)教材中某些知識(shí)的處理方式進(jìn)行自問,“教材中的這種處理方式,學(xué)生接受起來能行嗎?”這樣會(huì)更好地體現(xiàn)因材施教的教學(xué)原則.

    如《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊第15頁中有一段:“思考:從因式分解法可知,方程(x-x1)(x-x2)=0(x1,x2為已知數(shù))的兩根為x1,x2,將方程化為x2+px+q=0的形式,你能看出x1,x2與p,q之間的關(guān)系嗎?”這段話作為根與系數(shù)關(guān)系式的引入采用了演繹的方式,邏輯性強(qiáng),但學(xué)生理解起來感到比較抽象,對(duì)此,能否改換成由特殊到一般的歸納方式呢?旨在讓學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算、觀察和猜想的過程,在過程中感悟,雖然用時(shí)多些,但易理解、能接受.

    在閱讀教材中還要通過設(shè)問提煉內(nèi)容,概括、歸納相關(guān)知識(shí),在思想的支配下,使零散的知識(shí)整體化、系統(tǒng)化,這樣教材將會(huì)變薄,知識(shí)得以上下貫通.

    如《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊第45頁中有這樣一段:“一般地,從二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象中可得如下結(jié)論.(1)如果拋物線y=ax2+bx+c與x軸有公共點(diǎn),公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0,那么當(dāng)x= x0時(shí),函數(shù)值是0,因此x=x0是方程ax2+bx+c =0的一個(gè)根.(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種:沒有公共點(diǎn),有一個(gè)公共點(diǎn),有兩個(gè)公共點(diǎn).這對(duì)應(yīng)著一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三種情況:沒有實(shí)數(shù)根,有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.”

    摘選上面這段話中的其中一點(diǎn)進(jìn)行“破譯”:當(dāng)Δ<0時(shí),拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸無交點(diǎn).如何理解這句話呢?當(dāng)Δ<0時(shí),方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實(shí)數(shù)根,也就是說,x無論取什么實(shí)數(shù),式子ax2+bx+c的值都不為0,即y=ax2+bx+c(a≠0)的函數(shù)值都不為0,這樣拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上的點(diǎn)都不會(huì)落在x軸上,即與x軸不相交.知識(shí)之間是有一個(gè)“鏈”串在一起的,二次函數(shù)與一元二次方程之間是一個(gè)相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的統(tǒng)一體,數(shù)與形相輔相成.一個(gè)知識(shí)點(diǎn)向四面擴(kuò)散的過程中,能使孤立的知識(shí)點(diǎn)與其周邊的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起一個(gè)互通互聯(lián)的“網(wǎng)”.

    二、比對(duì)

    數(shù)學(xué)語言簡練、嚴(yán)謹(jǐn),稍一疏忽就會(huì)因一字之差使意義改變.在閱讀教材中進(jìn)行比對(duì)是準(zhǔn)確理解概念內(nèi)涵和正確運(yùn)用定理的一個(gè)有效方法,在比對(duì)中使概念、定理等這些最基本的東西變厚、變清晰.

    如《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊第49頁中有這樣一段:“一般地,當(dāng)a>0(a<0)時(shí),拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是最低(高)點(diǎn),也就是說,當(dāng)x=-時(shí),二次函數(shù)y=ax2+bx+c有最?。ù螅┲?”這段話描述了二次函數(shù)最小(大)值的概念.而二次函數(shù)的最值概念又常常與二次函數(shù)區(qū)間段內(nèi)的最值概念產(chǎn)生混淆,一個(gè)奏效的方法就是異同點(diǎn)的比對(duì),二次函數(shù)的最?。ù螅┲凳恰敖怠保ㄉ┳邉葜械淖钚。ù螅┲涤质恰吧保ń担┳邉葜械淖钚。ù螅┲?,所以對(duì)應(yīng)著拋物線中的最低(高)點(diǎn),是自變量x取一切實(shí)數(shù)值對(duì)應(yīng)y值中的一個(gè)“特征”值,且這個(gè)值是唯一的,所以二次函數(shù)的最?。ù螅┲凳嵌魏瘮?shù)的一種“整體”性質(zhì),而二次函數(shù)區(qū)間段內(nèi)的最值是x取值中的一部分對(duì)應(yīng)y值中的“特征”值,這一區(qū)間段上既有最大值又有最小值,是二次函數(shù)的一種“局部”性質(zhì),當(dāng)換一個(gè)自變量的區(qū)間段時(shí),最值的情況就改變了,它與二次函數(shù)有最小(大)值是無關(guān)的.現(xiàn)舉一例.

    例2 已知二次函數(shù)y=x2+bx+c(b,c為常數(shù)).

    (1)當(dāng)b=2,c=-3時(shí),求二次函數(shù)的最小值;

    (2)當(dāng)c=b2時(shí),若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下,與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為21,求此時(shí)二次函數(shù)的解析式.

    分析:(1)是求二次函數(shù)在自變量為全體實(shí)數(shù)時(shí)的最值,所以利用的是最值公式;(2)拋物線開口方向向上,與y軸的交點(diǎn)(0,c2)在y軸的正半軸上,可據(jù)此畫出“草圖”,拋物線與x軸的交點(diǎn)有可能都落在x軸的正半軸上,也有可能都落在x軸的負(fù)半軸上,又因函數(shù)的最小值是指定自變量x區(qū)間段的最小值,所以可從自變量x的指定范圍與對(duì)稱軸x=-的位置關(guān)系的三種情況出發(fā)逐一進(jìn)行分類、比較、取舍.

    解:(1)y最小==-4;

    (2)當(dāng)c=b2時(shí),y=x2+bx+b2.x指定范圍與對(duì)稱軸x=-的位置關(guān)系有三種情況:

    ①當(dāng)b≤x≤b+3分布在對(duì)稱軸x=-的右側(cè)時(shí),則-0,對(duì)稱軸右側(cè)的函數(shù)值y隨x值的增大而增大,當(dāng)x=b時(shí)函數(shù)值最小,即b2+ b2+ b2=21,解得b=±.但b=-舍去,所以b=.

    ②當(dāng)b≤x≤b+3分布在對(duì)稱軸x=-的左側(cè)時(shí),有->b+3,得b<-2,對(duì)稱軸左側(cè)的函數(shù)值y隨x值的增大而減小,當(dāng)x=b+3時(shí)函數(shù)值最小,即(b+3)2+ b(b+3)+ b2=21,解得b=-4,b=1.但b=1舍去,所以b=-4.

    ③當(dāng)b≤x≤b+3分布在對(duì)稱軸x=-的兩側(cè)時(shí),有b<-

    綜上,得y=x2+x+7或y=x2-4x+16.

    注:此例將二次函數(shù)的最值與二次函數(shù)區(qū)間段內(nèi)的最值進(jìn)行了比對(duì),有助于教師深刻理解二次函數(shù)最值的概念,同時(shí)有助于教師形成表述問題的條理性和思考問題的嚴(yán)謹(jǐn)性.

    在相關(guān)知識(shí)的不斷比對(duì)中,能體驗(yàn)求知過程中需要嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的治學(xué)態(tài)度,通過比對(duì),在異中求同中,使知識(shí)實(shí)現(xiàn)由厚到薄的飛躍.

    案例1:《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊第2頁中的問題2:要組織一次排球邀請(qǐng)賽,參賽的每兩個(gè)隊(duì)都要比賽一場.根據(jù)場地和時(shí)間等條件,賽程計(jì)劃安排7天,每天安排4場比賽,比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽?

    案例2:《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊第17頁中的第12題:一個(gè)凸多邊形共有20條對(duì)角線,它是幾邊形?是否存在18條對(duì)角線的多邊形?如果存在,它是幾邊形?如果不存在,說明得出結(jié)論的道理.

    案例3:《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊第22頁中的第6題:參加足球聯(lián)賽的每兩隊(duì)之間都進(jìn)行兩場比賽,共要比賽90場,共有多少個(gè)隊(duì)比賽?

    注:3例中的案例2可以類比案例1(與案例1相仿的習(xí)題還有《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊第4頁的第6題,第17頁的第9題,第25頁的第7題);而案例3既需與案例1類比,又需對(duì)比.這3例都可抽象成線段條數(shù)的計(jì)數(shù)問題,而區(qū)別點(diǎn)是有向線段和無向線段的不同.如此類似的問題,教材中還有許多.通過這樣的比對(duì)、歸類,使分散在各個(gè)板塊的題目集中到一起,形成了“類”,既找到了問題解決的方法,又養(yǎng)成了比對(duì)的研究習(xí)慣,這樣,學(xué)生負(fù)擔(dān)會(huì)變輕,還可實(shí)現(xiàn)由學(xué)會(huì)向會(huì)學(xué)的轉(zhuǎn)變.

    三、善變

    練習(xí)題、習(xí)題和復(fù)習(xí)題是教材結(jié)構(gòu)的重要組成部分,是及時(shí)鞏固概念、定理和靈活應(yīng)用這些知識(shí)的重要載體.而這些題具備基礎(chǔ)性、典型性的同時(shí),往往留有“回味”和延伸的空間,以供我們教師去研讀、拓展.題的研讀會(huì)使一個(gè)題變成多道題,將有助于教師解題教學(xué)水平的整體提升.

    不滿足圖形已有的結(jié)論,去不斷挖掘圖形中蘊(yùn)含的其他結(jié)論,將圖形進(jìn)行到底,久之,教師解題教學(xué)的探究水平就會(huì)逐步得以提升.

    案例4:《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊第91頁的第3題:

    如圖1,若D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),CD⊥AB,垂直于D,BE⊥AC,垂直于E.求證AC=AB.

    分析:此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)定理的應(yīng)用.在分析過程中,可知△ABC為等邊三角形,進(jìn)而有∠A=60°的結(jié)論.若CD與BE相交于點(diǎn)F,還能得到EF=DF,CF=BF的結(jié)論.

    將教材中某些題的題設(shè)和結(jié)論互換位置,再看其是否成立,有助于教師逆向思維能力的提升.

    案例5:《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊第44頁中的第13題:

    如圖2,△ABC中,CD是邊AB上的高,且=.

    求∠ACB的大小.

    分析:教材中有一個(gè)滲透射影定理的練習(xí)題,而案例5正是那個(gè)練習(xí)題的逆向表述形式.

    善于將教材中的題進(jìn)行拓展、變式,挑戰(zhàn)教材中題的權(quán)威性,將有助于教師批判性思維能力的發(fā)展.

    案例6:將案例5中的“如圖2”去掉,其他條件均不變,圖形的形狀會(huì)有變化嗎?

    分析:CD是邊AB上的高,細(xì)細(xì)品味這句話,高CD的位置有可能在△ABC的內(nèi)部(即圖2的情形),還有可能在△ABC的外部(即鈍角三角形的情形,如圖3),而后者正是我們應(yīng)該想到的.而這種情況又確實(shí)存在.故此有可能是直角三角形,還有可能是鈍角三角形.

    站在學(xué)生的角度想問題,預(yù)設(shè)他們解題中可能出現(xiàn)的“誤解”情況.如《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊第17頁中的第2題中的(3)4x2+4x+ =(2x+ )2,有部分學(xué)生會(huì)將4x2誤認(rèn)為(4x)2,導(dǎo)致2現(xiàn)象的出現(xiàn).

    在題目的解讀中,又需將眾多的題歸類,從中尋找出一條貫穿的“主線”,養(yǎng)成概括抽象的能力,減輕學(xué)生負(fù)擔(dān).如《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊第68頁中的第9題,此題貫穿的一條主線就是中點(diǎn)四邊形的形狀取決于原四邊形對(duì)角線的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

    教材是教學(xué)目標(biāo)的載體,研讀教材,永無止境,用心去想,用心去做 ,舉一反三,觸類旁通,經(jīng)歷由厚到薄的辯證過程,這樣才能用活教材,實(shí)現(xiàn)由“教教材”到“用教材教”的能力提升.

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