高三數(shù)學(xué)例題選取原則的研究

陳亮

高三數(shù)學(xué)學(xué)案是組織高三數(shù)學(xué)課堂的一種重要教學(xué)手段和工具，是教師綜合各方面的因素以及本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)編制的具有實用性及可操作性的資料.例題作為學(xué)案的重要的組成部分，在學(xué)案中的作用是毋庸置疑的.選用什么樣的例題、所選取例題的質(zhì)量如何，直接關(guān)系到課堂教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量.特別是在學(xué)講模式的大環(huán)境下，如何編制一份質(zhì)量上乘的學(xué)案，就要恰當(dāng)?shù)剡x取例題.例題的選取要注重一下幾個原則.

一、科學(xué)性的原則

所謂科學(xué)性原則是指例題的選取規(guī)范，要做到語言簡潔準(zhǔn)確、無歧義；標(biāo)點符號使用要正確、圖形要規(guī)范清晰，沒有科學(xué)性的錯誤.例題的選取一定要遵循科學(xué)性的原則，避免出現(xiàn)錯題，以免對學(xué)生產(chǎn)生誤導(dǎo).如某中學(xué)的月考試題：

例1已知cosα=35，cos（α+β）=-1213，且α，β∈（0，π2），則cosβ=.

解析cosα=35，cos（α+β）=-1213，α+β∈0，π，所以sinα=45， sin（α+β）=513. cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-1213×35+513×45=-1665.由于α，β∈（0，π2），所以cosβ>0，而求出cosβ<0，故本題是錯誤的.在編制本題就犯了科學(xué)性的錯誤，這樣就對學(xué)生后面試題的處理帶來了消極的作用.

二、適應(yīng)性的原則

高三數(shù)學(xué)學(xué)案編寫的主體是高三學(xué)生，學(xué)案的編寫要適用這一主體.為了更好的適用，在編制時要注意從以下三個方面入手：一是校情，即要根據(jù)本校學(xué)生的具體情況以及本校的整體水平.如一個三星級或者三星級以下學(xué)校，那么在例題的選取上就要注重基礎(chǔ)性的例題.如一個四星級的學(xué)校在例題的選取上就要側(cè)重于提升類的題目，要有些難度.

例2已知函數(shù)f（x）=ex-a（x-1），其中a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù).

（1） 當(dāng)a=-1時，求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2） 討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；

（3） 已知b∈R，若函數(shù)f（x）≥b對任意x∈R都成立，求ab的最大值.

解析這是一道有關(guān)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)與應(yīng)用的例題.前兩問考查了運用導(dǎo)數(shù)求切線方程，以及討論含參的函數(shù)的單調(diào)性的問題.屬于中檔性題目，第三問考查了復(fù)雜的含參的討論，難度較大.對于本題三星級或者三星級以下學(xué)校就可以選取本題的前兩問，四星級的學(xué)校就可以加入本題的第三問.二是學(xué)情，即一定要考慮本班學(xué)生的實際情況.教師一定要掌握本班的學(xué)生具體情況，制定適合本班級使用的學(xué)案.三是學(xué)案的編寫一定要符合《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》和《考試大綱》.要從兩個方面入手：一是例題的選取不能超出《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》和《考試大綱》，對于當(dāng)中不做要求的內(nèi)容，就不要選取，如知識點三視圖、線性回歸方程等.二是了解《考試大綱》中對各個知識點的要求，對于考點中的A級要求，A級要求主要考查學(xué)生對知識點的了解，對于這樣的知識點教師要做到不引、不挖、控制難度.

三、可塑性的原則

學(xué)案例題的選取要有助于培養(yǎng)學(xué)生靈活的解題能力、應(yīng)變能力和發(fā)散思維等各個方面的能力.能夠熟練地運用所學(xué)知識靈活地解決問題.因此，選取的例題要具有可塑性和可變性.要注重變式教學(xué)和一題多解的訓(xùn)練.如在講解《基本不等式》一節(jié)時：

例3已知正數(shù)x，y滿足x+2y=2，則（x+8y）/（xy）的最小值為.

變式1已知正數(shù)x，y滿足（x+8y）/（xy）=1，則x+2y=.

變式2已知正數(shù)x，y滿足x+8y=xy則x+2y=.

變式3已知a，b為正數(shù)，且直線 ax+by-6=0與直線 2x+（b-3）y+5=0互相平行，則2a+3b的最小值為.

例4已知函數(shù)y=ax+b（b>0）的圖象經(jīng)過點P（1，3），則

4a-1+1b的最小值為.

解法1 （基本不等式法）由圖可知a>1，點（1，3）在函數(shù)y=ax+b的圖象上，所以 a+b=3，且1

所以4a-1+1b=12×24a-1+1b=12[（a-1）+b]4a-1+1b=125+4ba-1+a-1b≥92.

當(dāng)且僅當(dāng)4ba-1+a-1b，即a=73，b

=23時取等號.所以4a-1+1b的最小值為92.

解法2（三角代換法）由解法1可知a+b=3，且1

a-12+1b=1.令

a-12=cos2θ，b2=sin2θ，所以4a-1+1b=

2cos2θ+12sin2θ=2（1+tan2θ）+12（1+cot2θ）=52+2tan2θ+cot2θ2≥92.

以下同解法1.

解法3 （判別式法）由解法1可知a+b=3.令u=4a-1+1b=4a-1+13-a，去分母整理得ua2-（4u+3）a+11+3u=0.因為a∈R，當(dāng)u≠0時，Δ=（4u+3）2-4u（11+3u）=4u2-20u+9≥0，解得u≥92或u≤12.又因為u=

4a-1+13-a>2+12=52，所以u≥92.當(dāng)a=73，b=23時，u=4a-1+1b=92，所以4a-1+1b的最小值為92.

例3體現(xiàn)了變式教學(xué)，考查了“1”的運用.例4體現(xiàn)了一題多解.兩個例題充分考查了基本不等式中各個知識點和典型例題的解法和技巧.

四、系統(tǒng)性的原則

高中數(shù)學(xué)學(xué)案的編制無論是內(nèi)容還是結(jié)構(gòu)一定要體現(xiàn)知識的完整性和系統(tǒng)性，在例題的選取上一定要盡量體現(xiàn)本節(jié)課所涉及的知識點.如在講解《導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用》一節(jié)，本節(jié)課主要涉及的知識點有：

1.運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

2.運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；

3.運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值等.

因此，本節(jié)課可以選取例題：

已知函數(shù)f（x）=lnx-x-ax，a∈R.

（1） 當(dāng)a=0時，求函數(shù)f（x）的極大值；

（2） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（3） 當(dāng)a>1時，設(shè)函數(shù)g（x）=|f（x-1）+x-1+ax-1|，若實數(shù)b滿足b>a且g

bb-1=g（a），g（b）=2g（a+b2），求證：4