三角形角平分線的應(yīng)用

□韓春見

三角形角平分線的應(yīng)用

□韓春見

三角形的角平分線是三角形中的一條重要線段，要全面學(xué)好三角形的相關(guān)知識，需對三角形的角平分線給予足夠的關(guān)注.

一、直接用角平分線分得的兩個角相等

例1（1）如圖1，點D是△A B C中∠A B C和∠A C B兩個內(nèi)角平分線的交點，求證：∠D＝90°＋

圖1

圖2

（2）如圖2，點D是△A B C中∠A B C和∠A C B兩個外角平分線的交點，試猜想∠D與∠A的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（2）為結(jié)論開放問題，沿著（1）的思路：先表示∠D和∠A，再借助條件B D和C D為∠A B C和∠A C B兩個外角平分線，易猜想到結(jié)論為∠D＝ 90°－

解：（1）∵點D是△A B C中∠A B C和∠A C B兩個內(nèi)角平分線的交點，

在△B C D中，

∠D＝180°－（∠D B C＋∠D C B），

在△A B C中，

∠A B C＋∠A C B＝180°－∠A，

證明略.

點評：（1）本題主要就是運用了角平分線分得的兩個小角等于原兩大角的一半.（2）本題的第2小問是結(jié)論開放問題，準(zhǔn)確猜想出結(jié)論是解決問題的關(guān)鍵.

二、利用三線合一

例2已知：如圖3，P是∠A O B平分線上的一點，P C⊥O A，P D⊥O B，垂足分別為C、D.求證：

（1）O C＝O D.

（2）O P是C D的垂直平分線.

圖3

分析：該題涉及角平分線和線段的垂直平分線，這兩者之間有較為緊密的聯(lián)系.在該題中，可利用這兩者之間的關(guān)系為解題創(chuàng)造條件.

證明：（1）由條件可知，

∠P C O＝∠P D O＝90°，

∠C O P＝∠D O P，O P＝O P，

故△P O C≌△P O D.

所以O(shè) C＝O D.

（2）由（1）知△P O C≌△P O D，

所以C P＝D P.

由定理“到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上”，可知點P在線段C D的垂直平分線上，

又∵O C＝O D，同理可知點O也在線段C D的垂直平分線上，

故O P是C D的垂直平分線.

引申：如圖3，C、D是射線O A、O B上的兩點.若O P是線段C D的垂直平分線，

求證：O P是∠A O B的角平分線.

證明：∵O P是線段C D的垂直平分線，

∴O C＝O D，

∴由等腰三角形三線合一，可知O P是∠A O B的角平分線.

點評：例2是利用O P是∠A O B的角平分線這一條件，證明O P是線段C D的垂直平分線的.引申問題卻反過來用O P是線段C D的垂直平分線這一條件，來證明O P是∠A O B的角平分線.在很多情況下二者可互相轉(zhuǎn)化，互為條件，這是解這類問題的關(guān)鍵.

三、向角的兩邊作垂線

例3已知：如圖4，∠C＝90°，∠B＝30°，A D是Rt△A B C的角平分線.求證：B D＝2 C D.

圖4

分析：根據(jù)已知條件可求出∠B A C的度數(shù)，再由A D是△A B C的角平分線，可分別求出圖4中其余各角的度數(shù)，再證明結(jié)論就容易了.

證明：由∠C＝90°，∠B＝30°，知∠B A C＝60°.

∵A D是△A B C的角平分線，

∴∠B A D＝∠C A D=30°，

∴∠B＝∠B A D，∴A D＝B D.

在△A D C中，

∠D A C＝30°，∠C＝90°，

∴A D＝2 C D.故B D＝2 C D.

引申：該題中，若條件不變，如圖4，從D點向A B作垂線交A B于點E，請問：（1）△A D E≌△A D C是否成立？（2）B D＝2 D C是否成立？

證明：（1）∵A D是△A B C的角平分線，

∴由角平分線的性質(zhì)可知D E＝D C，

在Rt△A D E和Rt△A D C中，

∴Rt△A D E≌Rt△A D C.

（2）在△B D E中，

∠B＝30°，∠B E D＝90°，

∴B D＝2 D E.

由（1）可知D E＝D C，故B D＝2 D C.

點評：全等的條件可輕松找到，B D＝2 D E顯然也成立.這是在特殊角三角形的情況下考慮的，若推廣到一般三角形的情況，解答該題的主要依據(jù)“角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等”依然是一個重要的解題條件.

例4已知：如圖5，△A B C的外角∠C B D和∠B C E的平分線相交于點F.求證：點F在∠D A E的平分線上.

圖5

分析：該題圖比較簡單，單從上圖中很難看出應(yīng)該怎么證明結(jié)論.但問題既然涉及角平分線，我們很容易想到定理“在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上”，所以不妨過點F分別作B D、B C、C E的垂線段，這樣就找到了解決問題的切入點.

證明：如圖5，過點F分別作B D、B C、C E的垂線段F G、F H、F M.

∵B F是∠C B D的平分線，

∴F G＝F H.

同理F H＝F M，則F G＝F M.

∵點F在∠D A E內(nèi)，且點F到A D、A E的距離相等，

∴點F在∠D A E的平分線上.

引申：該題中，若條件不變，請問：∠A與∠B F C有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（∠B F C＝90°－∠A，探索求解過程程略）.

點評：以上兩題巧妙地利用了角平分線的性質(zhì)和判定來證明問題.角平分線的性質(zhì)和判定是平面幾何中的兩個重要知識點，在中考中獨立命題不多，常與線段垂直平分線、三角形全等以及圓等其他幾何知識相互滲透，往往以填空題、解答題等低中檔題目出現(xiàn).

四、在角的兩邊截取相等的線段

例5如圖6，已知△A B C的角平分線A D交B C于點D，且∠A B C＝2∠C，A B＝4cm，B D＝3cm，求線段A C的長.

圖6

分析：要求線段A C的長，就是要想辦法將線段A C與已知線段A B和B D聯(lián)系起來.利用∠B A D＝∠C A D相等，可在∠B A C的兩邊截取相等線段，如在邊A B所在的射線上截取A E＝A C，可得△A E D≌△A C D，只要證明△B D E是一個等腰三角形，即可得A C＝A E＝A B＋B E＝A B＋B D＝7cm.（注：在邊A C上截取也可求得A C＝7cm）.

解：延長A B到E，使A E＝A C，連接D E.

∵△A B C的角平分線A D交B C于點D，

∴∠B A D＝∠C A D.

∵A D＝A D，

∴△A D E≌△A D C，

∴∠E＝∠C.

∵∠A B C＝2∠C，

∠A B C＝∠E＋∠B D E，

∴∠E＝∠B D E，

∴B E＝B D＝3cm，

A C＝A E＝A B＋B E＝A B＋B D＝4＋3＝7（cm）.

點評：當(dāng)給定的題設(shè)條件及圖形并不具有明顯的全等條件時，需要我們認(rèn)真觀察、分析，根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特征，挖掘潛在因素，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，巧構(gòu)全等三角形.三角形的角平分線為構(gòu)造全等三角形提供了一對相等角（∠B A D＝∠C A D）和一對公共邊（A D＝A D），只需再添加一個條件就可得到全等，借助全等三角形的性質(zhì)，就可迅速找到解題的途徑.