具有廣義指數(shù)型二分性的擾動(dòng)系統(tǒng)的周期解*

夏永輝,陳麗君,陳錦松,吳海輝

(1.浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004;2.福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350002;3.福州大學(xué) 陽光學(xué)院，福建 福州 350002)

?

具有廣義指數(shù)型二分性的擾動(dòng)系統(tǒng)的周期解*

夏永輝1,陳麗君1,陳錦松2,吳海輝3

(1.浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004;2.福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350002;3.福州大學(xué) 陽光學(xué)院，福建 福州 350002)

經(jīng)典的指數(shù)型二分性理論已經(jīng)得到較為完善的發(fā)展,但經(jīng)典指數(shù)型二分性相對(duì)較強(qiáng),限制了很多動(dòng)力學(xué)行為.為了得到更多的動(dòng)力學(xué)性質(zhì),在現(xiàn)有廣義指數(shù)型二分性概念的基礎(chǔ)上，主要采用壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理，探討了當(dāng)線性部分具有廣義指數(shù)型二分性時(shí),擾動(dòng)系統(tǒng)周期解的存在唯一性.得到了該系統(tǒng)周期解存在且唯一的一些充分條件.

指數(shù)型二分性;線性系統(tǒng);周期解;擾動(dòng)系統(tǒng)

0 引 言

考慮線性系統(tǒng)

(1)

定義1 如果存在一個(gè)投影P(P2=P)、正的常數(shù)K和α,滿足

其中X(t)為系統(tǒng)(1)的基本解矩陣,那么稱系統(tǒng)(1)具有(經(jīng)典)指數(shù)型二分性.

當(dāng)線性部分具有(經(jīng)典)指數(shù)型二分性時(shí),已經(jīng)有許多學(xué)者討論了其擾動(dòng)系統(tǒng)的周期解的存在唯一性問題[1-18].然而,這些結(jié)果的基本假設(shè)都是基于線性系統(tǒng)具有(經(jīng)典)指數(shù)型二分性基礎(chǔ)之上的.但(經(jīng)典)指數(shù)型二分性相對(duì)較強(qiáng),限制了很多動(dòng)力學(xué)行為.為得到更廣泛的動(dòng)力學(xué)性質(zhì),文獻(xiàn)[19-21]提出了廣義指數(shù)型二分性的概念;文獻(xiàn)[22-24]還利用廣義指數(shù)二分性推廣了Hartman線性化的相關(guān)結(jié)果.本文將討論當(dāng)線性系統(tǒng)具有廣義指數(shù)型二分性時(shí),擾動(dòng)系統(tǒng)的周期存在性與唯一性問題.

1 主要定義及引理

定義2 如果存在投影P、正常數(shù)K和連續(xù)函數(shù)α(t):R→(0,+∞),

使得

(2)

式(2)中X(t)是線性系統(tǒng)

(3)

的基本解矩陣,則稱線性系統(tǒng)(3)具有廣義指數(shù)型二分性.

例1 系統(tǒng)

具有廣義指數(shù)型二分性,但是不滿足經(jīng)典的指數(shù)型二分性.因此，研究當(dāng)線性系統(tǒng)具有廣義指數(shù)型二分性時(shí)擾動(dòng)系統(tǒng)的性質(zhì)具有重要理論意義.

引理1 若線性系統(tǒng)(3)具有廣義指數(shù)型二分性,則它不存在非平凡的有界解.

證明 若線性系統(tǒng)(3)具有廣義指數(shù)型二分性,則存在一個(gè)投影P、正常數(shù)K和連續(xù)函數(shù)α(t)滿足式(2).設(shè)x(t)是線性系統(tǒng)(3)的任意一個(gè)有界解,則存在n階實(shí)向量ξ,使得

所以只需證明Pξ=0,(I-P)ξ=0.若Pξ≠0,則考慮t≤0.因?yàn)?/p>

所以,由式(2)可得

‖Pξ‖=‖X(0)Pξ‖=‖X(0)PX-1(t)X(t)Pξ‖≤

于是

(4)

另一方面,

‖X(t)(I-P)ξ‖=‖X(t)(I-P)X-1(0)X(0)(I-P)ξ‖≤

(5)

從式(4)和式(5)可以得出

引理2 若線性系統(tǒng)(3)具有廣義指數(shù)型二分性,則滿足系統(tǒng)(3)的投影P是唯一的.

使得下式成立:

(6)

任取ξ∈Rn,考慮t≥0,由不等式(6)得

(7)

對(duì)?t≤0,有

(8)

引理3 若線性系統(tǒng)(3)具有廣義指數(shù)型二分性,則系統(tǒng)

(9)

存在唯一的有界解

其中:A(t)是定義在R上的連續(xù)有界方陣;f:Rn→Rn連續(xù).

證明 令

(10)

直接對(duì)式(10)微分,容易驗(yàn)證x0(t)是系統(tǒng)(9)的一個(gè)解.從而得

由于線性系統(tǒng)(3)具有廣義指數(shù)型二分性,且

所以存在M>0,使得當(dāng)s→∞時(shí)有

(11)

(12)

由式(11)和式(12)得

于是得出x0(t)是系統(tǒng)(9)的一個(gè)有界解.由引理1和引理2可知系統(tǒng)(9)的有界解是唯一的,且

引理3證畢.

2 主要結(jié)果(周期解)

定理1 若系統(tǒng)(3)是一個(gè)周期為ω的線性系統(tǒng)且具有廣義指數(shù)型二分性,則X(t)PX-1(s)是一個(gè)以ω為周期的函數(shù).

顯然,X(T)PX-1(T) 也是線性系統(tǒng)(3)的一個(gè)投影.由引理2可得X(T)PX-1(T)=P.于是

定理1證畢.

注1 當(dāng)廣義指數(shù)型二分性變成經(jīng)典指數(shù)型二分性時(shí),α(t)≡α,定理1就退化成經(jīng)典指數(shù)型二分性的已知結(jié)果(見文獻(xiàn)[2]定理3.18).

定理2 若線性系統(tǒng)(3)具有廣義指數(shù)型二分性,且A(t+ω)=A(t),f(t+ω)=f(t),則系統(tǒng)(9)具有唯一的周期解.

證明 設(shè)x(t) 是系統(tǒng)(9)的解,由引理3可得

(13)

且系統(tǒng)(9)的解是唯一的.下證周期性.由式(13)得

令τ=s-ω，且由定理1和條件f(t+ω)=f(t)可知

因此,系統(tǒng)(9)具有唯一的周期解.定理2證畢.

現(xiàn)在考慮非線性系統(tǒng)

(14)

式(14)中:A(t)是定義在R上的連續(xù)有界方陣;f:R×Rn→Rn連續(xù).記

定理3 若線性系統(tǒng)(3)具有廣義指數(shù)型二分性，且

(15)

則系統(tǒng)(14)存在唯一的周期解.

證明 設(shè)B={φ(t) |φ(t+ω)=φ(t)}，對(duì)于?φ(t)∈B,令

(16)

由定理2可知,系統(tǒng)(16)存在唯一的周期解,記作

定義算子T:φ→xφ,于是Tφ(t)=xφ(t).由式(2)和式(15)可得

對(duì)于?φ(t)∈B及ψ(t)∈B,由式(15)可得

‖Tφ(t)-Tψ(t)‖=

由已知條件可知2KLr<1,所以T:φ→xφ存在唯一的不動(dòng)點(diǎn).因此,系統(tǒng)(14)存在唯一的周期解.定理3證畢.

[1]Lin F X.The existence on periodic solutions and almost periodic solutions of lienard equation[J].Acta Math Sci,2003,39(3):643-662.

[2]林發(fā)興.線性系統(tǒng)指數(shù)型二分性[M].合肥:安徽大學(xué)出版社,1999:17-71.

[3]Coppel W A.Dichotomies in stability theory[M].Berlin:Springer-Verlag,1978:10-28.

[4]Pinto M.Dichotomy and existence of periodic solutions of quasilinear functional differential equations[J].Nonlinear Anal,2010,72(3/4):1227-1234.

[5]Xia Y H,Chen X,Romanovski V.On the linearization theorem of fenner and pinto[J].J Math Anal Appl,2013,400(2):439-451.

[6]Xia Y H,Li J P,Wong J Y.On the topological classification of dynamic equations on time scales[J].Nonlinear Anal:Real World Appl,2013,14(6):2231-2248.

[7]Palmer K J.A characterization of exponential dichotomy in terms of topological equivalence[J].J Math Anal Appl,1979,69(1):8-16.

[8]Palmer K J.The structurally stable linear systems on the half-line are those with exponential dichotomies[J].J Diff Equ,1979,33(1):16-25.

[9]Reinfelds A.A generalized theorem of Grobman and Hartman[J].Latv Mat Ezheg,1985,29:84-88.

[10]Naulin R.A remark on exponential dichotomies[J].Revista Colom Math,1999,33(1):9-13.

[11]Minh N V.On the proof of characterizations of the exponential dichotomy[J].Proc Amer Math Soc,1999,127(3):779-782.

[12]繆春芳.一類二階中立型時(shí)滯微分方程的漸近穩(wěn)定性[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,31(01):37-40.

[13]姜鳳華.泛函微分方程的Lipschitz穩(wěn)定性[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,27(04):338-341.

[14]盛廷贊.一類混合型泛函微分方程的柯西問題 [J].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1997,20(3):12-14.

[15]周祥龍.一類非線性時(shí)滯微分方程的振動(dòng)性[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1995,18(3):5-9.

[16]Ngoc P H A,Natio T.New characterizations of exponential dichotomy and exponential stability of linear difference equations[J].J Diff Equ Appl,2005,11(10):909-918.

[17]Petre A P,Megan M.On uniform exponential dichotomy of linear skew-product three-parameter semiflows in Banach spaces[J].Romai J,2011,7(1):141-150.

[18]Sacker R,Sell G.Dichotomies for linear evolutionary equations in Banach spaces[J].J Diff Equ,1994,113(1):17-67.

[19]林木仁.廣義指數(shù)型二分性等價(jià)條件[J].福州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2002,30(2):158-162.

[20]Lin M R.A criterion for generalized exponential dichotomy and existense of bounded solution[J].Acta Math Sci Ser A:Chin Ed,2003,23(5):619-626.

[21]林木仁.廣義指數(shù)型二分性[J].福州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1982,10(4):21-30.

[22]江良平.Palmer線性化定理的一個(gè)推廣[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2011,24(1):150-157.

[23]Jiang L.Generalized exponential dichotomy and global linearization[J].J Math Anal Appl,2006,315(2):474-490.

[24]Jiang L.Strongly topological linearization with generalized expoential dichotomy[J].Nonl Anal TMA,2007,67(4):1102-1110.

(責(zé)任編輯 陶立方)

Periodic solution of perturbed system with generalized exponential dichotomy

XIA Yonghui1,CHEN Lijun1,CHEN Jinsong2,WU Haihui3

(1.CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China; 2.CollegeofMathematicsandComputerScience,FuzhouUniversity,Fuzhou350116,China; 3.CollegeofSunshine,FuzhouUniversity,Fuzhou350002,China)

The classical exponential dichotomy had been well developed,while the concept of classical exponential dichotomy was always too strong.It restricted many dynamic behavior.A set of sufficient conditions were obtained for the periodic solutions of non-autonomous nonlinear system if the linear part admited a generalized exponential dichotomy.

exponential dichotomy; linear system; periodic solution; perturbed system

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.01.005

??2015-03-12；

2015-06-12

浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LY15A010007)；中國(guó)博士后基金資助項(xiàng)目(2014M562320);福州大學(xué)基礎(chǔ)課骨干教師訪問基金資助項(xiàng)目;福建省教育廳科研項(xiàng)目(JB12254)

夏永輝(1978-)，男，福建壽寧人，教授，博士.研究方向：常微分方程與動(dòng)力系統(tǒng).

O241

A

1001-5051(2016)01-028-06