課堂中如何更好地發(fā)揮例題的作用
——例題的引申與拓展例談

●王常斌

(青云中學(xué) 廣東佛山 528313)

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課堂中如何更好地發(fā)揮例題的作用
——例題的引申與拓展例談

●王常斌

(青云中學(xué) 廣東佛山 528313)

高三復(fù)習(xí)的教學(xué)離不開選題，而高考題是我們選題的主要來源之一.選好例題固然重要，而在課堂上如何用好例題則更為重要.筆者在一節(jié)復(fù)習(xí)課中深刻體會到這一點，現(xiàn)將課堂實錄整理出來，供同行參考.

本節(jié)課復(fù)習(xí)圓錐曲線及其應(yīng)用，在簡單復(fù)習(xí)完圓錐曲線的有關(guān)知識點后，筆者給出了一道例題：

1)求⊙C的圓心軌跡L的方程；

本題選自一道高考題，筆者讓學(xué)生嘗試做第1)小題，會做的獨立思考，有困難的看以下提示：

①你能畫出2個已知圓嗎？

②你能畫出滿足條件的一個⊙C嗎？

③設(shè)⊙C的半徑為r,你能用r表示出CF′與CF嗎？

④由③你發(fā)現(xiàn)了什么？你能解決第1)小題嗎？

設(shè)計意圖 分層教學(xué)思想：能力強的學(xué)生獨立解決；學(xué)困生在教師的問題提示下更好地理解題意，一步步找出解決問題的“源”.

圖1

幾分鐘后生1上臺板書：

則 ||CF|-|CF′||= |(r+2)-(r-2)|=

師：生1做得對嗎？

生2：我覺得他的解答過程有問題，漏寫了1種情況.

師：你能更正嗎？

生2：可以.

于是生2上臺將解答更正為：

從而 ||CF′|-|CF||= |(r+2)-(r-2)|=

筆者對2位學(xué)生都給予了肯定，特別是生2的思維嚴(yán)謹(jǐn)，并指出如果按生1的解答應(yīng)是雙曲線的一支，而不是完整的雙曲線.筆者利用這個契機強化了雙曲線的定義，在這里采用了概念復(fù)習(xí)習(xí)題化的方法，比單純復(fù)習(xí)概念效果要好.接著，筆者讓學(xué)生繼續(xù)思考第2)小題如何解決，有困難的同學(xué)看以下提示:

①你能根據(jù)第1)小題計算的結(jié)果畫出第2)小題的示意圖嗎？

②從示意圖中可以看出點P，M，F(xiàn)構(gòu)成什么圖形？

③當(dāng)點P運動到什么位置時，||MP|-|FP||最大？理由是什么？

設(shè)計意圖 數(shù)形結(jié)合思想，從圖中觀察思考，啟迪思維，教學(xué)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，一步步引導(dǎo)學(xué)生找到解題思路.

(不一會，有學(xué)生發(fā)言.)

生3：我想應(yīng)該用“三角形兩邊之和小于第三邊”來做吧.

師：思路正確，那具體怎么做呢？

生3：我還未想好.

師：那同學(xué)們再思考一下，也可以相互討論.

(不一會，另一位學(xué)生發(fā)言.)

生4：當(dāng)點P,F,M共線時，||MP|-|FP||取得最大值，因此只需求出直線MF與雙曲線的交點坐標(biāo)即可.

師：三個臭皮匠，頂個諸葛亮！同學(xué)們按此思路試試看.

下面是生5板書的解答過程：

||MP|-|FP||≤ |MF|=

得

從而

解得

師：同學(xué)們，上述的解答過程有問題嗎？

生6：不是2個點，而應(yīng)舍去一個.

師：為什么？

師：同學(xué)們明白了嗎？可以自己畫圖試試.

圖2

(學(xué)生們畫出如圖2所示的圖形，得到驗證后大家對生6佩服有加.)

教師趁熱打鐵：解析幾何是用代數(shù)方法來解決幾何問題，體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合，因此千萬不要忽視形(圖形)在解題中的作用啊!

(例1解決了，同學(xué)們都意猶未盡，筆者覺得就此打住未免太可惜了.)

師：同學(xué)們，我們不是為了解題而解題，要力爭做到“做一題，會一類”.對于例1，能否改變其中的條件或所求問題而變出其他題目呢？請同學(xué)們試一試.

筆者讓學(xué)生談?wù)勛约旱母念}方案.方案五花八門，有合理的，也有不合理的，經(jīng)過篩選，綜合起來合理的改題方案有以下幾種：

變式1 1)將第1)小題中的條件“與一圓內(nèi)切，與一圓外切”改成“與2個圓都外切”或“與2個圓均內(nèi)切”.

2)在第1)小題中改變2個圓的位置關(guān)系.

3)將變式1),2)中的條件同時改變.

4)第2)小題中求|MP|+|FP|的最小值.

5)改變第2)小題中點M的位置，求|MP|+|FP|的最小值.

上面的變式1因為很簡單，所以教師讓學(xué)生直接說出答案：軌跡L的方程為直線x=0(其中y≠0).

然后，筆者讓每個學(xué)習(xí)小組(4人一組)自選以上變式2)～5)中的1個進行探究.10分鐘后，各小組派代表展示自己的探究成果(簡單地書寫在黑板上，例題書寫量大的用草稿紙進行投影).當(dāng)然在展示的過程中也有一些錯漏，經(jīng)過學(xué)生糾錯和師生共同評定都予以更正.現(xiàn)選取學(xué)生的探究結(jié)論和部分例題整理如下：

變式2 1)由例1知，當(dāng)2個圓外離時，與一圓內(nèi)切、與另一圓外切的圓的圓心軌跡L為雙曲線，2個圓半徑不相等時此結(jié)論仍然成立.

2)當(dāng)2個圓外切時，與一圓內(nèi)切、與另一圓外切的圓的圓心軌跡L為一條直線(去掉3個點)，即2個圓的連心線(去掉2個圓的圓心及切點),2個圓半徑不相等時，此結(jié)論仍然成立.

3)2個圓內(nèi)切時，滿足條件的軌跡為橢圓(去掉切點).

例2 設(shè)⊙C與2個圓(x+2)2+y2=1，(x-2)2+y2=25中的一個內(nèi)切，另一個外切．求⊙C的圓心軌跡L的方程.

分析 設(shè)F′(-2,0)，F(xiàn)(2,0),⊙C的半徑為r，因為⊙C只能與小圓外切與大圓內(nèi)切，所以

則

|CF′|+|CF|=(r+1)+(5-r)=6>4,

4)當(dāng)2個圓內(nèi)含時，滿足條件的軌跡為完整的橢圓.

變式3 1)當(dāng)2個圓外離且2個圓半徑不相等時，與2個圓均外切的⊙C的圓心軌跡為雙曲線的一支.

2)當(dāng)2個圓外切且2個圓半徑不相等時，與2個圓均外切的⊙C的圓心軌跡為雙曲線的一支(去掉2個圓的切點).

3)當(dāng)2個圓相交且2個圓半徑不相等時，與2個圓均外切的⊙C的圓心軌跡為雙曲線一支的一部分(去掉夾在2個圓交點之間的部分(包括2個交點)).

當(dāng)2個圓半徑不相等時，與2個圓均內(nèi)切的圓的圓心的軌跡與2個圓外切時有類似的結(jié)論，這里不再贅述.

分析 |MP|+ |FP|≥|MF|=

圖3

得

解得

圖4

分析 在例3中，點M夾在雙曲線的2支之間，而由例4畫出圖形(如圖4所示)可知，點M在右支里面，從而直線MF與雙曲線的交點P不可能夾在點M,F之間，因此例4用例3的方法行不通.顯然滿足條件的點P只可能在右支上，可以考慮用雙曲線的定義，將|FP|轉(zhuǎn)化為|PF′|-4(其中F′為雙曲線的左焦點)，從而轉(zhuǎn)化為求|MP|+|PF′|-4的最小值，再用例3的方法解決.

|PF|=|PF′|-4，

從而 |MP|+|FP|= |MP|+|F′P|-4≥

解得

學(xué)生展示完探究結(jié)果，師生共同賞析和點評后，進入課堂小結(jié)環(huán)節(jié).

師：今天我們解答了一道高考題，并對此高考題進行了改編，同學(xué)們改編出若干好題、妙題，探究出許多有意義的結(jié)論，看來同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛力是無窮的！通過今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲和體會，請自由談?wù)?

(得到教師的表揚，每位學(xué)生都很開心，興致更高.)

生7：今天我學(xué)會了用定義法求圓錐曲線的軌跡方程，其關(guān)鍵在于如何將題目中的條件轉(zhuǎn)化為符合圓錐曲線定義的表達(dá)式.

生8：在求曲線軌跡方程時，要畫出草圖，分清與哪個圓內(nèi)切，與哪個圓外切；利用2個圓的位置關(guān)系寫表達(dá)式時，要結(jié)合草圖來看.特別是2個圓內(nèi)切時，一定要分清哪個圓的半徑大、哪個圓的半徑小.

生9：我覺得求出曲線方程后,還應(yīng)該考慮自變量的取值范圍.

生10：今天我學(xué)會了“已知2個點M,P的坐標(biāo)，如何在已知曲線上求一點P，使得||MP|-|FP||取得最大值，或使得|MP|+|FP|取得最小值”.前者用“三角形兩邊之差小于第三邊”，后者用“三角形兩邊之和大于第三邊，3個點共線時取等號”.

生11：我覺得共線時取等號，還要考慮到點P的位置，前者應(yīng)在MF的延長線上，后者在線段MF上.

生12：我覺得做解析幾何題時一定要注意數(shù)形結(jié)合：前面求曲線方程時如此，后面求最值時也要畫出草圖；根據(jù)點M的位置來選擇是直接求直線MF與曲線的交點，還是轉(zhuǎn)化為求直線MF′與曲線的交點.

(以上學(xué)生們的發(fā)言，贏得了大家陣陣掌聲，也得到了教師由衷的贊揚.接著教師布置了課后作業(yè).)

師：每位同學(xué)將課內(nèi)自己沒有探究的變式，選擇2～3個進行探究，每個變式自編一題，并寫出詳細(xì)的解答過程.

通過這節(jié)習(xí)題課的教學(xué)，筆者也有較大的收獲.體會最深刻的一點是在課堂教學(xué)中，教師要充分發(fā)揮教學(xué)智慧，要創(chuàng)造條件充分發(fā)揮例題的輻射作用.許多教師對例題的教學(xué)僅停留在題目的表面，學(xué)完例題，做幾道同類的練習(xí)題，但缺乏對解題方法的提煉、對解題策略的總結(jié).學(xué)生僅停留在簡單模仿或變式練習(xí)階段，只有少數(shù)學(xué)生能從例題和練習(xí)中自發(fā)領(lǐng)悟.要使學(xué)生對所學(xué)的知識融會貫通，我們必須引領(lǐng)學(xué)生從“自發(fā)領(lǐng)悟”到“自覺分析”.對于選擇的經(jīng)典例題要善于“從不同的角度挖掘100次，這樣的效果要遠(yuǎn)勝于對100道題只淺挖一次”[1].這就要求教師在課堂內(nèi)多創(chuàng)設(shè)一些情景，多給學(xué)生一些平臺，激發(fā)他們的好奇心和求知欲，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性、主動性.教師的“外因”必須通過學(xué)生的“內(nèi)因”起作用，學(xué)生的有意義建構(gòu)是例題教學(xué)的本質(zhì)之所在.

[1] 王永生.一道高考數(shù)學(xué)試題教學(xué)運用的精彩故事[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:上旬，2014(1/2):42-45.