等式基本性質(zhì)教學(xué)設(shè)計的幾個要點*

●王紅權(quán)

(杭州市普通教育研究室 浙江杭州 310003)

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等式基本性質(zhì)教學(xué)設(shè)計的幾個要點*

●王紅權(quán)

(杭州市普通教育研究室 浙江杭州 310003)

“源于生活、易于理解”是對日常生活中的一些規(guī)律的最為簡樸的抽象.等式基本性質(zhì)是數(shù)學(xué)中的基本規(guī)律之一，小學(xué)和初中的教材中都呈現(xiàn)了該內(nèi)容，它是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)中重要的教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)設(shè)計中需要充分理解其地位、價值和意義.

1 理解等式的含義是“開篇設(shè)計”的前提

1.1 教材呈現(xiàn)以圖代文，教學(xué)必需由圖及文(數(shù))

本文所指的教材是指浙江教育出版社義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》(七年級).“開篇設(shè)計”以實驗形式呈現(xiàn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生真實經(jīng)歷等式基本性質(zhì)的形成過程.因此教學(xué)設(shè)計時必須要有實驗操作環(huán)節(jié)，在圖1、圖3的基礎(chǔ)上通過添加(或減少)相同的砝碼個數(shù)(如圖2、圖4所示)，觀察天平是否平衡，“觸摸”等式基本性質(zhì)1的生活原型.這個環(huán)節(jié)展示時要注意3點：1)演示要反復(fù)多次并能讓學(xué)生注意到每一次操作都是“對稱的”；2)要讓學(xué)生體會到這種操作是“可逆的”(添加和取出)；3)要注意讓學(xué)生思考操作過程中的不同狀態(tài)：從一種平衡通過“操作”到另一種平衡，在這一變化過程中不變的是什么.

圖1 圖2

圖3 圖4

教材采用合作學(xué)習(xí)的方式，教師輔之以實驗，目的都是為了讓學(xué)生增加體驗，獲得經(jīng)驗，為接下來的抽象歸納提供直觀的、感性的原型，使得數(shù)學(xué)抽象不再是無源之水、無本之木.

1.2 圖是圖，文是文，數(shù)學(xué)抽象是理性的抽象

1.3 反思一個案例

在某省級觀摩課中，筆者發(fā)現(xiàn)幾處課堂細(xì)節(jié)的發(fā)生與上述理解有密切的關(guān)系.第1個細(xì)節(jié)是教師演示完實驗后學(xué)生在歸納形成等式基本性質(zhì)2時，忽略了“c≠0”，原因就是教師強(qiáng)調(diào)了2組圖中的“雙箭頭”，而忽視天平稱量的可逆并不是數(shù)學(xué)原理的可逆，失去提升學(xué)生理性思考的絕佳機(jī)會.

2 熟練運(yùn)用等式基本性質(zhì)是“中篇設(shè)計”的關(guān)鍵

學(xué)生憑借已有的生活經(jīng)驗理解等式基本性質(zhì)應(yīng)該不會困難，但熟練應(yīng)用并在應(yīng)用過程中提升其邏輯思維能力和提煉出解方程的依據(jù)需要對教材編排有深刻的理解.

等式基本性質(zhì)教學(xué)單元的設(shè)置是為解一元一次方程服務(wù)的.由于在一元一次方程的解決過程中只涉及移項、去分母(分母不含0因子)和合并同類項，因此在等式性質(zhì)教學(xué)設(shè)計時不必過分強(qiáng)調(diào)分母等于0的情形.一般而言，在等式基本性質(zhì)2的應(yīng)用舉例教學(xué)設(shè)計時不宜補(bǔ)充如下問題：“已知2x-5y=0，且x≠0，求y與x的比”，留待學(xué)習(xí)分式時再研究.

3 等式基本性質(zhì)、方程同解、分配律是“收官之篇設(shè)計”的三大支柱

利用等式基本性質(zhì)可以解一元一次方程，其原因就是在對方程進(jìn)行變形的過程中，方程本質(zhì)屬性不變.

1)同解方程：解集相同的方程(等價方程).例如方程x-2=0與方程x=2是2個同解方程.同解是方程之間的一種等價關(guān)系，可以用一個簡單的同解方程來代替一個較復(fù)雜的方程.同解原理：①方程的2邊加上同一個數(shù)或式(式與方程的定義域相同)，方程的解集不變.容易知道“移項”是一種同解變形.②方程的2邊乘以同一個非0的數(shù)或不取零值的式(式與方程的定義域相同)，方程的解集不變.

當(dāng)方程變形不滿足同解原理時，變形后的方程就有可能出現(xiàn)增根或失根.因此在教學(xué)時必須注意利用等式性質(zhì)解一元一次方程并不是沒有原則的使用，是在利用由等式性質(zhì)導(dǎo)出的“移項”、“去分母(這里指方程的2邊同乘以或除以一個非0的數(shù))”和乘法分配律解一元一次方程.這就是講解例2需要滲透的關(guān)鍵點，也是對講解“1例5練”所獲得認(rèn)識的理性提升和自然延續(xù).

2)從同解原理中可以知道“移項”是同解變形；“去分母”時，方程的2邊同時乘以或除以一個非0的數(shù)也是同解變形.這2條構(gòu)成解一元一次方程的全部依據(jù).由此看來“檢驗”一元一次方程的解是“多余”的，那么教材為何在例2之后編排“檢驗”？解讀不好會對后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生困惑，即學(xué)生不清楚到底什么時候需要檢驗方程的解(正常的解一元一次方程不會產(chǎn)生增根和失根)，什么時候不需要檢驗.教學(xué)設(shè)計時不必過分強(qiáng)調(diào)“檢驗”環(huán)節(jié)，知道通過“檢驗”可以判定解得的“解”是否正確就夠了.原因非常簡單：時候未到！等到學(xué)解分式方程并且增根出現(xiàn)時，在學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突時(增根從哪里來的)，分析強(qiáng)調(diào)教學(xué)效果會更好.當(dāng)然更加不必去補(bǔ)充“體現(xiàn)所謂檢驗必要性”的例題了.

3)教材不涉及方程同解原理是為了突出基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和基本思想都是平實樸素、平易近人的，但要教得平易近人需對教材作深入研究.表面上看方程中的“未知量”是不定元，實際上是一個未知量和已知量之間約定關(guān)系式中的待定量，是一個確定的數(shù)，因此它滿足數(shù)的全部運(yùn)算律.解代數(shù)方程的基本原理就是有系統(tǒng)地運(yùn)用運(yùn)算律把所給的代數(shù)方程簡化，從而確定其中所含的“未知數(shù)”所應(yīng)取之值[1].在簡化一元一次方程的過程中使用“移項”和“去分母”等手段，其本身并不構(gòu)成解代數(shù)方程的核心思想方法，通過這些手段需要表達(dá)的是可以通過系統(tǒng)的、程序化的方法達(dá)成化未知為已知的目的(算法思想的直接滲透).

由此可知，例2的教學(xué)中需要淡化等式性質(zhì)的直接應(yīng)用，要注重等式性質(zhì)和“移項”、“去分母”的交替使用.不必過分強(qiáng)調(diào)等式性質(zhì)的適用性，而要體驗其中“以簡馭繁，化未知為已知”的簡樸道理，體驗解決問題的系統(tǒng)性和規(guī)律性，也就是解決問題的程序性，讓算法思想根植于學(xué)生的心中.設(shè)計好等式基本性質(zhì)的教學(xué)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)解方程提供最好的范本.

[1] 項武義．基礎(chǔ)代數(shù)學(xué)[M]．北京：人民教育出版社，2004．

王紅權(quán)，男，杭州市普通教育研究室中學(xué)數(shù)學(xué)教研員，中學(xué)高級教師，曾獲杭州市教育系統(tǒng)優(yōu)秀教師、教壇新秀、優(yōu)秀黨員，杭州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，中國統(tǒng)計教育學(xué)會基礎(chǔ)教育分會理事，浙江省數(shù)學(xué)會理事，浙江省教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)分會常務(wù)理事，杭州市數(shù)學(xué)會秘書長.近年來主持浙江省、杭州市重點規(guī)劃課題多項，獲獎多項，參與國家社科、教育部重點課題多項，已在各類雜志發(fā)表論文50余篇．

本文是全國教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃2010年教育部重點課題“中小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容及其教學(xué)的研究”(編號：G0A107010)及2014年浙江省教研課題“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念‘習(xí)得型’習(xí)題課教學(xué)設(shè)計研究”(編號：14B002)的研究成果之一．