二次函數易錯點分析

吳存紅

二次函數y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，且a≠0）是描述現實世界變量之間關系的重要數學模型，其圖像和性質都比一次函數和反比例函數復雜，二次函數與一元二次方程聯系緊密，相關的計算量也較大，特別是二次函數的應用更加廣泛和靈活多變，因此本章的學習有一定難度，同學們常常會在以下方面出現錯誤.

易錯點一 概念不清，忽略系數

例1 已知二次函數y=kx2-6x+3的圖像與x軸有交點，則k的取值范圍是（ ）

A.k<3 B.k<3且k≠0

C.k≤3 D.k≤3且k≠0

【錯解】選C.由題意，得Δ=（-6）2-4k·3≥0，解得k≤3，故選C.

【正解】選D.由題意，得Δ=（-6）2-4k·3≥0且k≠0，解得k≤3且k≠0，故選D.

【點評】當k=0時，二次項系數為0，此時原函數不是二次函數.欲求k的取值范圍，須同時滿足：①函數是二次函數；②圖像與x軸有交點.不能只注意Δ≥0而忽略了二次項系數不等于0.

例2 若y關于x的函數y=（a-2）x2-（2a-1）x+a的圖像與坐標軸有兩個交點，求a的值.

【錯解】因為函數y=（a-2）x2-（2a-1）x+a的圖像與坐標軸有兩個交點，而其中與y軸有一個交點（0，a），則與x軸就只有一個交點，所以關于x的一元二次方程（a-2）x2-（2a-1）x+a=0有兩個相等的實數根，所以Δ=[-（2a-1）]2-4（a-2）·a=0，解得a=-[14].

【正解】當函數y是x的一次函數時，a=2，函數的解析式為y=-3x+2，函數圖像與y軸的交點坐標為（0，2），與x軸的交點坐標為[23，0]，所以a=2符合題意；

當函數y是x的二次函數時，因為函數y=（a-2）x2-（2a-1）x+a的圖像與坐標軸有兩個交點，而其中與y軸有一個交點（0，a），則與x軸就只有一個交點，所以關于x的一元二次方程（a-2）x2-（2a-1）x+a=0有兩個相等的實數根，所以Δ=[-（2a-1）]2-4（a-2）·a=0，解得a=-[14]；

而當a=0時，與y軸的交點為原點，此時，解析式為y=-2x2+x，它的圖像與x軸還有一個交點[12，0]，符合題意.

綜上所述，a=2或a=-[14]或a=0.

【點評】本題關于函數的描述是“y關于x的函數”，并沒有指明是二次函數，而且二次項系數（a-2）的取值不確定，所以需要分情況進行討論.

易錯點二 已知圖像，忽略隱含

例3 如圖1，已知二次函數y=x2+bx+c的圖像與y軸交于點C，與x軸的正半軸交于A、B，且AB=2，S△ABC=3，則b的值為（ ）.

A.-5 B.4或-4 C.4 D.-4

【錯解】選B.根據題意AB=2，S△ABC=3，得OC=3，所以C（0，3），即c=3.

由AB=2，得方程x2+bx+c=0的兩根值差為2，所以[-b+b2-122]-[-b-b2-122]=2，

解得b=±4.故選B.

【正解】選D.

【點評】錯解中忽略了“拋物線的對稱軸x=-[b2]在y軸的右側”這一隱含條件，正確的解法應是同時考慮-[b2]>0，得b<0，所以b=4應舍去，故應選D.

易錯點三 交點問題，忽略前提

例4 已知拋物線y=-[12]x2+（6-[m2]）x+m-3與x軸有兩個交點A、B，且A、B關于y軸對稱，求此拋物線的解析式.

【錯解】因為A、B關于y軸對稱，所以拋物線對稱軸為y軸，即直線x=-[b2a]=0，所以-[6-m21]=0，解得m=6或m=-6.

所以所求的拋物線的解析式為y=-[12]x2+3或y=-[12]x2-9.

【正解】因為A、B關于y軸對稱，所以拋物線對稱軸為y軸，即直線x=-[b2a]=0，所以-[6-m21]=0，解得m=6或m=-6.

當m=6時，拋物線的解析式為y=-[12]x2+3，此時Δ=b2-4ac=6>0，拋物線y=-[12]x2+3與x軸有兩個交點，符合題意；

當m=-6時，拋物線的解析式為y=-[12]x2-9，此時Δ=b2-4ac=-18<0，拋物線y=-[12]x2-9與x軸沒有交點，不符合題意，舍去.

所以所求的解析式為y=-[12]x2+3.

【點評】拋物線與x軸有兩個交點，等價于，相應的一元二次方程有兩個不相等的實數根.所以必須滿足前提條件：b2-4ac>0.也就是說，拋物線與x軸的交點問題，一定不能忽略前提b2-4ac的范圍！同學們可以思考：拋物線與x軸有一個交點的時候，b2-4ac應該滿足什么條件？而拋物線與x軸沒有交點的時候，b2-4ac又該滿足什么條件？

易錯點四 最值問題，一頂兩端

例5 求二次函數y=x2+4x+5（-3≤x≤0）的最大值和最小值.

【錯解】當x=-3時，y=2；當x=0時，y=5.所以，當-3≤x≤0時，y最小值=2，y最大值=5.

【正解】二次函數y=x2+4x+5圖像的對稱軸是直線x=-2，頂點坐標是（-2，1），如圖2，它的圖像是位于-3≤x≤0范圍內的一段，顯然圖像的最高點是端點C（0，5），最低點是頂點B（-2，1）而不是端點A，所以，當-3≤x≤0時，y最小值=1，y最大值=5.

【點評】在自變量x的給定范圍內，二次函數的最大值和最小值可能在三點處取得：頂點和兩個端點（簡稱“一頂兩端”）.我們首先要判斷的是頂點處的最值是否可?。吭賮肀容^兩個端點處的函數值大小就可以輕松解決問題！

同學們還可以用類似的方法嘗試解決下面的兩個問題：

（1）二次函數y=x2+4x+5（-3≤x≤1）的最大值是 ，最小值是 .

（2）二次函數y=x2+4x+5（-1≤x≤3）的最大值是 ，最小值是 .

（作者單位：江蘇省太倉市沙溪實驗中學）