例析帶電體的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

安徽省靈璧黃灣中學(xué)　華　峰

例析帶電體的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

安徽省靈璧黃灣中學(xué)華峰

圓周運(yùn)動(dòng)是高中物理中的重要內(nèi)容，對(duì)同學(xué)們來(lái)說(shuō)屬于有一定難度的知識(shí)，若將圓周運(yùn)動(dòng)與帶電物體結(jié)合起來(lái)，對(duì)同學(xué)們來(lái)說(shuō)難度更大。為了幫助同學(xué)們解難釋疑，下面舉例分析此類問(wèn)題。

例1兩個(gè)粒子帶電量相等，在同一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中只受洛倫茲力的作用而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則（）。

A.若速率相等，則半徑必相等 B.若質(zhì)量相等，則周期必相等

C.若動(dòng)量相等，則半徑必相等 D.若動(dòng)能相等，則周期必相等

例2如圖1所示，質(zhì)量均為m、形狀完全相同的小球A、B置于光滑絕緣的水平面上，光滑水平面接光滑絕緣的圓弧面。B球帶電量為-q，在半圓面內(nèi)存在著豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)E。小球A不帶電且絕緣，以某一初速度v0沿水平向右的方向與靜止的B球發(fā)生無(wú)機(jī)械能損失的碰撞（小球B靜止在勻強(qiáng)電場(chǎng)外），已知圓弧的半徑為R。求：

（1）若mg＞qE，碰后小球B恰能通過(guò)圓弧，初速度v0為多少？

（2）若mg＜qE，碰后小球B恰能通過(guò)圓弧，初速度v0為多少？

解析A、B小球碰撞，由動(dòng)量守恒得mv0=mvA+mvB，

圖1

聯(lián)立以上兩式可解得vA=0，vB=v0。

例3在水平方向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一不可伸長(zhǎng)的不導(dǎo)電細(xì)線的一端連著一個(gè)質(zhì)量為m的帶電小球，另一端固定于O點(diǎn)，把小球拉至A點(diǎn)（細(xì)線水平），然后無(wú)初速度釋放。已知小球只能擺到最低點(diǎn)的另一側(cè)C點(diǎn)，此時(shí)線與豎直方向的夾角為θ，如圖2所示。求小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)B時(shí)細(xì)線對(duì)小球拉力的大小。

解析對(duì)帶電小球從開(kāi)始釋放到擺到C點(diǎn)的全過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，有mglcosθ-qEl（1+sinθ）=0-0；

圖2

在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律，繩的拉力與小球重力的合力作為小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有。

例4如圖3所示，在光滑絕緣水平桌面上，固定放置一條光滑絕緣的擋板ABCD，AB段為直線，BCD段是半徑為R的圓弧，擋板處于場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)方向與圓直徑MN平行?，F(xiàn)使一帶電量為+q、質(zhì)量為m的小球由靜止從斜擋板內(nèi)側(cè)上某點(diǎn)釋放，為使小球沿?fù)醢鍍?nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)并從D點(diǎn)拋出，求：

（1）小球從釋放點(diǎn)到N點(diǎn)沿電場(chǎng)方向的最小距離s。

（2）在（1）問(wèn)中，小球經(jīng)過(guò)N點(diǎn)時(shí)對(duì)擋板的壓力FN大小。

圖3

解析（1）小球做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由B點(diǎn)進(jìn)入圓軌道，若恰能做圓周運(yùn)動(dòng)，則小球在M點(diǎn)的速度最小，此時(shí)，電場(chǎng)力提供向心力，即；再由動(dòng)能定理得。由以上兩式可解得。

由牛頓第三定律可知，小球?qū)醢宓膲毫N大小為6qE。

例5在豎直平面內(nèi)有一水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，帶正電的小球質(zhì)量為m，其所受電場(chǎng)力等于重力。用輕繩系住小球，小球位于最低點(diǎn)A，若給小球一水平向右的初速度v0，要使小球能夠完成豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，求：

（1）繩的最大長(zhǎng)度。

（2）小球運(yùn)動(dòng)中相應(yīng)的最大速率。

圖4

從圖4中可以看出，球的“最低點(diǎn)”與“最高點(diǎn)”分別是圖中的B點(diǎn)、C點(diǎn)，于是根據(jù)能量關(guān)系，

在“最高點(diǎn)”C處，向心力由等效重力提供（輕繩模型），則有。

例6一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩上端固定在O點(diǎn)，下端系一個(gè)質(zhì)量為m的帶電小球，將它置于一個(gè)很大的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，方向水平向右，已知小球在B點(diǎn)時(shí)平衡，細(xì)繩與豎直方向的夾角為θ，如圖5所示。當(dāng)細(xì)繩與豎直方向成θ角時(shí)，至少要給小球一個(gè)多大的沖量，才能使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)？

圖5

解析小球在重力場(chǎng)中豎直平面內(nèi)恰好做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，在最高點(diǎn)的臨界速度vmin可由求得，

帶電小球在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，受到向下的重力，向右的電場(chǎng)力，如圖5所示。其合力即等效場(chǎng)力為，則等效重力加速度為。

繩系小球在復(fù)合場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件與在單一重力場(chǎng)中類似，只不過(guò)其等效最高點(diǎn)為D，最低點(diǎn)為B，等效重力加速度為，如圖6所示。

圖6

對(duì)帶電小球從B運(yùn)動(dòng)到D應(yīng)用動(dòng)能定理，

例7在豎直平面內(nèi)有水平向右、場(chǎng)強(qiáng)為E=1×104N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中有一根長(zhǎng)L=2 m的絕緣細(xì)線，一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為0.04 kg的帶電小球。靜止時(shí)懸線與豎直方向成37°角，如圖7所示。若小球恰能繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，求：

（1）小球的帶電量q。

（2）小球動(dòng)能的最小值。

（3）小球機(jī)械能的最小值。（取小球在靜止時(shí)的位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，cos37°=0.8，g=10 m/s2）

圖7

（3）小球由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圓的最左端C點(diǎn)，電場(chǎng)力做負(fù)功，小球在C點(diǎn)電勢(shì)能最大。由能量守恒可判斷，小球在C點(diǎn)機(jī)械能最小。小球在B點(diǎn)的機(jī)械能為：

EB=Ek+mg·2Lcos37°=0.5 J+0.04×10×2×2×0.8 J=1.78 J。

小球在C點(diǎn)的機(jī)械能最小值為：EC=EB-qE（L-Lsin37°）=1.78 J-3×10-5×1×104×（2-2×0.6）J= 1.54 J。

求解此類問(wèn)題，首先應(yīng)確定物體的平衡位置，物體恰能做圓周運(yùn)動(dòng)的最小速度所對(duì)應(yīng)的向心力由非接觸力的合力提供，其最小速度的位置與平衡位置關(guān)于圓心對(duì)稱。

例8如圖8所示，在x＜0與x＞0的區(qū)域中，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B1和B2的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，且B1＞B2。一個(gè)帶負(fù)電荷的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處以速度v沿x軸負(fù)方向射出，要使該粒子經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后又經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，B1與B2的比值應(yīng)滿足什么條件？

圖8

解析粒子在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的速度大小恒為v，交替地在xOy平面內(nèi)B1和B2磁場(chǎng)區(qū)域中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道都是半個(gè)圓周。

設(shè)粒子的質(zhì)量與電荷量的大小分別為m與q，在兩磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r1和r2，則有

現(xiàn)分析粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖9所示。在xOy平面內(nèi)，粒子先沿半徑為r1的半圓C1運(yùn)動(dòng)至y軸上方離O點(diǎn)距離為2r1的A點(diǎn)，接著沿半徑為r2的半圓D1運(yùn)動(dòng)至y軸上的O1點(diǎn)，OO1的距離d=2（r2-r1）③。

此后粒子每經(jīng)歷一次“回旋”（即從y軸出發(fā)沿半徑為r1的半圓和半徑為r2的半圓回到原點(diǎn)下方的y軸），粒子的y坐標(biāo)就減小d。

設(shè)粒子經(jīng)過(guò)n次回旋后與y軸交于On點(diǎn)，若OOn，即nd滿足

圖9

nd=2r1④，

則粒子再經(jīng)過(guò)半圓Cn+1就能夠經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，式中n=1，2，3，…為回旋次數(shù)。

聯(lián)立①、②、⑤式可解得B1、B2應(yīng)滿足的條件為（n=1，2，3，…）。