實(shí)數(shù)序列的通項(xiàng)公式問題

東洪平

(隴南師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系,甘肅成縣 742500)

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實(shí)數(shù)序列的通項(xiàng)公式問題

東洪平

(隴南師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系,甘肅成縣 742500)

討論實(shí)數(shù)序列的通項(xiàng)公式，證明了任意實(shí)數(shù)序列可以通過[0,+∞)上任意次連續(xù)可微函數(shù)給出其通項(xiàng)公式，任意單調(diào)有界實(shí)數(shù)序列可以通過(-∞,+∞)上的解析函數(shù)給出其通項(xiàng)公式.

實(shí)數(shù)序列；單調(diào)有界數(shù)列；通項(xiàng)公式

0 引言

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，常常給定一個數(shù)列所滿足的關(guān)系式，要求寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式.受這類問題的啟發(fā)，本文提出一個更加一般性的問題：

要回答這個問題，我們首先需要澄清一些基本概念.

定義1 一個數(shù)列l(wèi)是指定義在一個可數(shù)有序集S上的一個實(shí)值函數(shù)f(n)(n∈S)，很多情況下這個有序集合就取自然數(shù)集的一個子集[1-2].

不失一般性，不妨取

(1)

能否給出函數(shù)f的表達(dá)式？這樣一來問題似乎又顯得有點(diǎn)平凡，因?yàn)槔碚撋?1)式本身就可以看成是函數(shù)f的一個表達(dá)式，但是如果將函數(shù)f限定在某個特定的函數(shù)類中，問題就有點(diǎn)不平凡了.事實(shí)上，回答這個看似簡單的問題，其難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出我們的預(yù)料.本文將緊緊圍繞這一問題進(jìn)行深入探討.

1 主要結(jié)果

在一個特定的函數(shù)類中尋找給定數(shù)列的通項(xiàng)公式，其更為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)描述如下：

解答問題2的關(guān)鍵在于函數(shù)族F的選取.

1.1 連續(xù)函數(shù)族和連續(xù)可微函數(shù)族的情形

先在連續(xù)函數(shù)族中考慮這一問題，此時可取F=C[0,+∞)，我們有

證明 只考慮N=+∞，即l是無窮數(shù)列的情形.為方便起見，補(bǔ)充a0=0，定義函數(shù)

(2)

n=0,1,2,…，則f(x)即為所求.

由此可知f在(2)式中區(qū)間的每一個端點(diǎn)處連續(xù)，從而f∈F.易見f(n)=an(1≤n<+∞). 】

設(shè)f(x)是由(2)式所定義的函數(shù)，對x<0，補(bǔ)充定義f(x)=0，則f(x)是(-∞,+∞)上的連續(xù)函數(shù).令

我們證明g(x)即為所求.

(3)

所以對任意有界區(qū)間I=[a,b]，當(dāng)x∈I時，我們有

(4)

(4)式左端作為含參量x的積分關(guān)于x∈I一致收斂，由數(shù)學(xué)分析知識[3-4]可知,g在I上任意次連續(xù)可微，再由I的任意性可知，g是(-∞,+∞)上任意次連續(xù)可微的函數(shù).

注意到

則由上式和函數(shù)f(x)的定義，我們有

特別地，g(n)=an,所以g滿足要求. 】

注1:定理2的證明用到了偏微分方程理論中經(jīng)典的“磨光技術(shù)”[5].

1.2 解析函數(shù)族的情形

若N<+∞，即l是有窮數(shù)列，則上述問題的回答是肯定的，此時令

則f(x)為多項(xiàng)式，且

從而f(x)給出了數(shù)列的通項(xiàng)公式.

但當(dāng)N=+∞時，問題要困難得多，我們至今沒有一般性的結(jié)論.不過對于單調(diào)數(shù)列，我們?nèi)匀猾@得了一個有意思的結(jié)果.

類似可定義單調(diào)遞增數(shù)列.

數(shù)列l(wèi)稱為單調(diào)遞減的，若存在[0,+∞)上的連續(xù)函數(shù)f(x)使得f(n)=an，且

(5)

另一方面，若函數(shù)f(x)滿足條件(5)，則很容易構(gòu)造[0,+∞)上一個新的單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)g(x)使得g(n)=f(n)(1≤n≤N)，因此數(shù)列l(wèi)的單調(diào)性又可以直接用單調(diào)函數(shù)來定義.

定義3 數(shù)列l(wèi)稱為單調(diào)遞減的，若存在[0,+∞)上的單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)g(x)，使得g(n)=an(1≤n≤N).

我們從函數(shù)sinπx的冪級數(shù)表示

(6)

入手.由Euler對正弦函數(shù)的無窮乘積表示[6-7]，有

從而

(7)

上式右邊的無窮乘積在[0,+∞)上是收斂的，且

(8)

令

(9)

則

此外，我們有

將(6)式代入(9)式，有

(10)

將(10)式右邊的無窮乘積展開，可得

(11)

其中

(12)

分別比較(7)和(10)式以及(8)和(12)式可知，(10)和(11)式右邊在[0,+∞)上均收斂.令

(13)

則

交換求和符號，可得

其中

(14)

下面考慮(13)到(14)式中運(yùn)算的合理性問題，為此只需說明其中級數(shù)的收斂性即可.

在每一個整數(shù)點(diǎn)x=n處，有

故f(x)即為所求.

(ii) 一般情形.

注2:定理3的一個等價陳述是：設(shè)g(x)是[0,+∞)上的單調(diào)有界連續(xù)函數(shù)，則存在一個(-∞,+∞)上的解析函數(shù)f(x)滿足f(n)=g(n),n=1,2,….

注3:就中學(xué)數(shù)學(xué)而言，自然是期望能夠在初等函數(shù)族F中給出問題2的一個回答.對此，目前我們似乎還看不到希望.

致謝：作者衷心感謝審稿人仔細(xì)審閱了該文初稿并提出了大量寶貴的修改意見,正是這些意見幫助我們大大提高了論文質(zhì)量，并激發(fā)我們改進(jìn)了關(guān)于單調(diào)數(shù)列的相關(guān)結(jié)果.本文在寫作過程中，也曾得到天津大學(xué)理學(xué)院博士生導(dǎo)師李德生教授的指導(dǎo)，在此一并表示感謝！

[1]DWARDGE.Introduction to Analysis[M].NewYork：AmericanMathematicalSociety,2009.

[2] JAMES R M.Topology:AFirstCourse[M].Upper Saddle River,New Jesey:Prentice-Hall,Englewood Cliffs,1975.

[3] 陳傳璋，金福臨，朱學(xué)炎，等.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1983.

[4] 伍勝健.數(shù)學(xué)分析[M].北京：北京大學(xué)出版社，2010.

[5] EVANS L C.PartialDifferentialEquations[M].New York:American Mathematical Society,1998.

[6] EBERLEIN W F.On Euler’s infinite product for the sine[J].JMathAnalAppl,1977,58(1):147.

[7] KANOVEI V G.The correctness of Euler’s method for the factorization of the sine function into an infinite product[J].RussMathSurv,1988,43(4):65.

(責(zé)任編輯 馬宇鴻)

On the formulas of general terms of real sequences

DONG Hong-ping

(Department of Mathematics，Longnan Teachers College，Chengxian 742500,Gansu,China)

This paper is concerned with the formulas of general terms of sequences of real numbers.It is proved that for any sequence of real numbers,the formula of general terms of the sequence can be given via continuously differentiable functions on [0,+∞),and for any bounded monotone sequence of real numbers,its general term formula can be obtained by using analytic functions on (-∞,+∞).

sequence of real numbers；monotonically bounded sequence;formulas of general terms

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.01.004

2014-12-06;修改稿收到日期:2015-06-17

東洪平(1963—)，男，甘肅成縣人，副教授.主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)分析.

E-mail:donghongping@163.com

O 174.1

A

1001-988Ⅹ(2016)01-0017-04