2道高考題的共同背景和命題思路*

●余建國

(大廠高級中學(xué) 江蘇南京 210044)

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2道高考題的共同背景和命題思路*

●余建國

(大廠高級中學(xué) 江蘇南京 210044)

源自課本的一個函數(shù)不等式，反映了指數(shù)(對數(shù))函數(shù)與多項式函數(shù)的大小關(guān)系，它有很多的變形和拓展．循此思路，若干高考函數(shù)壓軸題就是在指數(shù)(對數(shù))函數(shù)的泰勒展開式的基礎(chǔ)上“截取”多項式函數(shù)，并與其他有理函數(shù)組合，融入?yún)?shù)，將問題“倒過來”設(shè)問，編制而成．

數(shù)學(xué)高考；函數(shù)壓軸題；泰勒展開；命題思路

每年的高考壓軸題，我們在驚嘆考題設(shè)計之精巧、解答之天衣無縫的同時往往很想知道“這些題從哪來,如何構(gòu)造出這么精準(zhǔn)的函數(shù)”.懷揣好奇之心，筆者對2015年的2道高考題仔細(xì)研究，發(fā)現(xiàn)原來如此！

例1 已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)，g(x)=kx，k∈R．

1)證明：當(dāng)x>0時，f(x)

2)證明：當(dāng)k<1時，存在x0>0，使得對任意的x∈(0，x0)，恒有f(x)>g(x)；

3)確定k的所有可能取值，使得存在t>0，對任意的x∈(0，t)，恒有|f(x)-g(x)|

(2015年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

1 初步分析

第1)小題就是證明不等式：當(dāng)x>0時，ln(1+x)1時，lnx1時，x0時，x+1

在圖2中，將函數(shù)y=ln(1+x)在原點處的切線y=x繞原點旋轉(zhuǎn),于是當(dāng)直線l：y=kx的斜率k∈(0，1)時，l必與函數(shù)y=ln(1+x)的圖像在第一象限有一個交點(x0，f(x0))，因而當(dāng)x∈(0，x0)時，根據(jù)圖像位置關(guān)系恒有f(x)>g(x)(如圖3所示)．而當(dāng)k≤0時，因為x∈(0，+∞)，所以f(x)>0，g(x)<0，f(x)>g(x)，x0的存在性是顯然的，x0可以是任意正數(shù)．這樣，第2)小題就“命題”成功了．

圖1 圖2 圖3

2 高數(shù)背景

如果說第1)，2)小題還能從初等數(shù)學(xué)背景“還原”命題思路，那么第3)小題是如何產(chǎn)生的呢？我們不妨從《數(shù)學(xué)分析》中找一找：函數(shù)f(x)在x=0處的泰勒展開式為

(1)

因此，函數(shù)f(x)=ln(1+x)在x=0處的泰勒展開式為

(2)

或者用拉格朗日余項形式寫成

其中0<θ<1，于是不等式|f(x)-g(x)|

由于0<θ<1，0

圖4 圖5

而當(dāng)k=1時，由x>ln(1+x)，可令

m(x)=x-ln(1+x)-x2=

因為0<θ<1，當(dāng)x∈(0，+∞)時，m(x)<0，即

x-ln(1+x)

經(jīng)過“參數(shù)化”，即|kx-ln(1+x)|

3 自由組合

至此，第3)小題的命題思路已十分清楚：先將超越函數(shù)ex，lnx等用泰勒公式展開，這樣就能“截取”多項式函數(shù)，并與其他有理函數(shù)組合；然后融入?yún)?shù)，并將問題“倒過來”編制．仿此思路，也來命制一題．

背景 函數(shù)f(x)=ln(1-x)在x=0處的泰勒展開式為

(3)

式(2)-式(3)，得

當(dāng)0

基于這個背景，仿例1的思路，現(xiàn)在我們也可以“成功”地編制出以下高考試題：

1)求曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；

(2015年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第18題)

高考題并不神秘！作為一線教師，要摒棄題海戰(zhàn)術(shù)，真正理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)的歷史長河中摸清經(jīng)典試題的背景和來龍去脈，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)、解決問題，這樣的復(fù)習(xí)對高考才是有效的．

[1] 單墫．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)(選修2-2)[M]．南京：江蘇教育出版社，2012.

[2] 毛麗娜，魏定波．一個指數(shù)函數(shù)不等式 五道高考數(shù)學(xué)壓軸題[J]．福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2014(1/2)：74-76.

[3] 陳傳璋．?dāng)?shù)學(xué)分析(上) [M]．北京：人民教育出版社，1979．

?2015-09-01；

2015-09-29.

余建國(1965-)，男，江蘇南京人，中學(xué)高級教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)解題與課堂教學(xué).

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