對錯題與“錯題”的幾點思考*

●黃琳婕 方均斌 蔣豐盈

(溫州大學數(shù)學與信息科學學院 浙江溫州 325035)

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對錯題與“錯題”的幾點思考*

●黃琳婕 方均斌 蔣豐盈

(溫州大學數(shù)學與信息科學學院 浙江溫州 325035)

錯題一詞在數(shù)學教育中使用頗為頻繁，但其含義似乎沒有統(tǒng)一.為此，提出錯題、錯解題、“錯題”3個概念，由于當下對錯解題的研究頗多，故著重對錯題及“錯題”的存在及教育價值進行一些探析.認為，錯題及“錯題”與數(shù)學教育永恒伴隨，不能回避，故必須正視其教育價值.錯題及“錯題”的教育價值主要體現(xiàn)在對教師及學生批判意識的教育及自我反思層面上，其研究目前不是很多，具有很大的深入空間.

錯題；錯解題；“錯題”；教育價值

數(shù)學教育中的“錯題”一詞大家并不陌生.然而，這個概念似乎大家并不在意它的辨析.查閱相關文獻，發(fā)現(xiàn)“錯題”有2個含義：一是指內在邏輯有錯誤的數(shù)學問題[1]；二是指解錯的數(shù)學問題[2].其實，還有一類指存在爭議的數(shù)學題：“錯題”(特意加引號)[3]，它專指不吻合數(shù)學習題標準[4]的數(shù)學題.本文試圖對錯題等相關概念及其在數(shù)學中的教育價值進行一些梳理，請大家批評指正.

1 錯題概念的明確化

錯題到底屬于“命題者犯錯”還是“解題者犯錯”，這個概念目前依然沒有統(tǒng)一的說法，而且指“解題者犯錯”大有約定俗成之勢.筆者認為，如果指“解題者犯錯”不太科學，因為任何一個正確的數(shù)學問題都有可能被解題者解錯而“冤枉地”被稱為錯題，這樣，錯題就屬于“因人而異”的一個名詞而“不知所云”.我們應該把“解題者犯錯”的正確數(shù)學問題稱之為“錯解題”，而錯題應該專指因命題者行為而導致數(shù)學問題本身存在邏輯錯誤(應用題還包括與實際情況不符等現(xiàn)象)的問題.很多中小學教師所研究的錯題實質上是指“錯解題”.

一些學者為了數(shù)學教學的可操作性，對“正確的數(shù)學問題”尤其是學生面對的數(shù)學習題提出了具體的要求，例如，戴再平先生對數(shù)學習題提出了評判的科學性標準[4]：

1)有關的概念必須是被定義的；

2)有關的記號必須是被闡明的；

3)條件必須是充分的、不矛盾的；

4)條件必須是獨立的、最少的；

5)敘述必須是清楚的；

6)要求必須是可行的.

然而，隨著人們數(shù)學教育觀念的改變，提出了不吻合戴先生所提條件而致的“錯誤的數(shù)學問題”也存在教育價值的問題[6].因為中小學教材中很多用詞(概念)根本沒有像高等數(shù)學一樣進行嚴格定義，例如“規(guī)律”、“未知數(shù)”等，這些用詞盡管未嚴格定義，但它們卻與基礎教育階段的數(shù)學“形影相隨”，這類除了文獻[4]提出科學性要求的3)中的“條件不矛盾”以及5)中的“敘述必須是清楚的”之外的數(shù)學習題(或問題)我們姑且稱之為“錯題”(特加引號).此類“錯題”目前研究的文獻不是很多，屬于數(shù)學教育研究的盲區(qū)，甚至有些數(shù)學教育者可能把其作為“禁區(qū)”而不加理會.我們提出的錯題標準不僅涵蓋了戴先生指出的違背3)中的“條件不矛盾”以及5)中的“敘述必須是清楚的”要求之外，還包括所提條件與結論存在矛盾等.

2 錯題及“錯題”的存在及教育價值

盡管我們力圖避免數(shù)學教育過程中某些“負面”的東西，但是，錯題、錯解題、“錯題”依然與數(shù)學教育形影相隨，無法避免！既然如此，我們不能采取鴕鳥政策，只能坦然面對.其實，我們很多教師已經發(fā)現(xiàn)學生出現(xiàn)頻率比較高的錯解題(易錯題)的研究與教育價值，可以當作一面“鏡子”去發(fā)現(xiàn)學生的思維和心理盲區(qū)，將錯解題當作一種很重要的教育資源，一些學生也用自己平時的錯解題去進行反省，也達到較好的自我教育目的.由于錯解題的教育價值已經引起大家的關注并進行了很多的研究，因此，本文著重就錯題和“錯題”的存在及教育價值進行一些探析.

2.1 錯題的存在及教育價值

錯題的負面作用大家都很清楚.例如，在重大考試中，出現(xiàn)錯題往往使一些學生在考試中的水平發(fā)揮失常，有時甚至出現(xiàn)社會問題.例如，某年某省的數(shù)學高考題曾因出現(xiàn)疑似錯題就發(fā)生了很大的社會風波.出錯題固然可悲，但是，學生不敢在考場上提出對考題的質疑，則是因我們長期忽視錯題的教育及研究價值所致.

2.1.1 錯題是教師職業(yè)技能與職業(yè)態(tài)度的一面鏡子

數(shù)學教師素有追求嚴謹?shù)摹懊婪Q”，如果數(shù)學教師出錯數(shù)學題，很可能是專業(yè)素養(yǎng)不夠或者注意力不夠集中而致，越是重大的考試，教師越需要注意數(shù)學問題的科學性.

案例1f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f(2)=0，則方程f(x)=0在區(qū)間(0，6)內解的個數(shù)的最小值是

( )

A.2 B.3 C.4 D.5.

(2005年福建省數(shù)學高考理科試題第12題)

該題一般學生僅推理出：f(1)=-f(1)=f(2)=0，f(4)=f(1)=0，f(5)=f(2)=0，f(3)=f(0)=0(因為f(0)=f(-0)=-f(0)，所以f(0)=0)，很難發(fā)現(xiàn)：由-f(1.5)=f(-1.5)=f(-1.5+3)=f(1.5)得到f(1.5)=0，因此f(4.5)=f(1.5)=0，正確答案為7(而選項上沒有出現(xiàn))！

由于該題屬于選擇題，一般解題者如果能夠根據自己的推理找到“答案”往往也就掉以輕心了.針對于隱函數(shù)的問題，因為“隱”字當頭，不注意挖掘，很可能遺漏或者產生矛盾.

2.1.2 錯題是培養(yǎng)學生形成批判意識的一種手段

盡管我們力圖回避錯題以免“干擾”學生的數(shù)學學習，但這樣做很可能使學生對錯題的“免疫力”降低，一旦遇到錯題，往往懷疑是自己的能力而不是這些錯題本身.其實，一些學生自己對數(shù)學錯題的判斷能力差也是很懊惱，曾經做過調查，在所調查的中學生和大學生中，分別有71%和62%對教師故意在平時放個別錯題以測試他們的判斷能力表示理解和支持[5].

案例2 已知函數(shù)f(x)滿足f(sinx)=cos3x，求f(cosx)的表達式.

將這道題作為例題在師范類學生面前講解.

學生們面面相覷，不清楚這2種結果完全相反的解法到底錯在哪，幾乎沒有學生敢于質疑問題本身，而將注意力集中在這2種解法是否有誤！師范類學生作為未來的教師，面對鋪天蓋地的數(shù)學習題，沒有辨別錯題和對問題評價的能力，將很難承擔將來的職業(yè)需求！

案例3 一次尋找錯題的嘗試.

這是筆者之一在中學教書時所遇到的案例.有一次單元測試，筆者發(fā)現(xiàn)有一道選擇題出錯了(出現(xiàn)了2個正確選項)，但修改肯定會讓學生發(fā)現(xiàn)答案，于是就說：“本卷中可能有一道錯題，如果你指出來了，就加分，否則不給分.”結果由于教師沒有指出是具體哪個類型的數(shù)學問題出錯，一些學生把自己不會做或者找不到選項的選擇題認為是錯題.這件事引來了數(shù)學組教師的爭議.特別是老教師不贊同這樣的做法，他們認為：這會對檢測學生學習的真正情況產生偏差，應該不做任何提示，只要讓學生找到那道錯題的2個選項中的一個就可以給分，這樣就不影響學生的測試了.其實，從這里我們可窺學生遇到錯題出現(xiàn)不知所措或者渾然不知等現(xiàn)象的一些原因，他們的批判性意識應該通過各種手段有意識地進行培養(yǎng)，盡管找錯題僅是其中的一種手段.

2.2 “錯題”的存在及教育價值

上世紀90年代鬧得沸沸揚揚的“船長年齡問題”就屬于“數(shù)學習題科學標準”之外的數(shù)學問題.加州大學教授費爾德出了一道題目：“在一條船上，有75頭牛、32只羊，請問船長的年齡有多大?”這道題目讓64%的法國孩子和40%的美國孩子得出“船長年齡為43歲”的結論，他們直接用75減去32來算船長的年齡.著名數(shù)學教育家張奠宙曾對中國孩子提出同樣的問題，卻發(fā)現(xiàn)有90%的中國孩子得出“船長年齡為43歲”.此類“錯題”對學生的測試結果讓我們數(shù)學教育者有種“五味雜陳”的感覺：說不出味道但又很難受.其實，長期以來，“錯題”一直被我們數(shù)學教育工作者拒之門外，才造成了這樣的調查結果.隨著數(shù)學教育的逐步深入和視野的擴展，我們不得不正視“錯題”的存在及教育價值.

2.2.1 “錯題”促使學生反省數(shù)學問題的形成過程

以往我們的學生往往只管做題，很少考慮數(shù)學問題的來源及實際情況.其實，數(shù)學問題來源無非來自2個主要方面：一是來自數(shù)學本身；二是來自生活情境.這些問題的產生往往一開始不一定會符合文獻[4]提出的“數(shù)學習題科學標準”.在問題解決的過程中往往會發(fā)現(xiàn)這些數(shù)學問題屬于“錯題”,甚至錯題.學生在接觸“錯題”或者錯題時，只要教師合理引導，就會讓學生感悟到平時所做的數(shù)學題其實有一些是通過“人為加工的”，屬于“客觀存在”的人為問題.

案例4 列方程組解應用題.

學生通過解一元一次方程，知道可以設立未知數(shù)通過方程來解決一些實際問題.然而，教師在教學二元一次方程內容的時候，提出：我今天早上吃2種早餐：蛋糕和牛奶，一共花了7元，請問：蛋糕和牛奶各多少錢？顯然這位教師提出的是“錯題”，因為這個問題的“條件不是充分的”，當教師補充：“如果買蛋糕的錢比牛奶多1元，你能夠知道結論嗎？”一些學生通過觀察可能馬上會得出答案：“牛奶是3元，蛋糕是4元.”教師再說：“如果我再加條件：買蛋糕的錢是牛奶的2倍，而且前面的2個條件不變，你能夠知道結論嗎？”一些學生感覺自己憑直覺得到的答案好像不滿足第3個條件，思考：滿足前2個條件是否還存在滿足第3個條件的答案？好像不行，但又說不出理由.這樣，解二元一次方程組的需要就進入了學生的視野，而且，學生在后續(xù)的學習過程中知道，求解2個未知數(shù)往往只需設立2個方程即可.

很多數(shù)學問題是通過其他數(shù)學問題變化而來的，在問題變化的過程中，往往回避不了“錯題”和錯題的過渡環(huán)節(jié).同樣，現(xiàn)實問題很復雜，其“毛坯數(shù)學問題”往往屬于“錯題”，甚至是錯題.只有對一些信息進行取舍，才能夠成為“符合科學性”的數(shù)學問題;只有讓學生經歷過這些過程，才能夠體驗數(shù)學的“再創(chuàng)造”學習.新加坡的數(shù)學教育家李秉彝先生在與筆者之一的交流中打了個比喻：“我們不能老是讓學生坐在餐廳里品嘗‘數(shù)學美食’，有時應該讓他們去‘數(shù)學廚房’看看，這些‘數(shù)學美食’是怎么做出來的.這些‘漂亮的數(shù)學美食’是如何從那些不那么漂亮甚至有些丑陋的‘原材料’中加工過來的.”

2.2.2 “錯題”促使教師研究數(shù)學與生活的交融

數(shù)學源自生活，從生活中的問題提煉到“符合科學性”的數(shù)學問題往往需要經歷從“錯題”甚至錯題的過程.不僅如此，數(shù)學應用過程中也需要經歷“錯題”甚至錯題的過程.

案例5 一個學生的尷尬回答.

其實，數(shù)學在應用的過程中需要和生活交融，很多問題盡管有數(shù)學的成分，按照數(shù)學問題來做卻與實際相違背，一些問題的處理不一定按照數(shù)學的游戲規(guī)則進行.此類問題雖與生活交融但仍該列入“錯題”甚至是錯題范疇.如果添加諸如“小張與小李在平時一起消費的時候都采取AA制”之類的說明，就可以成為一個“正確的數(shù)學問題”了！很多具有“實際成分”的“數(shù)學問題”，或者具有“數(shù)學成分”的“實際問題”，應該用生活及數(shù)學的雙重眼光審視后才能夠成為“正確的數(shù)學應用題”.例如，涉及到濃度問題，教師在編擬問題時必須考慮實際溶解度的問題；又如，編擬年齡問題的數(shù)學應用題，則不可以出現(xiàn)諸如“爺爺比爸爸大123歲”[3]之類的尷尬現(xiàn)象！

2.2.3 “錯題”是數(shù)學教學避免糾結的一種過渡

前面我們談過，基礎教育階段中的很多數(shù)學概念是不加定義的，也正因為此，與這些概念相關的數(shù)學問題往往都是“錯題”，一旦較真，麻煩不斷，只能“約定俗成”而“將錯就錯”，從而避免了一些糾結.

案例6 觀察下面一列數(shù),按某種規(guī)律在橫線上填入適當?shù)臄?shù),并說明你的理由.

(2004年浙江省溫州市、臺州市聯(lián)合中考試題)

這是一道“錯題”，因為按照數(shù)學上的理解，一個數(shù)列可以寫出其通項公式，就認為這個通項公式就是它的“規(guī)律”，這個數(shù)列的一個通項公式為：

只要控制k的值，第4項可以為任何值.好在編題者已經注意到這個現(xiàn)象，增加了“你的理由是______.”不過如果一位學生在第4項隨意填上一個數(shù)，然后在后面的理由上寫著：“胡思亂想”，不知道改卷的教師該如何評分？

這個案例的問題癥結就在于中小學里的“規(guī)律”一詞是不加任何定義的，只能“約定俗成”也就“相安無事”了！其實，如果按照嚴格的“科學標準”，基礎教育階段的數(shù)學問題中很可能存在大量的“錯題”，為此，陳重穆和宋乃慶先生指出了“注重實質，淡化形式”的觀點[7]，避免糾結于一些“非本質”的數(shù)學問題，也就是說，很多中小學所涉及的數(shù)學問題從嚴格意義上講都是“錯題”，但只要學生理解或者領會所面對的數(shù)學問題的數(shù)學實質，也就不需要“糾纏”了！可以這樣認為，一些“錯題”是數(shù)學教學避免糾結的一種過渡，也是吻合基礎教育階段基本特征的一種數(shù)學問題.

2.3 錯題與“錯題”教育價值的實現(xiàn)

前面筆者著重談了錯題和“錯題”的概念及其存在與教育價值.其實，盡管可能一再回避錯題及“錯題”，但它們永遠與數(shù)學教育相伴相隨，應該坦然對待，這方面的話題在世界范疇可能也是一個空白，如何實現(xiàn)錯題及“錯題”的教育功能，這需要大家一起努力.

首先，盡量避免在重大考試中出現(xiàn)錯題以免產生社會負面影響，這是理所當然的共識，但要做到這點確實很不容易.教師可以將歷年重大考題中出現(xiàn)的錯題或者有爭議的數(shù)學問題進行審視，引以為戒.此外，如果在平時的練習中偶然發(fā)現(xiàn)錯題，應該不忙于糾正，可以讓學生自己尋找錯題，以提高學生的批判性意識，這也是一個不錯的教育手段，以往這方面的做法不多，建議遇到這種情況可以“借機教育”.至于是否故意出錯題讓學生尋找，這方面的研究我們期待大家關注并進行一些實踐性工作.

其次，應該讓一些“錯題”進入我們的數(shù)學教育研究視野.例如:1)根據數(shù)學問題讓學生創(chuàng)設生活情境，體驗數(shù)學與生活之間的“千絲萬縷”關系；2)添加或者減少數(shù)學條件，使數(shù)學問題的解決能夠確定或者不矛盾，用這種手段讓學生把握正確數(shù)學問題形成的實質；3)利用一些“錯題”作為數(shù)學教育的“花絮”，既提高學生的批判意識，又增加一些數(shù)學教學的樂趣.

隨著數(shù)學教育觀念的改變，尤其是開放題的進入，人們對數(shù)學問題的要求也越來越“寬容”，哪些“錯題”可以融入我們的數(shù)學教育，這方面的研究亟待大家的參與.

[1] 黃恒進.一道高考錯題引起的思考——談抽象函數(shù)的解題策略[J].試題與研究：教學論壇，2009(4)：42-43.

[2] 洪菲菲.一道錯題引發(fā)的教學思考[J].內蒙古教育，2015(5)：52-54.

[3] 方均斌.例說“錯題”的教育價值[J].數(shù)學通報，2006，45(5)：54-56.

[4] 戴再平.數(shù)學習題理論[M].杭州：浙江教育出版社，1996：35-65.

[5] 方均斌.數(shù)學信息處理的批判性意識的調查與思考[J].數(shù)學教育學報，2010,19(1)：48-50.

[6] 樓盤網.小學奇葩數(shù)學題鬧笑話：爺爺比爸爸大123歲[EB/OL].http://ganzhou.loupan.com/html/news/201511/2064880.html.

[7] 陳重穆，宋乃慶.淡化形式，注重實質——兼論《九年義務教育全日制初級中學數(shù)學教學大綱》[J].數(shù)學教育學報，1993，2(2)：4-9.

?2015-11-19；

2015-12-15.

黃琳婕(1991-)，女，浙江臺州人，碩士研究生，研究方向：數(shù)學教育.

O12

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1003-6407(2016)03-24-04