再探平面向量數(shù)量積的應(yīng)用*

●寇恒清

(上海市黃浦區(qū)教育學(xué)院 上海 200023)

?

再探平面向量數(shù)量積的應(yīng)用*

●寇恒清

(上海市黃浦區(qū)教育學(xué)院 上海 200023)

筆者對(duì)平面向量數(shù)量積的一些應(yīng)用進(jìn)行了初步探討．主要涉及以下3個(gè)方面：在距離問題中的應(yīng)用、在向量等式問題中的應(yīng)用、在最值問題中的應(yīng)用．文中通過若干典型例題的解析，來闡述這些應(yīng)用的操作方式、具體特點(diǎn)與獨(dú)特優(yōu)勢(shì).

平面向量；數(shù)量積；應(yīng)用

關(guān)于平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，比較常見的是平面圖形中的夾角(含平行與垂直)問題，這方面的研究已比較多．而對(duì)于其他方面的一些應(yīng)用，相關(guān)研究還比較少．下面就對(duì)這些應(yīng)用進(jìn)行初步探討，供同行們教學(xué)時(shí)參考．

1 在距離問題中的應(yīng)用

在平面幾何與平面解析幾何中，有許多距離問題，可以用向量的數(shù)量積運(yùn)算來解決．

其中i=1,2,3,4,5，可得

例2[1]證明：正多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊所在直線距離之和為定值．

分析 正多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊距離可轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，然后證明這些數(shù)量積的和為定值．

圖1

證明 如圖1，設(shè)P為正n邊形A1A2…An所在平面內(nèi)的任一點(diǎn)，Ci(其中i=1,2,…,n)是邊AiAi+1(其中An+1=A1)的中點(diǎn)，點(diǎn)P到邊AiAi+1(其中An+1=A1)的距離為di，O是正n邊形的中心，r是其內(nèi)切圓的半徑，則

因此，正多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊所在直線距離之和為定值．

說明 在空間幾何中，我們常用空間向量的數(shù)量積來計(jì)算距離，如點(diǎn)面距離、異面直線距離等．而在平面上，我們同樣可以用平面向量的數(shù)量積來計(jì)算點(diǎn)線距離．本題中的點(diǎn)線距離可以看成向量投影的絕對(duì)值，而一個(gè)向量在另一向量上的投影值就是一個(gè)向量與另一向量的單位向量的數(shù)量積．將點(diǎn)線距離轉(zhuǎn)化為數(shù)量積之后，就可以運(yùn)用向量運(yùn)算的有關(guān)法則來解決問題．

例3 如圖2，設(shè)AC是ABCD的較長(zhǎng)的對(duì)角線，過點(diǎn)C作直線AB,AD的垂線，垂足分別為E,F，試求證：AB·AE+AD·AF=AC2．

圖2

解 由CE⊥AB可得

又四邊形ABCD是平行四邊形，從而

說明 本題也可以用平面幾何或解析幾何的方法進(jìn)行證明，但明顯較上述向量法來得繁瑣，從中我們可以體會(huì)到向量法的優(yōu)越性．另外，向量法在解決平面幾何與解析幾何問題中，具有較為廣泛的應(yīng)用，而不僅僅是夾角(含平行與垂直)類問題．

2 在向量等式問題中的應(yīng)用

近年來的高考或競(jìng)賽試題中，經(jīng)常出現(xiàn)一類向量等式問題．這類問題處理方法很多，但不同方法繁簡(jiǎn)程度差異較大．下面我們嘗試?yán)孟蛄康臄?shù)量積來進(jìn)行求解．

可得

說明 在本題中，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí)，x+y取得最小值，且最小值為1．本題的處理方法很多，但有些方法解題過程較為繁瑣．上述解法不僅過程簡(jiǎn)潔，而且自然流暢，很好地展現(xiàn)了問題的本質(zhì)．

圖3 圖4

分析 △AOB與△AOC的面積比等于點(diǎn)B,C到直線AO的距離之比，而點(diǎn)線距離可以用向量數(shù)量積來加以討論．

說明 與例2一樣，本題也是將點(diǎn)線距離轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積．這種處理方法非常簡(jiǎn)便，并且利用這種方法可以很容易地將上述結(jié)論加以推廣．

3 在最值問題中的應(yīng)用

利用向量工具也可以解決一些代數(shù)中的最值問題、不等式問題、線性規(guī)劃問題．其求解的關(guān)鍵是將這些代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于向量的數(shù)量積問題．

圖5

且m≥0,n≥0．如圖5，在坐標(biāo)系mOn中，點(diǎn)(m,n)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、以3為半徑的圓在第一象限以及2個(gè)坐標(biāo)軸正半軸上的部分.

說明 應(yīng)用向量數(shù)量積有效地實(shí)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，使解題過程與相應(yīng)結(jié)論一目了然．

例7[2]設(shè)z=2x+y，變量x,y滿足條件

求z的最大值和最小值．

圖6

分析 因?yàn)閦=2x+y=(2,1)·(x,y)，所以z可看成2個(gè)向量的數(shù)量積，可應(yīng)用向量數(shù)量積的幾何意義來解決．

解 作出可行域如圖6．設(shè)N為可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)，M(2,1)，則

說明 利用向量的數(shù)量積來解決線性規(guī)劃問題，解題思路也較為清晰和直觀．

4 在三角問題中的應(yīng)用

向量與三角有密切的關(guān)系，因此我們也可以利用向量的數(shù)量積來解決三角問題，并且同樣具有簡(jiǎn)捷、明快等特點(diǎn)．

圖7

說明 本題若不利用向量的數(shù)量積，也可采用向量的其他知識(shí)來求解．例如可構(gòu)造以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、半徑為1的圓的內(nèi)接正n邊形(其中一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(cosθ,sinθ))，由其重心的橫坐標(biāo)為0，也可得到相應(yīng)結(jié)論．

總之，向量是數(shù)形結(jié)合的重要橋梁，是解決各種數(shù)學(xué)問題的有效工具．為此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，應(yīng)高度重視向量及其數(shù)量積的教學(xué)，并逐步加強(qiáng)向量應(yīng)用方面的教學(xué)，切實(shí)發(fā)揮好向量的橋梁與工具作用．

[1] 寇恒清．正多邊形的一個(gè)性質(zhì)的簡(jiǎn)證與再推廣[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2014(11):58-59．

[2] 胡云浩．向量數(shù)量積的幾何意義應(yīng)用例析[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2006(3):32-34．

?2015-10-13；

2015-11-09.

寇恒清(1966-)，男，江蘇贛榆人，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)03-21-03