數(shù)學(xué)高考中的化歸與轉(zhuǎn)化思想*

●詹爽姿

(杭州第二中學(xué) 浙江杭州 310000)

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數(shù)學(xué)高考中的化歸與轉(zhuǎn)化思想*

●詹爽姿

(杭州第二中學(xué) 浙江杭州 310000)

化歸與轉(zhuǎn)化是高中數(shù)學(xué)重要思想方法之一，掌握好化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法的特點(diǎn)，對(duì)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是非常有幫助的.從熟悉化原則、簡(jiǎn)單化原則、直觀化原則、特殊化原則、和諧化原則出發(fā)，筆者例談化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)應(yīng)用中所涉及的基本類型的解題策略.

高中數(shù)學(xué);化歸與轉(zhuǎn)化;解題

1 知識(shí)內(nèi)容

化歸與轉(zhuǎn)化是高中數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，它是學(xué)生學(xué)習(xí)了基礎(chǔ)知識(shí)之后解決綜合問(wèn)題的重要途徑，是處理復(fù)雜問(wèn)題方法的精髓，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.所謂化歸與轉(zhuǎn)化的思想，是指在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，把研究對(duì)象通過(guò)觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過(guò)程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)或者幾個(gè)相對(duì)較容易的問(wèn)題加以解決.轉(zhuǎn)化和化歸的特點(diǎn)是通過(guò)不斷轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化、特殊化等，以便應(yīng)用已知的知識(shí)和方法達(dá)到問(wèn)題的有效解決.其一般模式如圖1所示：

圖1

中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程中到處體現(xiàn)著化歸與轉(zhuǎn)化的思想，它是問(wèn)題解決過(guò)程中最活躍、最重要的一個(gè)環(huán)節(jié).化歸與轉(zhuǎn)化既可以從陌生向熟悉轉(zhuǎn)化、抽象向具體轉(zhuǎn)化、正與反相互轉(zhuǎn)化，也可以從函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化中去尋求有利于問(wèn)題解決的途徑和方法，促進(jìn)問(wèn)題的有效解決.

2 命題分析

目前的數(shù)學(xué)高考命題重視對(duì)學(xué)生能力的考查，作為高中重要數(shù)學(xué)思想方法之一的化歸與轉(zhuǎn)化，在近幾年的高考試卷中得到了較好的體現(xiàn).學(xué)生對(duì)于陌生問(wèn)題的恐懼源于在解決具體問(wèn)題中不能夠靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，不能從紛繁復(fù)雜的外表中發(fā)現(xiàn)其數(shù)學(xué)本質(zhì).化歸與轉(zhuǎn)化的思想及方法已滲透到每一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容和解題過(guò)程中,其方法多種多樣，但目標(biāo)是一致的：將復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、熟悉，達(dá)到解決問(wèn)題的有利境地，通向問(wèn)題解決之路.下面筆者結(jié)合近幾年的部分高考題和各地市模擬題為例，談?wù)劵瘹w與轉(zhuǎn)化的思想方法應(yīng)遵循的原則.

3 典題剖析

3.1 熟悉化原則

許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程就是將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，以利于我們運(yùn)用已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決.在具體的解題過(guò)程中，通常是借鑒熟悉的背景知識(shí)和模型，在已知和未知之間尋找轉(zhuǎn)化的橋梁.

例1 如圖2，在三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2,點(diǎn)M,N分別是AD,BC的中點(diǎn)，則異面直線AN，CM所成角的余弦值是______．

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第13題)

圖2 圖3

圖4

轉(zhuǎn)化3 (幾何圖形模型化)注意到此三棱錐的3組對(duì)邊兩兩相等，就可以將此三棱錐放入長(zhǎng)方體內(nèi)，構(gòu)造長(zhǎng)方體模型(如圖4所示)，則該問(wèn)題便成為學(xué)生所熟知的問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng) 立體幾何空間角的基本處理方法是通過(guò)轉(zhuǎn)化為平面角實(shí)現(xiàn)的，源于空間向量的自由移動(dòng)，因此幾何問(wèn)題向量化也成為解決立體幾何空間角問(wèn)題的主要處理途徑.當(dāng)然對(duì)于立體幾何問(wèn)題，常通過(guò)研究幾個(gè)熟悉的基本模型，如長(zhǎng)方體、正四面體等來(lái)理清空間線面的位置關(guān)系.

3.2 簡(jiǎn)單化原則

通過(guò)一定形式的變形轉(zhuǎn)換，將復(fù)雜的問(wèn)題化歸為我們所熟悉的簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解答，達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的，或者獲得某種解決問(wèn)題的啟示.這里的簡(jiǎn)單，既指問(wèn)題的處理過(guò)程方法比較簡(jiǎn)單，也指解決問(wèn)題的方案通過(guò)轉(zhuǎn)化變得比較簡(jiǎn)單.

由此可知2個(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱軸也存在相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系.

3.3 直觀化原則

把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題.數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一便是它具有抽象性.有些抽象的問(wèn)題，直接分析解決難度較大，需要把它轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，或者借助圖形等直觀手段來(lái)表達(dá)，使得復(fù)雜的問(wèn)題變得比較容易解決.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

轉(zhuǎn)化1 從代數(shù)角度看最值，應(yīng)用函數(shù)的觀點(diǎn)，通過(guò)配方解決問(wèn)題.

令t=xe1+ye2,則

t2=(xe1+ye2)2=x2+xy+y2,

從而 |b-(xe1+ye2)|2=

|b-t|2=b2-2b·t+t2=

b2-4x-5y+x2+xy+y2=

b2-7=1,

即

此時(shí)

此處代數(shù)式的配方對(duì)學(xué)生代數(shù)式的轉(zhuǎn)化提出了很高的要求，學(xué)生不一定能夠順利突破.而解決問(wèn)題的關(guān)鍵是對(duì)向量表達(dá)式

|b-(xe1+ye2)|≥ |b-(x0e1+y0e2)|=

1(其中x0,y0∈R)

的認(rèn)識(shí)和轉(zhuǎn)化，該式意味著向量b所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B與由e1,e2所構(gòu)成的平面內(nèi)的點(diǎn)之間的最短距離為1.如何處理這個(gè)距離，可以有幾何、向量等不同的轉(zhuǎn)化方式.

圖5 圖6

點(diǎn)評(píng) 看似復(fù)雜的問(wèn)題，若能挖掘出代數(shù)式的幾何背景，理解數(shù)量積的幾何意義，把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形位置關(guān)系，則可使問(wèn)題由抽象變?yōu)橹庇^，使隱含的關(guān)系顯露出來(lái)，起到事半功倍的效果.正所謂看得越透徹，解法越快捷，聯(lián)想越豐富，思路越奇妙！

3.4 特殊化原則

通過(guò)考察問(wèn)題的極端元素，靈活地借助特殊問(wèn)題解題，避開(kāi)抽象及復(fù)雜運(yùn)算，優(yōu)化解題過(guò)程，降低解題難度.

分析 此題從條件“ak-(ak+1+ak+2)仍是該數(shù)列中的某一項(xiàng)”看，可以建立一般關(guān)系1-q-q2=qm，顯然從此方程中要解出2個(gè)未知數(shù)，學(xué)生往往束手無(wú)策，因此可以轉(zhuǎn)換角度，嘗試特殊化處理，從m=1,2,3中去思考取舍，并嘗試著解決當(dāng)m≥4的情況，最后從等式2邊的取值范圍上尋找突破．

取m=3，則

1-(q+q2)=q3.

點(diǎn)評(píng) 帶有一般性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，往往可以通過(guò)由“一般”狀態(tài)轉(zhuǎn)化為“特殊(極限)”情形來(lái)處理，可使抽象問(wèn)題具體化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.特殊化原則的本質(zhì)既是有限與無(wú)限的轉(zhuǎn)化，也是特殊與一般的轉(zhuǎn)化，還體現(xiàn)了用靜止的觀點(diǎn)處理運(yùn)動(dòng)中問(wèn)題的一種轉(zhuǎn)化思想.

3.5 和諧化原則

其實(shí)很多復(fù)雜問(wèn)題的化歸與轉(zhuǎn)化都是對(duì)以上各種轉(zhuǎn)化原則的綜合應(yīng)用，對(duì)同一個(gè)問(wèn)題基于不同角度的認(rèn)識(shí)可以有各種不同的轉(zhuǎn)化，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，以及問(wèn)題所需要的各種外部形態(tài)，使其推演更加符合我們的思維規(guī)律.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

轉(zhuǎn)化3an+1=an(1-an)=an-1(1-an-1)(1-an)…=a1(1-a1)(1-a2)…(1-an-1)(1-an)，利用迭代可以判斷an的符號(hào).

轉(zhuǎn)化5 由an+1=an(1-an)，得

從而

由第1)小題的結(jié)論可知

從而

于是實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的證明.

點(diǎn)評(píng) 以上所有轉(zhuǎn)化都構(gòu)成解決問(wèn)題的關(guān)鍵，這些轉(zhuǎn)化是基于對(duì)同一個(gè)代數(shù)式結(jié)構(gòu)的不同看法所引起的.在平時(shí)的教學(xué)中，教師要重視這些基本轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練，強(qiáng)調(diào)一道題目的多種解法，教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察，對(duì)同一個(gè)代數(shù)式嘗試從不同角度形成不同的認(rèn)識(shí)，以拓寬學(xué)生的視野，同時(shí)加強(qiáng)思維深刻性的培養(yǎng).

數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，其實(shí)質(zhì)都是揭示內(nèi)在聯(lián)系實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.除極其簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題外，幾乎每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都是通過(guò)轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題的解決實(shí)現(xiàn)的.從這個(gè)意義上講，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過(guò)程，當(dāng)然在實(shí)施轉(zhuǎn)化的過(guò)程中還應(yīng)注意轉(zhuǎn)化中的等價(jià)性，這是正確解決問(wèn)題的必要保證.

4 精題集萃

( )

A.6 B.7 C.8 D.9

2．設(shè)a，b∈R,a2+2b2=6,則a+b的最小值是

( )

參 考 答 案

u2+au+(b-2)=0,

(1)

從而a2+b2=a2+[(2-u2)-au]2=

(1+u2)a2-2u(2-u2)a+(2-u2)2=

令t=u2+1≥5，則

此時(shí)u=±2,從而

?2015-12-15；

2016-01-17.

詹爽姿(1979-)，女，浙江杭州人，中學(xué)一級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O12

A

1003-6407(2016)03-41-05