有關(guān)垂足三角形幾個最值猜想的證明*

●蔣榮清

(臺州市教育局教研室 浙江臺州 318000)

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有關(guān)垂足三角形幾個最值猜想的證明*

●蔣榮清

(臺州市教育局教研室 浙江臺州 318000)

△DEF為銳角△ABC內(nèi)點(diǎn)P對應(yīng)的垂足三角形，記三角形的面積、周長、外接圓半徑分別為S,L,R.筆者證明了當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的外心時，S最大；當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的垂心時，L最??；當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心時，R最?。?/p>

銳角三角形；垂足三角形；最值

定義 如圖1，在△ABC中，過點(diǎn)P分別作PD,PE,PF垂直AB，BC,CA于點(diǎn)D,E,F，聯(lián)結(jié)DE,EF,FD，則稱△DEF為△ABC的垂足三角形．

圖1 圖2

對于垂足三角形，在文獻(xiàn)[1]中提出了4個猜想：

猜想 如圖1，△DEF為銳角△ABC內(nèi)點(diǎn)P對應(yīng)的垂足三角形，記△DEF的面積、周長、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑分別為S,L,R,r，則

1)當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的外心時，S最大；

2)當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的垂心時，L最??；

3)當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心時，R最??；

4)當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的重心時，r最大．

對于猜想4)已尋找到反例，因此一般情形不成立．下面證明猜想1)～3).

1 猜想1)的證明

證法1 如圖2，設(shè)⊙O為△ABC的外接圓，且半徑為R，OP=d，AP的延長線交⊙O于點(diǎn)M.因為∠AFP=∠ADP=90°，所以點(diǎn)A，D，P，F(xiàn)共圓，且AP是這個圓的直徑，從而∠PAD=∠PFD.由正弦定理得

從而DF=AP·sin∠BAC,

(1)

同理可得 ∠PBE=∠PFE，EF=BP·sin∠ABC，

(2)

于是

∠DFE=∠PFD+∠PFE=∠PAD+∠PBE=∠CBM+∠PBE=∠PBM.

在△PBM中，由正弦定理得

從而

因此PM·sin∠ACB=BP·sin∠DFE.

(3)

由式(1)～(3)得

又△ABC為銳角三角形，由圓冪定理得AP·PM=R2-d2,

于是

由于sin∠BAC·sin∠ABC·sin∠ACB為正的定值，且R也是一個定值，因此當(dāng)d=0，即點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時，S△DEF的面積最大.

圖3

引理1 如圖3，△ABC為銳角三角形，⊙O是它的外接圓，半徑為R．設(shè)A(R,0)，B(Rcosα,Rsinα)，C(Rcosβ,-Rsinβ)(其中0<α<π，0<β<π),點(diǎn)P(a,b)在△ABC內(nèi)，△DEF是對應(yīng)于點(diǎn)P(a,b)的△ABC的(廣義)垂足三角形，|PO|=d，記△ABC，△DEF的面積分別為S′,S，則

同理可得

因此

因為

下面給出猜想1)的第2種證法：

圖4

2 猜想2)的證明

如圖4，H是△ABC的垂心,K,M,N分別是邊AB,AC,BC上的垂足，點(diǎn)F關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)為F′，則EF=EF′，∠FCE=∠F′CE．在直線F′C上取點(diǎn)M′，使∠MNC=∠M′NC，則在△MNC和△M′NC中，

∠FCE=∠F′CE, ∠MNC=∠M′NC,NC=NC,

即△MNC≌△M′NC，從而MN=M′N.同理可得，設(shè)點(diǎn)F關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為F″，則DF=DF″．在直線F″A上存在點(diǎn)M″，使得

∠M″KA=∠MKA,MK=M″K,

因此△DEF的周長為L=F″D+DE+EF′，△KMN的周長為L′=M″K+KN+NF′．

(事實上，點(diǎn)M′,N,K,M″共線．因為點(diǎn)M,H,N,C共圓，所以∠HNM=∠HCM,同理可得∠HNK=∠HBK.又∠HCM=∠HBK=90°-∠BAC，于是∠HNM=∠HNK，而∠MNC=∠M′NC，∠HNM+∠MNC=90°，則點(diǎn)K,N,M′共線．同理可得，點(diǎn)K,N,M″共線，故點(diǎn)M′,N,K,M″共線．)因此，△KMN的周長L′=M′M″，而△DEF的周長L=F″D+DE+EF′≥F′F″，至此原問題化為只需證明F′F″≥M′M″即可．由前面的證明知

∠NM′C=∠NMC, ∠KM″A=∠KMA,

又∠NMC=∠KMA，從而∠NM′C=∠KM″A,于是△OM′M″為等腰三角形，故OM′=OM″．

因為F′M′=FM，F(xiàn)″M″=FM,所以F′M′=F″M″.設(shè)OM′=OM″=x，F(xiàn)′M′=F″M″=y，∠AOC=α．由余弦定理得

從而

故F′F″≥M′M″,即猜想2)成立．

3 猜想3)的證明

設(shè)△DEF的外接圓圓心為O，則⊙O與△ABC的3條邊必有公共點(diǎn)，也即⊙O與△ABC的3條邊相交或相切．因此可將問題分成4類：①⊙O與△ABC的3條邊都相切；②⊙O與△ABC的2條邊相切、1條邊相交；③⊙O與△ABC的1條邊相切、2條邊相交；④⊙O與△ABC的3條邊都相交．當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心時，記此時△DEF的外接圓半徑為R0．只需證明另外3種情形的R≥R0即可．

圖5 圖6

①如圖5，當(dāng)△DEF的外接圓與△ABC的3條邊都相切時，此時點(diǎn)O與點(diǎn)P重合，記△DEF的外接圓半徑為R0，易知

②如圖6，當(dāng)△DEF的外接圓與△ABC的2條邊相切、1條邊相交時，不妨設(shè)與AB,BC相切，與AC相交，記△DEF的外接圓半徑為R.過點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M，則OM

又

因此

圖7 圖8

故R>R0.

③如圖7,當(dāng)△DEF的外接圓與△ABC的1條邊相切、2條邊相交時,不妨設(shè)與AB相切,與BC,AC相交,記△DEF的外接圓為R.過點(diǎn)O分別作OM⊥AC于點(diǎn)M,ON⊥BC于點(diǎn)N,則OM

于是

因此

故R>R0.

④如圖8,當(dāng)△DEF的外接圓與△ABC的3條邊都相交.過點(diǎn)O分別作OM⊥AC于點(diǎn)M,ON⊥BC于點(diǎn)N,OJ⊥AB于點(diǎn)J,則OM

OM

故R>R0.

綜上所述,當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心時，R最小.

[1] 蔣榮清．有關(guān)垂足三角形的進(jìn)一步探究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2009(12):12-15．

?2015-10-20；

2015-11-16.

蔣榮清(1966-)，男，浙江臺州人，浙江省數(shù)學(xué)特級教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)03-28-04